① matlab 三次样条插值法拟合三次多项式
1、m次多项式插值法：利用Matlab里的命令：
a = spline(x,y,xx)
其中，x，y为给定点的矩阵，矩阵 a 为矩阵xx所有点对应的拟合值矩 阵。
2、m次拟合法：a = polyfit（x，y，m）
其中，x，y为给定点的矩阵，前者为自变量矩阵，后者为因变量矩阵。m为多项式的次数， a为拟合出来的m次多项式的系数矩阵。
3、在这里x、y都是1*7的矩阵。至于最基本的赋值、创建变量的知识还是要自己看看啊、、、不难的、、
② matlab插值
不清楚你的具体问题，给你如下的例子。你可以参考下。
§2 插值问题
在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
实例：海底探测问题
某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。并绘出较细致的海底曲面图。
一、一元插值
一元插值是对一元数据点(xi,yi)进行插值。
1． 线性插值：由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。
调用格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’) %线性插值
zi=interp1(x,y,xi,’spline’) %三次样条插值
wi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %三次多项式插值
说明：yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。x、y为已知数据点。
例1：已知数据：
x 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1
y .3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2
求当xi=0.25时的yi的值。
程序：
x=0:.1:1;
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2];
yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')
xi=0:.02:1;
yi=interp1(x,y,xi,'linear');
zi=interp1(x,y,xi,'spline');
wi=interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')
legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式')
结果：yi0 = 0.3500
要得到给定的几个点的对应函数值，可用：
xi =[ 0.2500 0.3500 0.4500]
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
结果：
yi =1.2088 1.5802 1.3454
(二) 二元插值
二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点(x,y,z)构造见世面函数求出插值点数据(xi,yi,zi)。
一、单调节点插值函数，即x,y向量是单调的。
调用格式1：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’linear’)
‘liner’ 是双线性插值 (缺省)
调用格式2：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’nearest’)
’nearest’ 是最近邻域插值
调用格式3：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’spline’)
‘spline’是三次样条插值
说明：这里x和y是两个独立的向量，它们必须是单调的。z是矩阵，是由x和y确定的点上的值。z和x,y之间的关系是z(i,:)=f(x,y(i)) z(:,j)=f(x(j),y) 即：当x变化时，z的第i行与y的第i个元素相关，当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。如果没有对x,y赋值，则默认x=1:n, y=1:m。n和m分别是矩阵z的行数和列数。
例2：已知某处山区地形选点测量坐标数据为：
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为：
z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
其地貌图为：
对数据插值加密形成地貌图。
程序：
x=0:.5:5;
y=0:.5:6;
z=[89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87];
mesh(x,y,z) %绘原始数据图
xi=linspace(0,5,50); %加密横坐标数据到50个
yi=linspace(0,6,80); %加密纵坐标数据到60个
[xii,yii]=meshgrid(xi,yi); %生成网格数据
zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'cubic'); %插值
mesh(xii,yii,zii) %加密后的地貌图
hold on % 保持图形
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %生成网格数据
plot3(xx,yy,z+0.1,'ob') %原始数据用‘O’绘出
2、二元非等距插值
调用格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,’指定插值方法’)
插值方法有： linear % 线性插值 (默认)
bilinear % 双线性插值
cubic % 三次插值
bicubic % 双三次插值
nearest % 最近邻域插值
例：用随机数据生成地貌图再进行插值
程序：
x=rand(100,1)*4-2;
y=rand(100,1)*4-2;
z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
ti=-2:.25:2;
[xi,yi]=meshgrid(ti,ti); % 加密数据
zi=griddata(x,y,z,xi,yi);% 线性插值
mesh(xi,yi,zi)
hold on
plot3(x,y,z,'o')
③ Matlab中插值函数
MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为： yi= interp1(x,y,xi,'method')
