汉诺塔算法复杂度

A. 汉诺塔该怎么玩，方法

汉诺塔算法介绍：

一位美国学者发现的特别简单的方法：只要轮流用两次如下方法就可以了。

把三根柱子按顺序排成“品”字型，把所有圆盘按从大到小的顺序放于柱子A上，根据圆盘数量来确定柱子排放的顺序：

n若为偶数的话，顺时针方向依次摆放为：ABC；而n若为奇数的话，就按顺时针方向依次摆放为：ACB。这样经过反复多次的测试，最后就可以按照规定完成汉诺塔的移动。

因此很简单的，结果就是按照移动规则向一个方向移动金片：

如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C。

(1)汉诺塔算法复杂度扩展阅读：

汉诺塔经典题目：

三根相邻的柱子，标号为A,B,C，A柱子上从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，且每次移动同一根柱子上都不可以出现大盘子在小盘子上方的情况。

至少需要几次移动的问题，我们设移动次数为H(n）。

把上面n-1个盘子移动到柱子C上，把最大的一块放在B上，把C上的所有盘子移动到B上，由此我们得出表达式：

H⑴ = 1

H(n) = 2*H(n-1）+1 (n>1）

很快我们就可以得到H(n）的一般式为：

H(n) = 2^n - 1 (n>0)

且这种方法的确是最少次数的，证明非常简单，可以尝试从2个盘子的移动开始证，可以试试。

进一步加深问题：

假如现在每种大小的盘子都有两个，并且是相邻的，设盘子个数为2n，问：⑴假如不考虑相同大小盘子的上下要几次移动，设移动次数为J(n）；⑵只要保证到最后B上的相同大小盘子顺序与A上时相同，需要几次移动，设移动次数为K(n）。

⑴中的移动相当于是把前一个问题中的每个盘子多移动一次，也就是：

J(n) = 2*H(n) = 2*（2^n - 1） = 2^(n+1）-2

在分析⑵之前，我们来说明一个现象，假如A柱子上有两个大小相同的盘子，上面一个是黑色的，下面一个是白色的，我们把两个盘子移动到B上，需要两次。

盘子顺序将变成黑的在下，白的在上，然后再把B上的盘子移动到C上，需要两次，盘子顺序将与A上时相同，由此我们归纳出当相邻两个盘子都移动偶数次时，盘子顺序将不变，否则上下颠倒。

回到最开始的问题，n个盘子移动，上方的n-1个盘子总移动次数为2*H(n-1），所以上方n-1个盘子的移动次数必定为偶数次，最后一个盘子移动次数为1次。

讨论问题⑵：

综上可以得出，要把A上2n个盘子移动到B上，可以得出上方的2n-2个盘子必定移动偶数次，所以顺序不变，移动次数为：

J(n-1） = 2^n-2

然后再移动倒数第二个盘子，移动次数为2*J(n-1）+1 = 2^(n+1）-3，

最后移动最底下一个盘子，所以总的移动次数为：

K(n) = 2*（2*J(n-1）+1）+1 = 2*（2^(n+1）-3）+1 = 2^(n+2）-5

B. 各种算法的时间复杂度

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

一般时间复杂度到了2 n(指数阶)及更大的时间复杂度,这样的算法我们基本上不会用了,太不实用了.比如递归实现的汉诺塔问题算法就是O(2 n).

平方阶(n^2)的算法是勉强能用,而nlogn及更小的时间复杂度算法那就是非常高效的算法了啊.

空间复杂度
冒泡排序,简单选择排序,堆排序,直接插入排序,希尔排序的空间复杂度为O(1),因为需要一个临时变量来交换元素位置,(另外遍历序列时自然少不了用一个变量来做索引)

快速排序空间复杂度为logn(因为递归调用了) ,归并排序空间复杂是O(n),需要一个大小为n的临时数组.

基数排序的空间复杂是O(n),桶排序的空间复杂度不确定

原文： https://blog.csdn.net/weiwenhp/article/details/8622728