dijkstra算法视频

A. 图遍历算法之最短路径Dijkstra算法

最短路径问题是图论研究中一个经典算法问题，旨在寻找图中两节点或单个节点到其他节点之间的最短路径。根据问题的不同，算法的具体形式包括：

常用的最短路径算法包括：Dijkstra算法，A 算法，Bellman-Ford算法，SPFA算法（Bellman-Ford算法的改进版本），Floyd-Warshall算法，Johnson算法以及Bi-direction BFS算法。本文将重点介绍Dijkstra算法的原理以及实现。

Dijkstra算法，翻译作戴克斯特拉算法或迪杰斯特拉算法，于1956年由荷兰计算机科学家艾兹赫尔.戴克斯特拉提出，用于解决赋权有向图的 单源最短路径问题 。所谓单源最短路径问题是指确定起点，寻找该节点到图中任意节点的最短路径，算法可用于寻找两个城市中的最短路径或是解决着名的旅行商问题。

问题描述 ：在无向图 中， 为图节点的集合， 为节点之间连线边的集合。假设每条边 的权重为 ，找到由顶点 到其余各个节点的最短路径（单源最短路径）。

为带权无向图，图中顶点 分为两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用 表示）。初始时 只有源点，当求得一条最短路径时，便将新增顶点添加进 ，直到所有顶点加入 中，算法结束。第二组为未确定最短路径顶点集合（用 表示），随着 中顶点增加， 中顶点逐渐减少。

以下图为例，对Dijkstra算法的工作流程进行演示（以顶点 为起点）：

注：
01） 是已计算出最短路径的顶点集合；
02） 是未计算出最短路径的顶点集合；
03） 表示顶点 到顶点 的最短距离为3
第1步 ：选取顶点 添加进

第2步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第3步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第4步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第5步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第6步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第7步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

示例：node编号1-7分别代表A,B,C,D,E,F,G

(s.paths <- shortest.paths(g, algorithm = "dijkstra"))输出结果：

(s.paths <- shortest.paths(g,4, algorithm = "dijkstra"))输出结果：

示例：

找到D（4）到G（7）的最短路径：

[1] 维基网络，最短路径问题： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E7%9F%AD%E8%B7%AF%E9%97%AE%E9%A2%98 ；
[2]CSDN，Dijkstra算法原理： https://blog.csdn.net/yalishadaa/article/details/55827681 ;
[3]RDocumentation: https://www.rdocumentation.org/packages/RNeo4j/versions/1.6.4/topics/dijkstra ;
[4]RDocumentation: https://www.rdocumentation.org/packages/igraph/versions/0.1.1/topics/shortest.paths ;
[5]Pypi: https://pypi.org/project/Dijkstar/

B. dijkstra算法是什么

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。

其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。

不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。

举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示着城市间开车行经的距离。Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。我们以V表示G中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。（u,v)表示从顶点u到v有路径相连。我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E→[0,∞］定义。

因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值（cost)。边的花费可以想象成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。

已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径（i.e.最短路径）。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。

C. 最短路径算法（Dijkstra）

Dijkstra（ 迪科斯特拉 ）算法是用来解决核激唯单源最短路径的算法，要求路径权值非负数。该算法利用了深度优先搜索和贪心的算法。

下面是一个有权图，求从A到各个节点的最短路径。

第1步：从A点出发，判断每个点到A点的路径（如果该点不能直连A点则距离值为无穷大，如果该点能和A直连则是当前的权值），计算完之后把A点上色，结果如下图:

第2步：从除A点之外的点查找到距离A点最近的点C，从C点出发查找其邻近的节点（除去已上色的点），并重新计算C点的邻近点距离A点的值，如图中B点，若新值（C点到A点的值+C点到该点的路径）小于原值，则将值更新为5，同理更新D、E点。同时将C标铅陵记为已经处理过，如图所示涂色。

第3步：从上色的节点中查找距离A最近的B点，重复第3步操作。

第4步： 重复第3步，改培2步，直到所有的节点都上色。

最后就算出了从A点到所有点的最短距离。

leetcode 743题

D. Dijkstra算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。注意该算法要求图中不存在负权边。

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度含侍仿。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

