建堆算法

❶ 我看书上堆排序，每次都要重新建堆，然后再调外根节点和最后一个结点，感觉这样好麻烦你们是怎么做的呢

堆排序很重要的一个步骤是初始建堆，它保证了树中的每个子树的根结点都比其下的子结点大。
建堆后的过程基本上就是选择出最大值，然后将被交换到根结点位置的结点进行下沉的过程。而这些过程虽然对树的局部结构进行了调整，但严格来说，不算是重新建堆。
《算法导论》上对堆排序讲得很详细。它把堆排序算法分成了三个子算法：
一个将结点下沉的递归算法；一个初始建堆算法和一个排序算法。
具体过程是：
1、初始建堆算法调用结点下沉递归算法完成建堆；
2、排序算法在建好的堆上得到根结点(即最大值)，然后调用结点下沉的递归算法将交换到根结点位置的结点进行下沉。反复第2步，整个算法就完成了。
思路很清晰，可以去看看。

❷ 用一组｛14，15，30，28，5，10｝关键字序列，写出初始建堆过程图示，再根据初始堆写出堆排序过程图示。

起始序列为14，15，30，28，5，10，

(1)因此起始堆的情况如下：
14
15 30
28 5 10

(2)假设是打算得到一个从小到大的c，所以需要建大顶堆，起始状态从下向上建堆：
第一步： 第二步：
14 30
28 30 28 14
25 5 10 25 5 10

(3)此时已经建立完了初始的堆。此时堆顶元素30即为最大元素，将堆顶元素与堆最后
一个元素进行交换，此时30是最大元素位于队尾，因此无需继续排序。所以堆如下图
所示：10 28 14 25 5

(4)此时由于除被交换到堆顶的10以外其他的都基本有序，所以自上而下建堆得到的堆
如下：
28
25 14
10 5

(5)重复（3）和（4）步骤确定了28的位置并得到堆如下：
25
10 14
5

(6)重复（3）和（4）步骤确定了25的位置并得到堆如下：
14
10 5

(7)重复（3）和（4）步骤确定了14的位置并得到堆如下：
10
5

(8)重复（3）和（4）步骤确定了10的位置,此时只有一个数5也位于了堆的第一个位置，
因此排序完成。

(2)建堆算法扩展阅读：

建堆效率

n个结点的堆，高度d =log2n。根为第0层，则第i层结点个数为2^i，考虑一个元素在堆中向下移动的距离。大约一半的结点深度为d-1，不移动（叶）。四分之一的结点深度为d-2，而它们至多能向下移动一层。树中每向上一层，结点的数目为前一层的一半，而子树高度加一。

这种算法时间代价为Ο（n)

由于堆有log n层深，插入结点、删除普通元素和删除最小元素的平均时间代价和时间复杂度都是

Ο（log n）。

操作实现

在程序中，堆用于动态分配和释放程序所使用的对象。在以下情况中调用堆操作：

1.事先不知道程序所需对象的数量和大小。

2.对象太大，不适合使用堆栈分配器。

堆使用运行期间分配给代码和堆栈以外的部分内存。

传统上，操作系统和运行时库随附了堆实现。当进程开始时，操作系统创建称为进程堆的默认堆。如果没有使用其他堆，则使用进程堆分配块。

语言运行时库也可在一个进程内创建单独的堆。（例如，C 运行时库创建自己的堆。）除这些专用堆外，应用程序或许多加载的动态链接库 (DLL) 之一也可以创建并使用单独的堆。Win32 提供了一组丰富的API用于创建和使用专用堆。有关堆函数的优秀教程，请参阅 MSDN 平台 SDK 节点。

❸ 堆排序中建堆过程时间复杂度O(n)怎么来的

建堆算法是从最后一个非叶子结点开始下溯(即 Max-Heapify操作)，也可以把建堆过程想成先对左子树建堆(T(n/2))，再对右子树建堆(T(n/2))，最后对根下溯(O(lg n))

❹ 在堆排序的过程中为什么要从n/2到1的顺序进行建堆过程而不是反过来

【概念】堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。
【起源】
1991年的计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(Robert W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同发明了着名的堆排序算法（ Heap Sort )。
【简介】
堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。
（1）用大根堆排序的基本思想
① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
② 再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
……
直到无序区只有一个元素为止。
（2）大根堆排序算法的基本操作：
①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。
②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。
③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)[2]
注意：
①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止
【特点】
堆排序（HeapSort）是一树形选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系（参见二叉树的顺序存储结构），在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的记录
【算法分析】
堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。
平均性能：O(N*logN)。
其他性能：由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。堆排序是就地排序，辅助空间为O(1）。它是不稳定的排序方法。（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前 和排序后他们的相对位置不发生变化）。

