接收通道校准算法

A. IP数据报首部校验和算法

普通的IP首部长20个字节，除非含有选项字段。
第一帧：4位版本
4位首部长度
8位服务类型（TOS）
16位总长度（字节数）
第二帧：16位标识
3位标志
13位片偏移
第三帧：8位生存时间（TTL）
8位协议
16位首部校验和
第四帧：32位源IP地址
第五帧：32位目的IP地址
第六帧：选项（如果有）
第七帧：数据
1．4位版本：IP所用版本，有IPv4, IPv6

2．4位首部长度：指的是占32bit字的数目，包含任何选项。由于它是一个4bit字段，因此首部最长为60个字节。

3．服务类型（TOS）包括一个3bit的优先权子字段（忽略），4bit的TOS子字段和1bit未用位但须置0。4bit的TOS分别代表：最小延时、最大吞吐量、最高可靠性和最小费用。4bit中只能置其中一位，如4位均为0，则意味着是一般服务。

4．总长度字段指整个IP数据报的长度，以字节为单位。利用首部长度字段和总长度字段，就可以知道IP数据报中数据内容的起始位置和长度。由于该字段长为16bit，所以IP数据报最长可达65535（超级通道的MTU为65535。它的意思其实不是一个真正的MTU，它使用了最长的IP数据报）。当数据报被分片时，该字段的值也随着变化。

尽管可以传一个长达65535字节的IP数据报，但是大多数的链路层都会对它进行分片，而且主机也要求不能接收超过576字节的数据报。由于TCP把用户数据分成若干片，因此一般来说这个限制不会影响TCP。UDP的应用（如RIP，TFTP，BOOTP，DNS，及SNMP），它们都限制用户数据报长度为512字节，小于576字节从而避免IP数据报分片。

但是现在大多数的实现（支持网络文件系统（NFS）的实现）允许超过8192字节（8K）的IP数据报。

总长度字段是IP首部中必要的内容，因为一些数据链路（如以太网）需要填充一些数据以达到最小长度。尽管以太网最小帧长为46字节，但是IP数据可能会更短。如果没有总长度字段，那么IP层就不知道46字节中有多少是IP数据报的内容。

5．标识字段唯一地标识主机发送的每一份数据报。通常每发送一份报文它的值就会增1。

6．TTL(time-to-live)生存时间字段设置了数据报可以经过的最多路由器数。它指定了数据报的生存时间。TTL的初始值由源主机设定（通常为32或64）一旦经过一个处理它的路由器，它的值就减1。当该字段值为0时，数据报就被丢弃，并发过ICMP报文通知源主机。

7．首部校验和字段是根据IP首部计算检验和码。它不对后面的数据进行计算。ICMP、IGMP、UDP和TCP在它们各自的首部中均包含有同时覆盖首部和数据检验和码。为了计算一份数据报IP校验和，首先把校验字段置为0。然后对首部中每个16bit进行二进制反码求和，结果存放检验的字段中。当收到一份数据报后，同样对首部中的每个16bit进行二进制反码求和。由于接收方在计算过程中包含了发送方存在首部中的校验和，因此如果在传输过程中没发生任何差错，那么接收方计算的校验和结果应全为1。如果不全为1（即校验和错误），那么IP就丢弃收到的数据报。但不生成差错报文，由上层去发现丢失的数据报并进行重传。

ICMP，IGMP，TCP和UDP都采用相同校验和算法，尽管TCP和UDP除了本身的首部和数据外，在IP首部中还包含不同的字段。

由于路由器经常只修改TTL字段（减1），因此当路由器转发一份报文时可以增加它的校验和，而不需要对IP整个首部进行重新计算。

8．每一份IP数据报都包含源IP地址和目的IP地址。

9、选项：是数据报中一个可变长的信息。目前这些选项定义如下：

。安全和处理限制（用于军事领域）

。记录路径（让每个路由器都记录下它的IP地址）

。时间戳 （让每个路由器都记录下它的IP地址和时间）

。宽松的源站选路 (为数据报指定一系列必须经过的IP地址)