其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： 'method'是最邻近插值， 'linear'线性插值； 'spline'三次样条插值； 'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值。
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
例：在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为
12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13
问题：推测中午12点（即13点）时的温度．
功能 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。
x：原始数据点
Y：原始数据点
xi：插值点
Yi：插值点
(1)yi = interp1(x,y,xi,method)
用指定的算法计算插值：
’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；
’spline’：三次样条函数插值。
’cubic’：该方法保留单调性与数据的外形；
功能 二维数据内插值
(1)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)
返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI 与YI（可以是向量、或同型矩阵） 的元素， 即Zi(i,j) ←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi 与Yi，此时，输出向量Zi 与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。
(2)ZI = interp2(Z,XI,YI)
缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。
用指定的算法method 计算二维插值：
’linear’：双线性插值算法（缺省算法）；
’nearest’：最临近插值；
’spline’：三次样条插值；
’cubic’：双三次插值。
(4)VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI,method)
找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。
%用指定的算法method 作插值计算：
‘linear’：线性插值（缺省算法）；
‘cubic’：三次插值；
‘spline’：三次样条插值；
‘nearest’：最邻近插值。
功能 数据格点
(1)ZI = griddata(x,y,z,XI,YI,method)
用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata 将返回曲面z 在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid 生成的一样）。
用指定的算法method 计算：
‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）；
‘cubic’： 基于三角形的三次插值；
‘nearest’：最邻近插值法；
‘v4’：MATLAB 4 中的griddata 算法。
功能 三次样条数据插值
格式
(1)yy = spline(x,y,xx)
功能 生成用于画三维图形的矩阵数据
格式 [X,Y] = meshgrid(x,y) 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)] 用直线x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点，
这些点的横坐标用矩阵X 表示，X 的每个行向量与向量x 相同；这些点的纵坐标用矩阵Y 表示，Y 的每个列向量与向量y 相同。其中X,Y可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy 平面矩形定义域的划分或曲面作图。
[X,Y] = meshgrid(x) %等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) %生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f(x,y,z)或三维容积图。
④ 如何利用matlab实现多种插值
利用matlab实现多种插值：
用matlab自带的多种功能进行常用插值（样条插值，hermite插值，三次差值）呢？在完成一些习题后，我的总结如下：
1.如何实现三次样条插值（spline插值）
特点：连续三次曲线逼近，最高次数为三次
法1：spline
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
y=[0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29];
进行三次样条插值
xx=0:0.25:10; 取好绘图取值点
yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy); 绘制图像
那么如何获得插值函数？且如果三次样条插值有边界条件时，应如何拟合插值函数？此时应采取法2
法2：csape
pp=csape(x,y,'complete',[0,0.0]);
disp(pp.coefs);
complete表示给定边界条件为一阶导数，[0,0]便是两端点一阶导数为0.常用的参数还有：
'second',给定边界二阶导数.
'variational',自然样条(边界二阶导数为0)
运行结果：COEFS的含义是在Xi-Xi+1区间上的多项式是，例如COEFS数组第一行的意思是在X=0到X=1的区间上时表达式是-6.2652*（X-0)^3+0.9697*(X-0)^1+0.5;同理，可以得到在不同区间上的拟合函数
-6.2652 0.0000 0.9697 0.5000
1.8813 -0.9398 0.9227 0.5477
-0.4600 -0.4318 0.7992 0.6245
2.1442 -0.5146 0.7424 0.6708
绘制图像：xi=1:0.25:10;
yi=ppval(pp,xi);
plot(x,y,'o',xi,yi);
matlab通用的插值函数为interp1，通过改变interp1的method参数，可以实现不同的插值方式。但spline函数与interp1函数在实现样条插值时，均无法在规定边界条件的情况下进行插值，此时要用到csape，csape的complete，second参数即可满足常用边界条件需求。如果需要拟合出具体的函数，则用yi.coefs的形式，yi为插值点的拟合值。最后，使用plot函数绘制拟合函数图像。