算法的复杂度是什么

① 算法的时间复杂度是指什么

算法的时间复杂度是指：执行程序所需的时间。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近无穷大时。

T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称为f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。比如：

在 T(n)=4nn-2n+2 中，就有f(n)=nn，使得T(n)/f(n)的极限值为4，那么O(f(n))，也就是时间复杂度为O(n*n)。

时间复杂度中大O阶推导是：

推导大O阶就是将算法的所有步骤转换为代数项，然后排除不会对问题的整体复杂度产生较大影响的较低阶常数和系数。

有条理的说，推导大O阶，按照下面的三个规则来推导，得到的结果就是大O表示法：运行时间中所有的加减法常数用常数1代替。只保留最高阶项去除最高项常数。

其他常见复杂度是：

f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，可以称为nlogn阶。

f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，可以称为立方阶。

f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，可以称为指数阶。

f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，可以称为阶乘阶。

f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，可以称为平方根阶。

② 算法复杂度：时间复杂度和空间复杂度

本文部分摘抄于此
算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；
而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时， T(n)/f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O(f(n)), 称 O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。

只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。

将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。

第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο( n 2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+ n 2)=Ο( n 2)。

Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。其中 Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3) 称为多项式时间， 而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间 。计算机科学家普遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法，把这类问题称为 P（Polynomial,多项式）类问题 ，而把后者（即指数时间复杂度的算法）称为 NP（Non-Deterministic Polynomial, 非确定多项式）问题 。

（4）在计算算法时间复杂度时有以下几个简单的程序分析法则:

(1).对于一些简单的输入输出语句或赋值语句,近似认为需要O(1)时间

(2).对于顺序结构,需要依次执行一系列语句所用的时间可采用大O下"求和法则"

求和法则:是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1(n)+T2(n)=O(max(f(n), g(n)))

特别地, 若T1(m)=O(f(m)), T2(n)=O(g(n)),则 T1(m)+T2(n)=O(f(m) + g(n))

(3).对于选择结构,如if语句,它的主要时间耗费是在执行then字句或else字句所用的时间,需注意的是检验条件也需要O(1)时间

(4).对于循环结构,循环语句的运行时间主要体现在多次迭代中执行循环体以及检验循环条件的时间耗费,一般可用大O下"乘法法则"

乘法法则 : 是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则T1 * T2=O(f(n) * g(n))

(5).对于复杂的算法,可以将它分成几个容易估算的部分,然后利用求和法则和乘法法则技术整个算法的时间复杂度

另外还有以下2个运算法则:(1) 若g(n)=O(f(n)),则O(f(n))+ O(g(n))= O(f(n))；(2) O(Cf(n)) = O(f(n)),其中C是一个正常数

（5）下面分别对几个常见的时间复杂度进行示例说明：

(1)、O(1)

​ Temp=i; i=j; j=temp;

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。 注意：如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

(2)、O(n2)

2.1. 交换i和j的内容

解： 因为Θ(2n2+n+1)=n2（Θ即：去低阶项，去掉常数项，去掉高阶项的常参得到），所以T(n)= =O(n2)；

2.2.

​

解： 语句1的频度是n-1

一般情况下，对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数，忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分，当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。

(3)、O(n)

解：

(4)、O(log2n)

解：

(5)、O(n3)

解：

（5）常用的算法的时间复杂度和空间复杂度

一个经验规则： 其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n log2n ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n * , 3n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

​ 算法时间复杂度分析是一个很重要的问题，任何一个程序员都应该熟练掌握其概念和基本方法，而且要善于从数学层面上探寻其本质，才能准确理解其内涵。

2、算法的空间复杂度

​ 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。

算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的，是通过参数表由调用函数传递而来的，它不随本算法的不同而改变。存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法。

算法在运行过程中临时占用的存储空间随算法的不同而异，有的算法只需要占用少量的临时工作单元，而且不随问题规模的大小而改变，我们称这种算法是“就地"进行的，是节省存储的算法，如这一节介绍过的几个算法都是如此；

有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如将在第九章介绍的快速排序和归并排序算法就属于这种情况。

如当一个算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1)；当一个算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时，可表示为O(log2n)；当一个算法的空I司复杂度与n成线性比例关系时，可表示为O(n).

【1】如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

解答：
T(n)=O(1)，
这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1100次，但是我们看到n没有?
没。这段程序的运行是和n无关的，
就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数

【2】当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。

该程序段中频度最大的语句是(5)，内循环的执行次数虽然与问题规模n没有直接关系，但是却与外层循环的变量取值有关，而最外层循环的次数直接与n有关，因此可以从内层循环向外层分析语句(5)的执行次数：
则该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n3/6+低次项)=O(n3)

【3】算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模，还与输入实例的初始状态有关。

在数值A[0..n-1]中查找给定值K的算法大致如下：

此算法中的语句(3)的频度不仅与问题规模n有关，还与输入实例中A的各元素取值及K的取值有关:

（5）时间复杂度评价性能

有两个算法A1和A2求解同一问题，时间复杂度分别是T1(n)=100n2，T2(n)=5n3。
（1）当输入量n＜20时，有T1(n)＞T2(n)，后者花费的时间较少。
（2）随着问题规模n的增大，两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大。
即当问题规模较大时，算法A1比算法A2要有效地多。它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。

在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

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③ 算法的时间复杂度是指什么

算法的时间复杂度是指该算法举虚枯所需要的计算工作量随问题规模增加而增加的趋势，也就是算法的运行时间与问题规模之间的关系。

1、算法时间复杂度的概念

算法时间复杂度是指在分析算法性能时，关注的是该算法的计算复杂程度。主要是根据算法中基本操作的执行次数来估算算法的效率。算法的时间复杂度在一定程度上衡量了算法的好坏，是在进行算法性能分析时的一项基本指标。

2、计算时间复杂度的方法

通过代码分析可以得出一个算法的时间复杂度，一般采用大O表示法。大O表示法是一种用于描述算法复杂度的表示方法。

用一个大O符号加上一个括号括起来的函数描述算法复杂度，在大O符号后面的函数里，n表示数据输入的总量，T(n)表示算法执行所需的时间复杂度函数。

5、总结：

算法的时间复杂度是分析算法效率的一种常用指标，可以通过大O记号表示算法需要执行的操作次数，常见类型包括常数时间复杂度、线性时间复杂度、对数时间复杂度、平方时间复杂度和指数时间复杂度。

在实际应用中，需要根据具体需求综合考虑时间复杂度和空间复杂度。

④ 算法复杂度是什么概念

看下数据结构，简单解释下：
算法复杂度包括时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度就是执行算法所需要的时间（执行多少次赋值、比较、判断等操作），空间复杂度就是执行该算法需要消耗多少存储空间。
2者都是越低越好，但往往不能兼顾，需要找到时间和空间复杂度的平衡点。

⑤ 什么是算法的复杂性

算法的复杂性主要包括两个内容:时间复杂度和空间复杂度；
（1）时间复杂度：表示算法运行时间的长短，主要和数据的规模、算法实现的效率有关，一般用O(n)来表示，n表示数据的规模大小。
（2）空间复杂度，主要是指算法实现所需占用内存空间的大小，一般用S（n)来表示。