。严格的源站选路（与宽松源站选路类似，但是要求只能经过这些指定的地址，不能经

过其它地址）。

这些选项很少被使用，并非所有的主机和路由都支持这些选项。

选项字段一直都是以32bit作为界限，在必要时必须插入值为0的填充字节。这样就保证IP首部始终是32bit的整数倍速(这是首部长度字段所要求的

B. 关于CRC算法，高手赐教

循环冗余校验（CRC）是一种根据网络数据封包或电脑档案等数据产生少数固定位数的一种散列函数，主要用来检测或校验数据传输或者保存后可能出现的错误。生成的数字在传输或者储存之前计算出来并且附加到数据后面，然后接收方进行检验确定数据是否发生变化。一般来说，循环冗余校验的值都是32位的整数。由于本函数易于用二进制的电脑硬件使用、容易进行数学分析并且尤其善于检测传输通道干扰引起的错误，因此获得广泛应用。它是由W. Wesley Peterson在他1961年发表的论文中披露[1]。

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'''循环冗余校验'''（CRC）是一种根据网路数据封包或[[电脑档案]]等数据产生少数固定位数的一种[[散列函数]]，主要用来检测或校验数据传输或者保存后可能出现的错误。生成的数字在传输或者储存之前计算出来并且附加到数据后面，然后接收方进行检验确定数据是否发生变化。一般来说，循环冗余校验的值都是32位的整数。由于本函数易于用二进制的[[电脑硬件]]使用、容易进行数学分析并且尤其善于检测传输通道干扰引起的错误，因此获得广泛应用。它是由[[W. Wesley Peterson]]在他1961年发表的论文中披露<ref name="PetersonBrown1961">
{{cite journal
| author = Peterson, W. W. and Brown, D. T.
| year = 1961
| month = January
| title = Cyclic Codes for Error Detection
| journal = Proceedings of the IRE
| doi = 10.1109/JRPROC.1961.287814
| issn = 0096-8390
| volume = 49
| pages = 228
}}</ref>。

==简介==
CRC“校验和”是两个位元数据流采用二进制除法（没有进位，使用XOR异或来代替减法）相除所得到的余数。其中被除数是需要计算校验和的信息数据流的二进制表示；除数是一个长度为<math>n+1</math>的预定义（短）的二进制数，通常用多项式的系数来表示。在做除法之前，要在信息数据之后先加上<math>n</math>个0.

CRCa 是基于[[有限域]]GF(2)([[同余|关于2同余]])的[[多项式环]]。简单的来说，就是所有系数都为0或1（又叫做二进制）的多项式系数的集合，并且集合对于所有的代数操作都是封闭的。例如：

:<math>(x^3 + x) + (x + 1) = x^3 + 2x + 1 \equiv x^3 + 1</math>

2会变成0，因为对系数的加法都会模2. 乘法也是类似的：

:<math>(x^2 + x)(x + 1) = x^3 + 2x^2 + x \equiv x^3 + x</math>

我们同样可以对多项式作除法并且得到商和余数。例如， 如果我们用''x''³ + ''x''² + ''x''除以''x'' + 1。我们会得到：
:<math>\frac{(x^3 + x^2 + x)}{(x+1)} = (x^2 + 1) - \frac{1}{(x+1)}</math>
<!--注：在说“除以”的时候, 读者将会看到等式中的除号。这里看不到除号常使我感到有点混乱。-->

也就是说，

:<math>(x^3 + x^2 + x) = (x^2 + 1)(x + 1) - 1</math>

这里除法得到了商''x''² + 1和余数-1，因为是奇数所以最后一位是1。

字符串中的每一位其实就对应了这样类型的多项式的系数。为了得到CRC, 我们首先将其乘以<math>x^{n}</math>，这里<math>n</math>是一个固定多项式的[[多项式的阶|阶]]数, 然后再将其除以这个固定的多项式，余数的系数就是CRC。

