区间覆盖贪心算法

❶ 贪心算法及其应用

求解一个问题时有多个步骤，每个步骤都选择当下最优的那个解，而不用考虑整体的最优解。通常，当我们面对的问题拥有以下特点的时候，就可以考虑使用贪心算法。

比如，我们举个例子，仓库里面总共有五种豆子，其对应的重量和总价值如下，现在我们有一个可以装100KG重量的袋子，怎么装才能使得袋子中的豆子价值最大？

我们首先看看这个问题是否符合贪心算法的使用场景？限制值是袋子100KG，期望值是袋子里面的价值最高。所以是符合的。那么我们尝试着应用下贪心算法的方法，每一个步骤都寻找当下的最优解，怎么做呢？

把仓库里面的每种豆子价值除以重量，得出每种豆子的单价，那么当下的最优解，肯定是尽可能最多地装单价最贵的，也就是先把20KG的黄豆都装上，然后再把30KG的绿豆都装上，再装50KG的红豆，那么此时正好装满袋子，总价值将是270元，这就是通过贪心算法求解的答案。

贪心算法的应用在这个问题上的求解是否是最优解需要一个很复杂的数学论证，我们不用那样，只要心里举几个例子，验证下是否比它更好即可，如果举不出例子，那么就可以认为这就是最优解了。

虽然贪心算法虽然在大部分实践场景中都能得到最优解，但是并不能保证一定是最优解。比如在如下的有向带权图中寻找从S到T的最短路径，那么答案肯定就是S->A->E->T，总代价为1+4+4=9；

然而，实际上的最短路径是S->B->D->T，总代价为6。

所以，不能所有这类问题都迷信贪心算法的求解，但其作为一种算法指导思想，还是很值得学习的。

除了以上袋子装豆子的问题之外，还有很多应用场景。这种问题能否使用贪心算法来解决的关键是你能否将问题转换为贪心算法适用的问题，即找到问题的限制值和期望值。

我们有m个糖果要分给n个孩子，n大于m，注定有的孩子不能分到糖果。其中，每个糖果的大小都不同，分别为S1,S2,S3...,Sm，每个孩子对糖果的需求也是不同的，为N1,N2,N3...,Nn，那么我们如何分糖果，才能尽可能满足最多数量孩子的需求？

这个问题中，限制值是糖果的数量m，期望值满足最多的孩子需求。对于每个孩子，能用小的糖果满足其需求，就不要用大的，避免浪费。所以我们可以给所有孩子的需求排个序，从需求最小的孩子开始，用刚好能满足他的糖果来分给他，以此来分完所有的糖果。

我们有1元、5元、10元、20元、50元、100元纸币各C1、C5、C10、C20、C50、C100张，现在要购买一个价值K元的东西，请问怎么才能适用最少的纸币？

这个问题应该不难，限制值是各个纸币的张数，期望值是适用最少的纸币。那么我们就先用面值最大的100元去付钱，当再加一张100元就超过K时，就更换小面额的，直至正好为K元。

对于n个区间[L1,R1],[L2,R2]...[Ln,Rn]，我们怎么从中选出尽可能多的区间，使它们不相交？

我们需要把这个问题转换为符合贪心算法特点的问题，假设这么多区间的最左端点是Lmin，最右端点是Rmax，那么问题就是在[Lmin,Rmax]中，选择尽可能多的区间往里面塞，并且保证它们不相交。这里，限制值就是区间[Lmin,Rmax]，期望值就是尽可能多的区间。

我们的解决办法就是每次从区间中选择那种左端点>=已经覆盖区间右边端点的，且该区间右端点尽可能高小的。如此，我们可以让未覆盖区间尽可能地大，才能保证可以塞进去尽可能多的区间。

贪心算法最重要的就是学会如何将要解决的问题抽象成适合贪心算法特点的模型，找到限制条件和期望值，只要做好这一步，接下来的就比较简单了。在平时我们不用刻意去记，多多练习类似的问题才是最有效的学习方法。

❷ 算法09-贪心算法

贪心算法与动态规划的不同在于它对每个子问题的解决方案都作出选择，不能回退。动态规划则会保存以前的运算结果，并根据以前的结果对当前进行选择，有回退功能。

很多情况下，可以在某一步用贪心算法，全局再加一个搜索或递归或动态规划之类

贪心法可以解决一些最优化问题，如:求图中的最小生成树、求哈夫曼编码等。然而对于工程和生活中的问题，贪心法一般不能得到我们所要求的答案。
一单一个问题可以通过贪心法来解决，那么贪心法一般是解决这个问题的最好办法。由于贪心法的高效性以及其所求得的答案比较接近最优结果，贪心法也可以用作辅助算法或者直接解决一些要求结果不特别精确的问题。

