普里姆算法解题

㈠ 图的相关算法（二）：最小生成树算法

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于上图中的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想 ：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法 ：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依照权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使得森林不产生回路，直到森林变成一棵树为止。

以图G4为例（更详细的可以参考《算法导论》p367），对Kruskal进行演示（假设，用数组R保存最小生成树结果）。

第1步 ：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步 ：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步 ：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步 ：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步 ：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步 ：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B> 。

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一用排序算法排序即可。
问题二，处理方式：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

普里姆（Prim）算法，也是求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想
对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。从所有的 uЄU ，vЄ(V-U)（V-U表示除去U的所有顶点）的边中选取权值最小的边（u，v），将顶点v加入U中，将边（u,v）加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，此时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从第一个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。

初始状态 ：V是所有顶点的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！
第1步 ：将顶点A加入到U中。
此时，U={A}。
第2步 ：将顶点B加入到U中。
上一步操作之后，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U={A,B}。
第3步 ：将顶点F加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U={A,B,F}。
第4步 ：将顶点E加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U={A,B,F,E}。
第5步 ：将顶点D加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D}。
第6步 ：将顶点C加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D,C}。
第7步 ：将顶点G加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，边(F,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。

此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B F E D C G。

㈡ 普里姆算法

可以这么理解：因为最小生成树是包含所有顶点的所以开始lowcost先储存到第一个点的所有值，然后执行下面算法，找到最小值并记录是第几个点，比如说这个点是3，这样有了一条1-3得道路已经确定，现在从3出发找从3出发到其他顶点的路径，如果这个从3出发到达的路径长度比从1出发的短，则更新lowcost，这样使得lowcost保存一直到达该顶点的最短路径。比如1-4是5，3-4是4，则lowcost从原来的5被改为4。

㈢ 普里姆算法是什么

在计算机科学中，普里姆(也称为Jarník's)算法是一种贪婪算法，它为加权的无向图找到一个最小生成树 。

相关简介：

这意味着它找到边的一个子集，能够形成了一个包括所有顶点的树，其中在树中所有边的权重总和最小。该算法通过从任意起始顶点开始一次给树增加一个顶点来操作，在每个步骤中添加从树到另一个顶点的花费最小的可能的连接。

该算法由捷克数学家沃伊茨奇·贾尼克于1930年开发后，后来在1957年被计算机科学家罗伯特·普里姆，以及在1959年被艾兹赫尔·戴克斯特拉重新发现和重新出版。因此，它有时也被称为Jarník算法,普里姆-jarník算法。普里姆-迪克斯特拉算法或者DJP算法。

这个问题的其他众所周知的算法包括克鲁斯卡尔算法和 Borvka's算法。这些算法在一个可能的非连通图中找到最小生成森林；相比之下，普里姆算法最基本的形式只能在连通图中找到最小生成树。然而，为图中的每个连通分量单独运行普里姆算法，也可以用于找到最小生成森林。

就渐近时间复杂度而言，这三种算法对于稀疏图来说速度相同，但比其他更复杂的算法慢。然而，对于足够密集的图，普里姆算法可以在线性时间内运行，满足或改进其他算法的时间限制。

㈣ 什么是普利姆算法

Prim算法：是图的最小生成树的一种构造算法。

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，TV 是 WN 上最小生成树中顶点的集合，TE 是最小生成树中边的集合。显然，在算法执行结束时，TV=V，而 TE 是 E 的一个子集。在算法开始执行时，TE 为空集，TV 中只有一个顶点，因此，按普里姆算法构造最小生成树的过程为：在所有“其一个顶点已经落在生成树上，而另一个顶点尚未落在生成树上”的边中取一条权值为最小的边，逐条加在生成树上，直至生成树中含有 n-1条边为止。

如果看不懂还可以找一本数据结构的书看，这个算法挺简单的。

btw：其实你有空问，应该有空网络啊~网络就有了。懒得写，我还是直接从网络过来的~

㈤ 已知一个无向图如下，分别用普里姆和克鲁斯卡尔算法生成最小生成树（假设以1为起点，试画出构造过程）。

1)普里姆算法思想
从图中任意取出一个顶点， 把它当成棵树，然后从与这棵树相接的边中选取一条最短(权值最小)的边， 并将这条边及其所连接的顶点也并入这棵树中，此时得到了一棵有两个顶点的树。然后从与这棵树相接的边中选取一条最短的边，并将这条边及其所连顶点并入当前树中，得到一棵有3个顶点的树。以此类推，直到图中所有顶点都被并入树中为止，此时得到的生成树就是最小生成树。
2)克鲁斯卡尔算法思想
先将边中的权值从小到大排序，每次找出候选边中权值最小的边，就将该边并入生成树中。重复此过程直到所有边都被检测完为止。其中要注意的是克鲁斯卡尔算法需要用到并查集，以此来判断接下来要并入的边是否会和已并入的边构成回路。这两个图分别用普里姆和克鲁斯卡尔生成的最小生成树见图。

需要注意的是，在接下来要并入的最小权值不唯一的情况下，可以选取的边是不唯一的，所以其最小生成树也不唯一。(纯手打，望采纳，谢谢。)

㈥ 在N个城市之间铺设煤气管道,只需架设N-1条线路即可,如何以最低的经济代价铺设.(普里姆算法)

此题可以用最小生成树的办法解决即普里姆算法:把N个城市看作N个顶点,把可以铺设管道的两个城市间用线连起来,把相连的两个城市之间的距离作为这一条边的权(假设所有管道的单位造价相同).把所有边的权按照大小排列起来,先选权最小的边的两个顶点纳入集合S,再选第二条边,把与这条边关联的顶点纳入S,但前提是所选的边不能与前面所选的边构成回路,就这样依次选取.若有权相同的n条边则任选一条,但前提是所选的边不能与前面所选的边构成回路.接下来选的时候还是选n条边中的一条前提依然和前面相同.当所选的路的个数为N-1时就停止.此时的线路即为最优的铺设线路.