在上面的等式中，<math>x^2+x+1</math>表示了本来的信息位是<code>111</code>, <math>x+1</math>是所谓的'''钥匙''', 而余数<math>1</math>（也就是<math>x^0</math>）就是CRC. key的最高次为1, 所以我们将原来的信息乘上<math>x^1</math>来得到<math>x^3 + x^2 + x</math>，也可视为原来的信息位补1个零成为<code>1110</code>。

一般来说，其形式为：

:<math>M(x) \cdot x^{n} = Q(x) \cdot K(x) + R (x) </math>

这里 M(x) 是原始的信息多项式。K(x)是<math>n</math>阶的“钥匙”多项式。<math>M(x) \cdot x^{n}</math>表示了将原始信息后面加上<math>n</math>个0。R(x)是余数多项式，既是CRC“校验和”。在通讯中，发送者在原始的信息数据M后加上<math>n</math>位的R（替换本来附加的0）再发送。接收者收到M和R后，检查<math>M(x) \cdot x^{n} - R(x)</math>是否能被<math>K(x)</math>整除。如果是，那么接收者认为该信息是正确的。值得注意的是<math>M(x) \cdot x^{n} - R(x)</math>就是发送者所想要发送的数据。这个串又叫做''codeword''.

CRCs 经常被叫做“[[校验和]]”, 但是这样的说法严格来说并不是准确的，因为技术上来说，校验“和”是通过加法来计算的，而不是CRC这里的除法。

“[[错误纠正编码]]”常常和CRCs紧密相关，其语序纠正在传输过程中所产生的错误。这些编码方式常常和数学原理紧密相关。

==实现==

==变体==
CRC 有几种不同的变体

* <code>shiftRegister</code> 可以逆向使用，这样就需要检测最低位的值，每次向右移动一位。这就要求 <code>polynomial</code> 生成逆向的数据位结果。''实际上这是最常用的一个变体。''
* 可以先将数据最高位读到移位寄存器，也可以先读最低位。在通讯协议中，为了保留 CRC 的[[突发错误]]检测特性，通常按照[[物理层]]发送数据位的方式计算 CRC。
* 为了检查 CRC，需要在全部的码字上进行 CRC 计算，而不是仅仅计算消息的 CRC 并把它与 CRC 比较。如果结果是 0，那么就通过这项检查。这是因为码字 <math>M(x) \cdot x^{n} - R(x) = Q(x) \cdot K(x)</math> 可以被 <math>K(x)</math> 整除。
* 移位寄存器可以初始化成 1 而不是 0。同样，在用算法处理之前，消息的最初 <math>n</math> 个数据位要取反。这是因为未经修改的 CRC 无法区分只有起始 0 的个数不同的两条消息。而经过这样的取反过程，CRC 就可以正确地分辨这些消息了。
* CRC 在附加到消息数据流的时候可以进行取反。这样，CRC 的检查可以用直接的方法计算消息的 CRC、取反、然后与消息数据流中的 CRC 比较这个过程来完成，也可以通过计算全部的消息来完成。在后一种方法中，正确消息的结果不再是 0，而是 <math>\sum_{i=n}^{2n-1} x^{i}</math> 除以 <math>K(x)</math> 得到的结果。这个结果叫作核验多项式 <math>C(x)</math>，它的十六进制表示也叫作[[幻数]]。

按照惯例，使用 CRC-32 多项式以及 CRC-16-CCITT 多项式时通常都要取反。CRC-32 的核验多项式是
<math>C(x) = x^{31} + x^{30} + x^{26} + x^{25} + x^{24} + x^{18} + x^{15} + x^{14} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x + 1</math>。