当硬币可选集合固定:Coins = [20,10,5,1],求最少几个硬币可以拼出总数。比如total=36。
36 - 20 = 16 20
16 - 10 = 6 20 10
6 - 5 = 1 20 10 5
1 - 1 = 0 20 10 5 1
前面这些硬币依次是后面硬币的整数倍，可以用贪心法，能得到最优解，

贪心法的反例
非整除关系的硬币，可选集合:Coins = [10,9,1],求拼出总数为18最少需要几个硬币？
最优化算法:9 + 9 = 18 两个9
贪心算法:18 - 10 = 8 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 = 0 八个1

简单地说，问题能够分解成子问题来解决，子问题的最优解能递推到最终问题的最优解。这种子问题最优解成为最优子结构。
贪心算法与动态规划的不同在于它对每个子问题的最终方案都作出选择，不能回退。
动态规划则会保存以前的运算结果，并根据以前的结果对当前进行选择，有回退功能。

假设你是一位很棒的家长，想要给你的孩子们一些小饼干。但是，每个孩子最多只能给一块饼干。
对每个孩子 i，都有一个胃口值 g[i]，这是能让孩子们满足胃口的饼干的最小尺寸；并且每块饼干 j，都有一个尺寸 s[j] 。如果 s[j] >= g[i]，我们可以将这个饼干 j 分配给孩子 i ，这个孩子会得到满足。你的目标是尽可能满足越多数量的孩子，并输出这个最大数值。
示例 1:
输入: g = [1,2,3], s = [1,1]
输出: 1
解释:
你有三个孩子和两块小饼干，3个孩子的胃口值分别是：1,2,3。
虽然你有两块小饼干，由于他们的尺寸都是1，你只能让胃口值是1的孩子满足。
所以你应该输出1。
示例 2:
输入: g = [1,2], s = [1,2,3]
输出: 2
解释:
你有两个孩子和三块小饼干，2个孩子的胃口值分别是1,2。
你拥有的饼干数量和尺寸都足以让所有孩子满足。
所以你应该输出2.
提示：
1 <= g.length <= 3 * 104
0 <= s.length <= 3 * 104
1 <= g[i], s[j] <= 231 - 1

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

给定一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。
数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
判断你是否能够到达最后一个下标。
示例 1：
输入：nums = [2,3,1,1,4]
输出：true
解释：可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1, 然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。
示例 2：
输入：nums = [3,2,1,0,4]
输出：false
解释：无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0 ， 所以永远不可能到达最后一个下标。

给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。
数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。
示例:
输入: [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳 1 步，然后跳 3 步到达数组的最后一个位置。
说明:
假设你总是可以到达数组的最后一个位置。
移动下标只要遇到当前覆盖最远距离的下标，直接步数加一，不考虑是不是终点的情况。
想要达到这样的效果，只要让移动下标，最大只能移动到nums.size - 2的地方就可以了。
因为当移动下标指向nums.size - 2时：
如果移动下标等于当前覆盖最大距离下标， 需要再走一步（即ans++），因为最后一步一定是可以到的终点。（题目假设总是可以到达数组的最后一个位置），如图：

如果移动下标不等于当前覆盖最大距离下标，说明当前覆盖最远距离就可以直接达到终点了，不需要再走一步。如图：

机器人在一个无限大小的 XY 网格平面上行走，从点 (0, 0) 处开始出发，面向北方。该机器人可以接收以下三种类型的命令 commands ：
-2 ：向左转 90 度
-1 ：向右转 90 度
1 <= x <= 9 ：向前移动 x 个单位长度
在网格上有一些格子被视为障碍物 obstacles 。第 i 个障碍物位于网格点 obstacles[i] = (xi, yi) 。
机器人无法走到障碍物上，它将会停留在障碍物的前一个网格方块上，但仍然可以继续尝试进行该路线的其余部分。
返回从原点到机器人所有经过的路径点（坐标为整数）的最大欧式距离的平方。（即，如果距离为 5 ，则返回 25 ）
注意：
北表示 +Y 方向。
东表示 +X 方向。
南表示 -Y 方向。
西表示 -X 方向。
示例 1：
输入：commands = [4,-1,3], obstacles = []
输出：25
解释：
机器人开始位于 (0, 0)：