❺ 堆排序是怎么建堆的 关键字序列 42 13 24 91 23 16 05 88是怎样建堆的

首先把所有数据填进一个完全二叉树中。然后对非终端结点n/2向下进行调整。建小根堆的时候方法是：1.元素下调。比较它与两个孩子的大小。哪个孩子比它小也比兄弟小则把它调到那个孩子的位置。然后再判断该位置还要不要往下调。2.从n/2开始，对它之前的所有元素进行1操作。
本题解法为（按完全二叉树写）
一。把所有元素写进完全二叉树中得
42
13 24
91 23 16 05
88

二。1.对非叶子元素进行调整，即第n/2个元素，即本题的91.
因为91的孩子为88.比91小。所以调到88的位置。即91和88换
42
13 24
88 23 16 05
91

2.对n/2前一个元素进行调整。即本题的24.因为16和05都比24小，而05比16小，所以24和05调
42
13 05
88 23 16 24
91

3.对步骤2之前的一个元素，即本题的13进行调整，因为88和23都比13大，所以不用调。
4.对步骤3之前的一个元素，即本题的42进行调整。因为13和05都比42小，二05比13小。所以05和42调换位置。而调换位置后42的儿子为16和24,16比24小。所以42和16换位置。（此时已经对第一个元素进行了调整，就可以结束了，如果没错的话就是最终结果）
05
13 16
88 23 42 24
91
建的是小根堆，如果要建大根堆的话，也是往下调，但比较的是下面的哪个大。其他同理

❻ 数据结构与算法--堆和堆排序

堆排序是一种原地的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法。

堆是一种特殊的树。
只要满足这两点，它就是一个堆：

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做 “大顶堆” 。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做 “小顶堆” 。

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。下标可以直接计算出左右字数的下标。（数组中下标为 i 的节点，左子节点下标为 i∗2 ，右子节点下标为 i∗2+1，父节点的下标为 i/2​ 。）

如果我们把新插入的元素放到堆的最后，你可以看我画的这个图，是不是不符合堆的特性了？于是，我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们起了一个名字，就叫做 堆化（heapify） 。
堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。这里我先讲从下往上的堆化方法。
堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是 从上往下的堆化方法 。

一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2​n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

这里我们借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫做堆排序。这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是 O(nlogn)，并且它还是原地排序算法。

从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。
因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从最后一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。

建堆的时间复杂度就是 O(n)。 推导过程见 极客时间--数据结构与算法之美

建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。
这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。

整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。
堆排序不是稳定的排序算法，因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。

堆这种数据结构几个非常重要的应用：优先级队列、求 Top K 和求中位数。

假设我们有 100 个小文件，每个文件的大小是 100MB，每个文件中存储的都是有序的字符串。我们希望将这些 100 个小文件合并成一个有序的大文件。这里就会用到优先级队列。
这里就可以用到优先级队列，也可以说是堆。我们将从小文件中取出来的字符串放入到小顶堆中，那堆顶的元素，也就是优先级队列队首的元素，就是最小的字符串。我们将这个字符串放入到大文件中，并将其从堆中删除。然后再从小文件中取出下一个字符串，放入到堆中。循环这个过程，就可以将 100 个小文件中的数据依次放入到大文件中。

我们可以用优先级队列来解决。我们按照任务设定的执行时间，将这些任务存储在优先级队列中，队列首部（也就是小顶堆的堆顶）存储的是最先执行的任务。

如何在一个包含 n 个数据的数组中，查找前 K 大数据呢？我们可以维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了。

中位数，顾名思义，就是处在中间位置的那个数。
使用两个堆：一个大顶堆， 一个小顶堆。 小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据。
如果新加入的数据小于等于大顶堆的堆顶元素，我们就将这个新数据插入到大顶堆；否则，我们就将这个新数据插入到小顶堆。
也就是说，如果有 n 个数据，n 是偶数，我们从小到大排序，那前 2n​ 个数据存储在大顶堆中，后 2n​ 个数据存储在小顶堆中。这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。如果 n 是奇数，情况是类似的，大顶堆就存储 2n​+1 个数据，小顶堆中就存储 2n​ 个数据。

极客时间--数据结构与算法之美--28 | 堆和堆排序：为什么说堆排序没有快速排序快？