==错误检测能力==
CRC 的错误检测能力依赖于关键多项式的阶次以及所使用的特定关键多项式。''误码多项式'' <math>E(x)</math> 是接收到的消息码字与正确消息码字的''异或''结果。当且仅当误码多项式能够被 CRC 多项式整除的时候 CRC 算法无法检查到错误。
* 由于 CRC 的计算基于除法，任何多项式都无法检测出一组全为零的数据出现的错误或者前面丢失的零。但是，可以根据 CRC 的[[#变体|变体]]来解决这个问题。
* 所有只有一个数据位的错误都可以被至少有两个非零系数的任意多项式检测到。误码多项式是 <math>x^k</math>，并且 <math>x^k</math> 只能被 <math>i \le k</math> 的多项式 <math>x^i</math> 整除。
* CRC 可以检测出所有间隔距离小于[[多项式阶次]]的双位错误，在这种情况下的误码多项式是
<math>E(x) = x^i + x^k = x^k \cdot (x^{i-k} + 1), \; i > k</math>。
如上所述，<math>x^k</math> 不能被 CRC 多项式整除，它得到一个 <math>x^{i-k} + 1</math> 项。根据定义，满足多项式整除 <math>x^{i-k} + 1</math> 的 <math>{i-k}</math> 最小值就是多项是的阶次。最高阶次的多项式是[[本原多项式]]，带有二进制系数的 <math>n</math> 阶多项式

==CRC 多项式规范==
下面的表格略去了“初始值”、“反射值”以及“最终异或值”。
* 对于一些复杂的校验和来说这些十六进制数值是很重要的，如 CRC-32 以及 CRC-64。通常小于 CRC-16 的 CRC 不需要使用这些值。
* 通常可以通过改变这些值来得到各自不同的校验和，但是校验和算法机制并没有变化。

CRC 标准化问题
* 由于 CRC-12 有三种常用的形式，所以 CRC-12 的定义会有歧义
* 在应用的 CRC-8 的两种形式都有数学上的缺陷。
* 据称 CRC-16 与 CRC-32 至少有 10 种形式，但没有一种在数学上是最优的。
* 同样大小的 CCITT CRC 与 ITU CRC 不同，这个机构在不同时期定义了不同的校验和。