在柠檬水摊上，每一杯柠檬水的售价为 5 美元。
顾客排队购买你的产品，（按账单 bills 支付的顺序）一次购买一杯。
每位顾客只买一杯柠檬水，然后向你付 5 美元、10 美元或 20 美元。你必须给每个顾客正确找零，也就是说净交易是每位顾客向你支付 5 美元。
注意，一开始你手头没有任何零钱。
如果你能给每位顾客正确找零，返回 true ，否则返回 false 。
示例 1：
输入：[5,5,5,10,20]
输出：true
解释：
前 3 位顾客那里，我们按顺序收取 3 张 5 美元的钞票。
第 4 位顾客那里，我们收取一张 10 美元的钞票，并返还 5 美元。
第 5 位顾客那里，我们找还一张 10 美元的钞票和一张 5 美元的钞票。
由于所有客户都得到了正确的找零，所以我们输出 true。
示例 2：
输入：[5,5,10]
输出：true
示例 3：
输入：[10,10]
输出：false
示例 4：
输入：[5,5,10,10,20]
输出：false
解释：
前 2 位顾客那里，我们按顺序收取 2 张 5 美元的钞票。
对于接下来的 2 位顾客，我们收取一张 10 美元的钞票，然后返还 5 美元。
对于最后一位顾客，我们无法退回 15 美元，因为我们现在只有两张 10 美元的钞票。
由于不是每位顾客都得到了正确的找零，所以答案是 false。

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
示例 4：
输入：coins = [1], amount = 1
输出：1
示例 5：
输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

❸ 活动选择（贪心算法）

参考： 【算法导论】贪心算法之活动选择问题

贪心算法（Greedy Algorithm）在每一步都做出当时看起来最佳的选择，寄希望这样的选择能导致全局最优解。
这种算法并不能保证得到最优解，但对很多问题确实可以求得最优解。

假定有一个n个活动的集合S={a1,a2,a3,...,an},这些活动 使用同一个资源 ，而这个资源在某个时刻 只能给一个活动使用 。每个活动都有一个 开始时间si 和一个 结束时间fi ，其中0<=si<fi<=∞。
如果活动ai被选中，则此活动发生在 半开区间[si,fi) 中。
若两个活动ai和aj的 时间区间不重叠 ，则称这两个活动是 兼容 的

在活动选择问题中，我们希望选出一个最大兼容活动集。
假定活动已经按照 结束时间递增顺序 排好序
f1<=f2<=f3<=...<=fn

考虑如下例子：

可以看到，{a3,a9,a11}是由相互兼容的活动组成。但它不是一个最大集，{a1,a4,a8,a11}更大，是一个最大集。（最大集不唯一）

假设：Sij表示在ai结束之后，在aj开始之前的活动的 集合 。Aij表示Sij的一个最大相互兼容的活动子集。
那么只要Sij非空，则Aij至少会包含一个活动，假设为ak。那么可以将Aij分解为：Aij = Aik+ak+Akj。
假设Cij为Aij的大小，那么有Cij=cik+ckj+1。
于是，我们可以利用动态规划得到这个问题的递归解

我们当然可以利用动态规划自底向上地求解这个问题，但是我们可以利用贪心算法更快地求解问题答案。

我们选择活动 结束时间最早 的那个活动，这样能够给其他活动尽可能的腾出多余的时间，而后每一步都在剩下的活动中选取最早的活动，这样就可以获得一个最优解。

为什么贪心选择——最早结束的活动ai——总是最优解的一部分呢？

假设Aij是Sij的某个最大兼容活动集，假设Aij中，最早结束的活动是an。（an是最优解中最早结束的，不一定是原先活动中最早结束的）我们要证明我们选择的a1（原先活动集中最早结束的）也在最优解中。
分两种情况：

①如果an=a1，则得证

②如果an不等于a1，则an的结束时间一定会 晚于 a1的结束时间，我们用a1去 替换 Aij中的an，于是得到A'，由于a1比an结束的早，而Aij中的其他活动都比an的结束时间开始 的要晚，所以A'中的 其他活动 都与a1不相交 ，所以A'中的所有活动是兼容的，所以A`也是Sij的一个最大兼容活动集。
（简单说，就是用a1 替换 an，得到另一个解A'，由于a1最早结束，当然与其他活动不相交，于是A'也兼容且个数和A一样，所以A'也是最优解）

于是证明了命题。

通过以上分析，我们可以反复地选择最先结束的活动，保留于此活动兼容的活动，重复执行，直到不再有剩余活动。
贪心算法通常是 自顶向下 地设计：做出一个选择，然后求解剩下的那个子问题

