差分四则运算法则证明

① 函数极限的四则运算法则是什么

法则：连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

以下是函数极限的相关介绍：

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

以上资料参考网络——函数极限

② 什么叫差分，差分方程是啥

1、差分又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具。它将原函数f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。差分又分为前向差分、向后差分及中心差分三种。

2、差分方程（是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数。某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的（混沌的）性质，他们属于数学中的非线性分析领域。

(2)差分四则运算法则证明扩展阅读：

差分方程举例：

dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1] （注：解为y(x)=e^(-x))；

要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1）/n,1]

这样上述微分方程可以离散化为：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组）

利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，可以计算出 y(k/n) 的近似值了。

差分方程的性质

1、Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn。

2、Δk(cxn)=cΔkxn。

3、Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j。

4、数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）。

③ 极限四则运算法则证明求解

具体回答如图：

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。

(3)差分四则运算法则证明扩展阅读：

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε。

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足

④ 数列极限四则运算的证明例题看不懂请高手指教！

首先要注意，目标是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以证明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。于是通过绝对值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到与这两个式子（|An-A|和|Bn-B|）的关系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，问题就解决了。这两个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),为了清晰起见，分母加了括号。|A|是个常数，已经没有问题，但|Bn|不是常数，于是根据收敛数列的有界性，即：|Bn|＜M，找到与n无关的正常数M。于是|An-A||Bn|<|An-A|M＜ε/2,后一个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2M),这里已经假定M是正数，绝对值符号就不写了。这就是ε/(2M)的由来，而不是突然冒出来的。

证明中，快到最后的时候有一句话：由于不等式①②③，当n＞N时，我们有|An•Bn-AB|＜ε/2+ε/2=ε
其实仔细写来，应该是：
|An•Bn-AB|≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|<|An-A|M+|A||Bn-B|＜ε/(2M)•M+|A|•ε/(2|A|)=ε/2+ε/2=ε
第一个“≤”用了①，第二个“<”用了“|Bn|＜M ”，第三个“<”用了②③。

另外，如果limAn=A，一般得到|An-A|＜ε，肯定没有问题，如果写成|An-A|＜ε/2，空侍应该也要理解。证明中就强调“对于任意给定的ε＞0，无论怎样小”。这句话一定要充分理解，一个是“任意”，一个是“无论怎样小”。所以一定要理解“ε”是充分的小。因此，如果limAn=A，我们可以得到|An-A|＜ε，也可以得到|An-A|＜ε/2 或举前者 |An-A|＜2ε，甚至如果常数 a>0，我们同样可以得到|An-A|＜ε/a 或者 |An-A|＜aε。但是，一定要注意 a 与数列的下标 n 无关，是一般函数的话，务必和函数的自变量无关。证明中在引出常数“M”时，特别强调“存在一个与n无关的斗答吵正数M”。

其实如果我们最后得到：|An•Bn-AB|<ε'M+|A|•ε''也是可以的，这里的ε'是由limAn=A得到的，ε''是由limBn=B得到的。但这样一则不漂亮，二则还要说明“ε'M+|A|•ε''”也是充分小。与其都要说明，那就放在中间了，这样最后得到|An•Bn-AB|<ε，又漂亮又可以直接写：“这就是说，An•Bn的极限存在，且等于AB”了。

至于ε要不要找一个正常数与其相乘除，找怎样的正常数，就要看题目了。比如，上面的证明如果改成三个已知极限的乘积，或许就要用到ε/3了。给ε找一个正常数与其相乘除，是解这一类题目的“惯用伎俩”。