==常用 CRC（按照 ITU-IEEE 规范）==
{|class="wikitable"
! 名称|| 多项式 || 表示法：正常或者翻转
|-
|CRC-1 || <math>x + 1</math><br>(用途：硬件，也称为[[奇偶校验位]]) || 0x1 or 0x1 (0x1)
|-
|CRC-5-CCITT || <math>x^{5} + x^{3} + x + 1</math> ([[ITU]] G.704 标准) || 0x15 (0x??)
|-
|CRC-5-USB || <math>x^{5} + x^{2} + 1</math> (用途：[[USB]] 信令包) || 0x05 or 0x14 (0x9)
|-
|CRC-7 || <math>x^{7} + x^{3} + 1</math> (用途：通信系统) || 0x09 or 0x48 (0x11)
|-
|CRC-8-ATM || <math>x^8 + x^2 + x + 1</math> (用途：ATM HEC) || 0x07 or 0xE0 (0xC1)
|-
|CRC-8-[[CCITT]] || <math>x^8 + x^7 + x^3 + x^2 + 1</math> (用途：[[1-Wire]] [[总线]]) ||
|-
|CRC-8-[[Dallas_Semiconctor|Dallas]]/[[Maxim_IC|Maxim]] || <math>x^8 + x^5 + x^4 + 1</math> (用途：[[1-Wire]] [[bus]]) || 0x31 or 0x8C
|-
|CRC-8 || <math>x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 +1</math> || 0xEA(0x??)
|-
|CRC-10 || x¹⁰ + x⁹ + x⁵ + x⁴ + x + 1 || 0x233 (0x????)
|-
|CRC-12 || <math>x^{12} + x^{11} + x^3 + x^2 + x + 1</math><br>(用途：通信系统) || 0x80F or 0xF01 (0xE03)
|-
|CRC-16-Fletcher || 参见 [[Fletcher's checksum]] || 用于 [[Adler-32]] A & B CRC
|-
|CRC-16-CCITT || ''x''¹⁶ + ''x''¹² + ''x''⁵ + 1 ([[X25]], [[V.41]], [[Bluetooth]], [[PPP]], [[IrDA]]) || 0x1021 or 0x8408 (0x0811)
|-
|CRC-16-[[IBM]] || ''x''¹⁶ +''x''¹⁵ + ''x''² + 1 || 0x8005 or 0xA001 (0x4003)
|-
|CRC-16-[[BBS]] || x¹⁶ + x¹⁵ + x¹⁰ + x³ (用途：[[XMODEM]] 协议) || 0x8408 (0x????)
|-
|CRC-32-Adler || See [[Adler-32]] || 参见 [[Adler-32]]
|-
|CRC-32-MPEG2 || See [[IEEE 802.3]] || 参见 [[IEEE 802.3]]
|-
|CRC-32-[[IEEE 802.3]] || <math>x^{32} + x^{26} + x^{23} + x^{22} + x^{16} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1</math> || 0x04C11DB7 or 0xEDB88320 (0xDB710641)
|-
|CRC-32C (Castagnoli)<ref name="cast93"/>|| <math>x^{32} + x^{28} + x^{27} + x^{26} + x^{25} + x^{23} + x^{22} + x^{20} + x^{19} + x^{18} + x^{14} + x^{13} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^6 + 1</math> || 0x1EDC6F41 or 0x82F63B78 (0x05EC76F1)
|-
|CRC-64-ISO || <math>x^{64} + x^4 + x^3 + x + 1</math><br>(use: ISO 3309) || 0x000000000000001B or 0xD800000000000000 (0xB000000000000001)
|-
|CRC-64-[[Ecma International|ECMA]]-182 || <math>x^{64} + x^{62} + x^{57} + x^{55} + x^{54} + x^{53} + x^{52} + x^{47} + x^{46} + x^{45} + x^{40} + x^{39} + x^{38} + x^{37} + x^{35} + x^{33} + x^{32} </math><br><!--Too long to display in one table--><math>+ x^{31} + x^{29} + x^{27} + x^{24} + x^{23} + x^{22} + x^{21} + x^{19} + x^{17} + x^{13} + x^{12} + x^{10} + x^9 + x^7 + x^4 + x + 1</math><br>(as described in [http://www.ecma-international.org/publications/standards/Ecma-182.htm ECMA-182] p.63) || 0x42F0E1EBA9EA3693 or 0xC96C5795D7870F42 (0x92D8AF2BAF0E1E85)
|-
|CRC-128 || IEEE-ITU 标准。被 [[MD5]] & [[SHA-1]] 取代||
|-
|CRC-160 || IEEE-ITU 标准。被 [[MD5]] & [[SHA-1]] 取代||
|-
|}

==CRC 与数据完整性==
尽管在[[错误检测]]中非常有用，CRC 并不能可靠地验证[[数据完整性]]（即数据没有发生任何变化），这是因为 CRC 多项式是线性结构，可以非常容易地''故意''改变数据而维持 CRC 不变，参见[http://www.woodmann.com/fravia/crctut1.htm CRC and how to Reverse it]中的证明。我们可以用 [[Message authentication code]] 验证数据完整性。

===CRC发生碰撞的情况===

与所有其它的[[散列函数]]一样，在一定次数的碰撞测试之后 CRC 也会接近 100% 出现碰撞。CRC 中每增加一个数据位，就会将碰撞数目减少接近 50%，如 CRC-20 与 CRC-21 相比。
* 理论上来讲，CRC64 的碰撞概率大约是每 18{{e|18}} 个 CRC 码出现一次。
* 由于 CRC 的不分解多项式特性，所以经过合理设计的较少位数的 CRC 可能会与使用较多数据位但是设计很差的 CRC 的效率相媲美。在这种情况下 CRC-32 几乎同 CRC-40 一样优秀。

===设计 CRC 多项式===

生成多项式的选择是 CRC 算法实现中最重要的部分，所选择的多项式必须有最大的错误检测能力，同时保证总体的碰撞概率最小。多项式最重要的属性是它的长度，也就是最高非零系数的数值，因为它直接影响着计算的校验和的长度。

最常用的多项式长度有
* 9 位 (CRC-8)
* 17 位 (CRC-16)
* 33 位 (CRC-32)
* 65 位 (CRC-64)