（1）初始时，S只包含起点D；U包含除D外的其他顶点，且U中顶点的距离为“起点D到该顶点的距离”（例如，U中顶点A的距离为[D,A]的长度，然后D和A不相邻，则谈枣A的距离为∞）
（2）从U中选出“距离最短的顶点K”，并将顶点K加入到S中；同时，从U中移除顶点K
（3）更新U中各个顶点到起点D的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步谈纤中确定了K是求出最短路径的顶点，从而可以利用K来更新其他顶点到起点D的距离（例如，[D,A]的距离可能大于[D,K]+[K,A]的距离）
（4）重复步骤（2）和（3），直到遍历完所有顶点

https://blog.csdn.net/yalishadaa/article/details/55827681

E. 最短路径的Dijkstra算法

Dijkstra算法（迪杰斯特拉）是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。可以用堆优化。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的 A* 算法和 D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。
其采用的是贪心法的算法策略
大概过程：
创建两个表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
1． 访问路网中距离起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。
2． 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。
3． 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。
4． 重复第2和第3步,直到OPEN表为空，或找到目标点。 #include<iostream>#include<vector>usingnamespacestd;voiddijkstra(constint&beg,//出发点constvector<vector<int>>&adjmap,//邻接矩阵，通过传引用避免拷贝vector<int>&dist,//出发点到各点的最短路径长度vector<int>&path)//路径上到达该点的前一个点//负边被认作不联通//福利：这个函数没有用任何全局量，可以直接复制！{constint&NODE=adjmap.size();//用邻接矩阵的大小传递顶点个数，减少参数传递dist.assign(NODE,-1);//初始化距离为未知path.assign(NODE,-1);//初始化路径为未知vector<bool>flag(NODE,0);//标志数组，判断是否处理过dist[beg]=0;//出发点到自身路径长度为0while(1){intv=-1;//初始化为未知for(inti=0;i!=NODE;++i)if(!flag[i]&&dist[i]>=0)//寻找未被处理过且if(v<0||dist[i]<dist[v])//距离最小的点v=i;if(v<0)return;//所有联通的点都被处理过flag[v]=1;//标记for(inti=0;i!=NODE;++i)if(adjmap[v][i]>=0)//有联通路径且if(dist[i]<0||dist[v]+adjmap[v][i]<dist[i])//不满足三角不等式{dist[i]=dist[v]+adjmap[v][i];//更新path[i]=v;//记录路径}}}intmain(){intn_num,e_num,beg;//含义见下cout<<输入点数、边数、出发点：;cin>>n_num>>e_num>>beg;vector<vector<int>>adjmap(n_num,vector<int>(n_num,-1));//默认初始化邻接矩阵for(inti=0,p,q;i!=e_num;++i){cout<<输入第<<i+1<<条边的起点、终点、长度（负值代表不联通）：;cin>>p>>q;cin>>adjmap[p][q];}vector<int>dist,path;//用于接收最短路径长度及路径各点dijkstra(beg,adjmap,dist,path);for(inti=0;i!=n_num;++i){cout<<beg<<到<<i<<的最短距离为<<dist[i]<<，反向打印路径：;for(intw=i;path[w]>=0;w=path[w])cout<<w<<<-;cout<<beg<<' ';}}

F. 最短路径 | 深入浅出Dijkstra算法（一）

上次我们介绍了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 最短路算法 ，它可以方便的求得 任意两点的最短路径， 这称为 “多源最短路”。

这次来介绍 指定一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径， 也叫做 “单源最短路径”。 例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。

与 Floyd-Warshall 算法一样，这里仍然 使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系， 初始值如下。

我们还需要用 一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程， 我们可以称 dis 数组为 “距离表”， 如下。

我们将此时 dis 数组中的值称为 最短路的“估计值”。

既然是 求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程， 那就 先找一个离 1 号顶点最近的顶点。

通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。 当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”， 即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。

为什么呢？你想啊， 目前离 1 号顶点最近的是 2 号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。 因此 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短，对吧 O(∩_∩)O~

既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点 有哪些 出边 呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。

先讨论 通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。 也就是说现在来比较 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程，e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点，再通过 2->3 这条边，到达 3 号顶点的路程。

我们发现 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做 “松弛” 。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3]，通过 2->3 这条边 松弛成功。 这便是 Dijkstra 算法的主要思想： 通过 “边” 来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。

同理通过 2->4（e[2][4]），可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4（dis[4]初始为 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新为 4）。

刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

接下来，继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点。通过上面更新过 dis 数组，当前离 1 号顶点最近是 4 号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边（4->3，4->5 和 4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 3 号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 5 号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

最后对 6 号顶点的所有出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边，因此不用处理。 到此，dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

最终 dis 数组如下，这便是 1 号顶点到其余各个顶点的最短路径。

OK，现在来总结一下刚才的算法。 Dijkstra算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是 1 号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。

基本步骤如下：

在 博客 中看到两个比较有趣的问题，也是在学习Dijkstra时，可能会有疑问的问题。

当我们看到上面这个图的时候，凭借多年对平面几何的学习，会发现在“三角形ABC”中，满足不了 构成三角形的条件(任意两边之和大于第三边)。 纳尼，那为什么图中能那样子画？

还是“三角形ABC”，以A为起点，B为终点，如果按照平面几何的知识， “两点之间线段最短”， 那么，A到B的最短距离就应该是6(线段AB)，但是，实际上A到B的最短距离却是3+2=5。这又怎么解释？

其实，之所以会有上面的疑问，是因为 对边的权值和边的长度这两个概念的混淆， 。之所以这样画，也只是为了方便理解（每个人写草稿的方式不同，你完全可以用别的方式表示，只要便于你理解即可）。

PS：数组实现邻接表可能较难理解，可以看一下 这里

参考资料：

Dijkstra算法是一种基于贪心策略的算法。每次新扩展一个路程最短的点，更新与其相邻的点的路程。当所有边权都为正时，由于不会存在一个路程更短的没扩展过的点，所以这个点的路程永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。

根据这个原理， 用Dijkstra算法求最短路径的图不能有负权边， 因为扩展到负权边的时候会产生更短的路径，有可能破坏了已经更新的点路径不会发生改变的性质。

那么，有没有可以求带负权边的指定顶点到其余各个顶点的最短路径算法（即“单源最短路径”问题）呢？答案是有的， Bellman-Ford算法 就是一种。（我们已经知道了 Floyd-Warshall 可以解决“多源最短路”问题，也要求图的边权均为正）

通过 邻接矩阵 的Dijkstra时间复杂度是 。其中每次找到离 1 号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N)，这里我们可以用 优先队列（堆） 来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到 。这个我们将在后面讨论。

G. 简谈迪克斯特拉算法

一直想要学点简单的算法，叨叨了好久，开始吧【这篇文章的前言无非就是我想说点废话，大家可以选择性的过滤哈。】

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家 狄克斯特拉 于1959 年提出的，因此又叫 狄克斯特拉算法 。是从一个顶点到其余各顶点的 最短路径 算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

敲黑板~进入正题
迪杰斯特拉算法是目前 OIER 们最爱用的最短路算法，下面讲一下这个算法的思路【图丑，请大家忍耐一下】：

第一步，我们先把a加入集合，数组变成（s = {a}, dis[] = {0, ∞,∞,∞,∞,∞,∞,∞}）
第二步，找到和a最近的点，为b，把b加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向哈仿歼塌】，数组变成（s = {a, b}, dis[] ={0,2,∞,∞,∞,∞,∞,∞}）
第三步，找到和b最近的点，为d，把d加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d}, dis[] = {0,2,∞,3,∞,∞,∞,∞}）
第四步，找到和d最近的点，为e，把e加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e}, dis[] = {0,2,∞,3,5,∞,∞,∞改纤}）
第五步，找到和e最近的点，为f，把f加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e, f}, dis[] = {0,2,∞,3,5,9,∞,∞}）
第六步，找到和f最近的点，为g，把g加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e, f, g}, dis[] = {0,2,∞,3,5,9,12,∞}）
第七步，目前只剩下c和h了，那么我们先要找到距离集合路径最短的c，把c加备圆入集合，并确定他的最短路径，数组变成（s = {a, b, c, d, e, f, g}, dis[]= {0,2,13,3,5,9,12,∞}）
第八步，最后一步，我们找到距离集合路径最短的h，把h加入集合，并确定他的最短路径，数组变成（s = {a, b, c, d, e, f, g, h}, dis[] = {0,2,13,3,5,9,12,18}）
得嘞，这个大致的思路是这样的，还有后续哟，欲知后事如何，请看下回讲解~