为了方便初始化，我们添加一个虚拟活动a0，其结束时间为f0=0

由于我们之前就已经将活动按结束时间排好序，每一次找元素都只对元素访问一次，所以贪心算法的时间复杂度是大theta（n）

❹ 贪心算法——活动安排问题

•贪心算法的特点是每个阶段所作的选择都是局部最优的，它期望通过所作的局部最优选择产生出一个全局最优解。

贪心与动态规划： 与动态规划不同的是，贪心是 鼠目寸光 ；动态规划是 统揽全局 。

–动态规划：每个阶段产生的都是全局最优解

•第i阶段的“全局”： 问题空间为(a1, … , ai)

•第i阶段的“全局最优解”：问题空间为 (a1, … , ai)时的最优解

–贪心：每个阶段产生的都是局部最优解

•第i阶段的“局部”：问题空间为按照贪心策略中的优先级排好序的第i个输入ai

•第i阶段的“局部最优解”： ai

•贪心选择性质：所求问题的全局最优解可以通过一系列局部最优的选择（即贪心选择）来达到。

–这是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

•最优子结构性质：当原问题的最优解包含子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。

最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征

•要求高效地安排一系列争用某一公共资源（例如会议室）的活动（使尽可能多的活动能兼容使用公共资源）。

–设有n个活动的集合E={e1,e2…en}，其中每个活动都要求使用同一资源，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi，且si<fi。如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si,fi)内占用资源。

–若区间[si,fi)与区间[sj,fj)不相交，则称ei和ej是相容的。也就是说，当si≥fj或sj≥fi时，活动i和活动j相容。

•活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合。

❺ 算法怎么学

贪心算法的定义：

贪心算法是指在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，只做出在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。

解题的一般步骤是：

1.建立数学模型来描述问题；

2.把求解的问题分成若干个子问题；

3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解；

4.把子问题的局部最优解合成原来问题的一个解。

如果大家比较了解动态规划，就会发现它们之间的相似之处。最优解问题大部分都可以拆分成一个个的子问题，把解空间的遍历视作对子问题树的遍历，则以某种形式对树整个的遍历一遍就可以求出最优解，大部分情况下这是不可行的。贪心算法和动态规划本质上是对子问题树的一种修剪，两种算法要求问题都具有的一个性质就是子问题最优性(组成最优解的每一个子问题的解，对于这个子问题本身肯定也是最优的)。动态规划方法代表了这一类问题的一般解法，我们自底向上构造子问题的解，对每一个子树的根，求出下面每一个叶子的值，并且以其中的最优值作为自身的值，其它的值舍弃。而贪心算法是动态规划方法的一个特例，可以证明每一个子树的根的值不取决于下面叶子的值，而只取决于当前问题的状况。换句话说，不需要知道一个节点所有子树的情况，就可以求出这个节点的值。由于贪心算法的这个特性，它对解空间树的遍历不需要自底向上，而只需要自根开始，选择最优的路，一直走到底就可以了。

话不多说，我们来看几个具体的例子慢慢理解它：

1.活动选择问题

这是《算法导论》上的例子，也是一个非常经典的问题。有n个需要在同一天使用同一个教室的活动a1,a2,…,an，教室同一时刻只能由一个活动使用。每个活动ai都有一个开始时间si和结束时间fi 。一旦被选择后，活动ai就占据半开时间区间[si,fi)。如果[si,fi]和[sj,fj]互不重叠，ai和aj两个活动就可以被安排在这一天。该问题就是要安排这些活动使得尽量多的活动能不冲突的举行。例如下图所示的活动集合S，其中各项活动按照结束时间单调递增排序。

关于贪心算法的基础知识就简要介绍到这里，希望能作为大家继续深入学习的基础。

❻ 求一个算法(贪心算法)

首先,无所谓哪里密集哪里不密集的说法,这是人为的区分,需要首先遍历全部格子才能确定,是最慢的算法,全部遍历过了就可以得出最优的路线了.
既然用贪心算法,为了思考方便,可以假设棋盘无穷大,算法的目的是判断下一步该往右走还是往下走，思想如下:
判断当前格子右、下两个相邻的格子是否有金块，情形如下：
1）如果一个有一个没有，则往有金块的格子走
2）如果都没有或都有，则需要判断往哪个方向走能更快的拾到下一个金块，方法如下：
让机器人假设地各往两个方向走一步，然后对当前格子作判断情形如下：
A)一个格子继续走能拾到金块，另一个不能，则上一步往该格子走
B)如果仍旧都有或都没有，重复2）直到找到符合A）的情形。

假设棋盘是N*N个格子，则贪心算法最坏的情形是要遍历整个棋盘，比如只有第一个格子有金块时，就需要遍历整个棋盘才能确定走法。最好的情形也需要遍历4*N个格子。
时间复杂度上来算的话，应该是O（nLogn）