数值分析欧拉方法的算法步骤

Ⅰ 改进欧拉法的欧拉算法

所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。对于常微分方程：


可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：
yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L
这就是欧拉公式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L。
为简化分析，人们常在yi为准确即yi=y(xi)的前提下估计误差y(xi+1)-yi+1，这种误差称为局部截断误差。
如果一种数值方法的局部截断误差为O(h^（p+1）)，则称它的精度是p阶的，或称之为p阶方法。欧拉格式的局部截断误差为O(h^2)，由此可知欧拉格式仅为一阶方法。

Ⅱ 改进的欧拉公式是什么

y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)，局部截断误差是O(h^2)。

改进欧拉法是对欧拉算法的改进方法。微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。

实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。

注意：

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理乍得·费曼(Richard Phillips Feynman)将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的着作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”。

Ⅲ 什么是欧拉方法(Euler's method)

欧拉法是常微分方程的数值解法的一种，其基本思想是迭代。其中分为前进的EULER法、后退的EULER法、改进的EULER法。所谓迭代，就是逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。误差可以很容易地计算出来。欧拉法是考察流体流动的一种方法。通常考察流体流动的方法有两种，即拉格朗日法和欧拉法。

欧拉法的特点

单步，显式，一阶求导精度，截断误差为二阶。

欧拉法的缺点

欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。

Ⅳ 欧拉算法怎么实现 javascript

欧拉算法
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。对于常微分方程：
dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]
y(a)=y0
可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：
yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L
这就是欧拉格式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L。
为简化分析，人们常在yi为准确即yi=y(xi)的前提下估计误差y(xi+1)-yi+1，这种误差称为局部截断误差。
如果一种数值方法的局部截断误差为O(h^p+1)，则称它的精度是p阶的，或称之为p阶方法。欧拉格式的局部截断误差为O(h^2)，由此可知欧拉格式仅为一阶方法。
欧拉公式：
y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)
且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)
局部截断误差是O(h^2)

改进的欧拉算法
先用欧拉法求得一个初步的近似值，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的yi+1再直接计算fi+1，得到校正值yi+1，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式：
预报值 y~i+1=yi+1 + h*f(xi,yi)
校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]
它有下列平均化形式：
yp=yi+h*f(xi,yi)
且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)
且 yi+1=(xp+yc)/2
它的局部截断误差为O(h^3)，可见，改进欧拉格式较欧拉格式提高了精度，其截断误差比欧拉格式提高了一阶。
注：欧拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的导数，局部截断误差较大；改进欧拉法先用欧拉法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比欧拉法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。

改进欧拉算法
#include<iostream.h>
#define N 20
void ModEuler(float (*f1)(float,float),float x0,float y0,float xn,int n)
{
int i;
float yp,yc,x=x0,y=y0,h=(xn-x0)/n;
cout<<"x[0]="<<x<<'t'<<"y[0]"<<y<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
yp=y+h*f1(x,y);
x=x0+i*h;
yc=y+h*f1(x,yp);
y=(yp+yc)/2.0;
cout<<"x["<<i<<"]="<<x<<" y["<<i<<"]="<<y<<endl;
}
}
void main()
{
float xn=5.0,x0=0.0,y0=2.0;
float f1(float ,float);
ModEuler(f1,x0,y0,xn,N);
}
float f1(float x,float y)
{
return -x*y*y;
}