在构建一个新的 CRC 多项式或者改进现有的 CRC 时，一个通用的数学原则是使用满足所有模运算不可分解多项式约束条件的多项式。
* 这种情况下的不可分解是指多项式除了 1 与它自身之外不能被任何其它的多项式整除。

生成多项式的特性可以从算法的定义中推导出来：
* 如果 CRC 有多于一个的非零系数，那么 CRC 能够检查出输入消息中的所有单数据位错误。
* CRC 可以用于检测短于 2k 的输入消息中的所有双位错误，其中 k 是多项式的最长的不可分解部分的长度。
* 如果多项式可以被 x+1 整除，那么不存在可以被它整除的有奇数个非零系数的多项式。因此，它可以用来检测输入消息中的奇数个错误，就象奇偶校验函数那样。

==参见==
总的分类
* [[纠错码]]
* [[校验和算法列表]]
* [[奇偶校验位]]

特殊技术参考
* [[Adler-32]]
* [[Fletcher's checksum]]

==参考文献 ==
<references/>

==外部链接==
* [http://www.relisoft.com/science/CrcMath.html Tutorial and C++ implementation] of CRC
* Cyclic rendancy check - a simple guide to what it means for your data, CD and DVD discs. http://www.softwarepatch.com/tips/cyclic-rendancy.html
* [http://www.ross.net/crc/ ''The CRC Pitstop'']
* Williams, R. (1993-09) [http://www.repairfaq.org/filipg/LINK/F_crc_v3.html ''A Painless Guide to CRC Error Detection Algorithms'']
* [http://www.4d.com/docs/CMU/CMU79909.HTM ''Understanding Cyclic Rendancy Check'']
* Black, R. (1994-02) [http://www.cl.cam.ac.uk/Research/SRG/bluebook/21/crc/crc.html ''Fast CRC32 in Software''] — Algorithm 4 is used in Linux and info-zip's zip and unzip.
* Barr, M. ([http://www.netrino.com/Connecting/1999-11/ ''1999-11''], [http://www.netrino.com/Connecting/1999-12/ ''1999-12''], [http://www.netrino.com/Connecting/2000-01/ ''2000-01'']) checksums, CRCs, and their source code. Embedded Systems Programming
* [http://www.codeproject.com/cpp/crc32.asp CRC32: Generating a checksum for a file], C++ implementation by Brian Friesen
* Online [http://serversniff.net/hash.php Tool to compute common CRCs (8/16/32/64) from strings]
* Online [http://www.zorc.breitbandkatze.de/crc.html CRC calculator]
* Online [http://www.easics.com/webtools/crctool CRC Tool: Generator of synthesizable CRC functions]
* [http://www.paulschou.com/tools/xlate/ Online Char (ASCII), HEX, Binary, Base64, etc... Encoder/Decoder with MD2, MD4, MD5, SHA1+2, CRC, etc. hashing algorithms]
* [http://apollo.backplane.com/matt/crc64.html CRC16 to CRC64 collision research]
* [http://sar.informatik.hu-berlin.de/research/publications/index.htm#SAR-PR-2006-05 Reversing CRC – Theory and Practice.]

{{math-stub}}

[[Category:校验和算法]]

[[bg:CRC]]
[[ca:Control de rendància cíclica]]
[[cs:Cyklický rendantní součet]]
[[de:Zyklische Rendanzprüfung]]
[[en:Cyclic rendancy check]]
[[es:Control de rendancia cíclica]]
[[eu:CRC]]
[[fi:CRC]]
[[fr:Contrôle de redondance cyclique]]
[[he:בדיקת יתירות מחזורית]]
[[id:CRC]]
[[it:Cyclic rendancy check]]
[[ja:巡回冗长検査]]
[[ko:순환 중복 검사]]
[[nl:Cyclic Rendancy Check]]
[[pl:CRC]]
[[pt:CRC]]
[[ru:Циклический избыточный код]]
[[simple:Cyclic rendancy check]]
[[sk:Kontrola cyklickým kódom]]
[[sv:Cyclic Rendancy Check]]
[[vi:CRC]]