benders算法

㈠ 浅谈学习运筹与优化软件的心得

科普推广运筹学一直以来是【运筹OR帷幄】平台的初衷。本次我们邀请到了平台优化板块的责编团队的成员，结合各自独特的业界工作体会，分享他们眼中在业界发光发热的运筹学。

一、元器件行业中的运筹学

本人在一家做元器件服务的公司实习，军用元器件使用的时候有两个典型场景：替代和统型。

替代是设计师针对进口元器件找到可替代的国产型号；统型是在一个产品的BOM内确定某几个不同元器件是否可以统一使用一种，以此减少元器件品种数。

目前行业内开始从依赖专家经验（比如知道某个国产元器件就是对标某个进口元器件做的），转向从元器件性能参数的相似度出发进行判断，所以涉及到相似度和聚类方法的应用。

相比方法本身，解决问题的更大阻碍是元器件性能参数数据的复杂性和不规范性。例如不同类别的元器件性能参数不同，即使在同一类别下，不同生厂商给出的性能参数形式也不同，对此进行规范需要有元器件专业知识，所以实际中，数据清洗往往耗费最多人力，也是影响方法使用效果的一大因素。

㈡ 用什么算法解决最优算法比较合适

问题是线性的，还是非线性的。线性的，分枝定界、分枝割平面、分枝定价、列生成等算法都可以求解；非线性的，还要分是否凸，凸的话，广义Benders分解、外部近似、分枝定界、扩展割平面算法等，非凸的话，可采用全局最优算法。判断一下是否是凸规划，是的话，用上面的算法可以求到全局最优；否则，可能得到局部最优解。

㈢ 数学规划的目录

第1章 引论1
1.1 学科简介1
1.2 实例与模型4
1.3 预备知识9
1.3.1 线性空间9
1.3.2 范数12
1.3.3 集合与序列14
1.3.4 矩阵的分解与校正15
1.3.5 函数的可微性与展开17
1.4 习题20
第2章 凸分析22
2.1 仿射集22
2.2 凸集与锥25
2.3 凸集分离定理27
2.3.1 点与凸集分离28
2.3.2 凸集与凸集分离31
2.4 多面体理论32
2.4.1 多面体的维数33
2.4.2 择一定理34
2.4.3 多面体的面和最小不等式表示38
2.4.4 多面体的表示定理44
2.5 凸函数49
2.5.1 基本性质49
2.5.2 函数凸性的判定方法52
2.6 习题54
第3章 线性规划57
3.1 线性规划的基本定理57
3.1.1 基本定理与标准形式58
3.1.2 极点的代数特征61
3.2 单纯形算法64
3.2.1 基本原理64
3.2.2 算法步骤与单纯形表67
3.2.3 启动机制70
3.3 线性规划的最优性条件77
3.4 对偶理论79
3.4.1 对偶定理79
3.4.2 对偶单纯形法84
3.5 单纯形算法的改进与推广88
3.5.1 修正单纯形法88
3.5.2 原始-对偶算法91
3.5.3 退化与循环94
3.5.4 Dantzig-Wolfe分解算法99
3.5.5 灵敏度分析104
3.6 线性规划内点算法108
3.6.1 算法复杂性概念108
3.6.2 单纯形算法的复杂性111
3.6.3 Karmarkar投影尺度算法114
3.6.4 原始-对偶尺度算法124
3.6.5 原始-对偶路径跟踪算法130
3.6.6 内点算法的其他策略137
3.7 习题144
第4章 无约束优化150
4.1 无约束优化的最优性条件150
4.2 算法收敛性152
4.2.1 一维搜索与收敛性152
4.2.2 算法映射与收敛性162
4.2.3 收敛速度与算法停止规则166
4.3 牛顿法170
4.3.1 迭代格式170
4.3.2 局部收敛性172
4.3.3 修正牛顿法174
4.3.4 非精确的牛顿法177
4.4 共轭方向与线性共轭梯度法179
4.4.1 共轭方向与扩张子空间定理179
4.4.2 线性共轭梯度法与二次终止性181
4.5 非线性共轭梯度法186
4.5.1 FR 共轭梯度法187
4.5.2 PRP共轭梯度法192
4.6 拟牛顿方法196
4.6.1 拟牛顿条件和算法步骤196
4.6.2 对称秩1校正公式197
4.6.3 对称秩2校正公式200
4.6.4 Broyden族208
4.7 习题213
第5章 约束优化220
5.1 一阶最优性条件与约束规格220
5.1.1 一阶必要条件220
5.1.2 约束规格226
5.1.3 一阶充分条件228
5.2 二阶最优性条件230
5.2.1 二阶必要条件231
5.2.2 二阶充分条件233
5.3 对偶理论235
5.3.1 对偶形式235
5.3.2 对偶定理237
5.3.3 鞍点定理240
5.4 二次规划242
5.4.1 基本性质244
5.4.2 等式约束的二次规划248
5.4.3 凸二次规划的积极约束集方法254
5.4.4 线性互补问题260
5.5 可行方向法265
5.5.1 Zoutendijk可行方向法266
5.5.2 Rosen梯度投影法268
5.5.3 Wolfe既约梯度法270
5.5.4 Frank-Wolfe线性化方法272
5.6 序列无约束化方法273
5.6.1 二次罚函数法275
5.6.2 对数障碍函数法280
5.6.3 乘子法284
5.7 逐次二次规划法289
5.7.1 Newton-Lagrange方法289
5.7.2 逐次二次规划的算法模型291
5.7.3 二次规划子问题的Hesse矩阵297
5.7.4 价值函数与搜索方向的下降性299
5.8 信赖域法305
5.8.1 信赖域法的基本原理305
5.8.2 子问题的精确求解法308
5.8.3 子问题的近似求解法313
5.8.4 信赖域法的全局收敛性318
5.9 习题319
第6章 多目标规划325
6.1 引言325
6.2 向量集的有效点与弱有效点327
6.2.1 几何特征328
6.2.2 代数特征330
6.3 多目标规划的解及其性质333
6.3.1 Pareto最优解333
6.3.2 KT-有效解与G-有效解335
6.3.3 最优性条件338
6.4 多目标规划的解法338
6.4.1 基于一个单目标问题的方法339
6.4.2 基于多个单目标问题的方法343
6.5 习题345
第7章 组合优化与整数规划347
7.1 网络流问题与算法348
7.1.1 图论中的基本概念348
7.1.2 最短路问题350
7.1.3 最大流与最小割问题352
7.1.4 最小费用网络流问题355
7.1.5 最大森林问题356
7.2 匹配问题与算法357
7.2.1 匹配与最大基数匹配357
7.2.2 二部图匹配359
7.3 整数规划的基本性质362
7.3.1 整数规划的模型363
7.3.2 整数规划的性质366
7.4 割平面法371
7.4.1 Gomory割平面法371
7.4.2 构造有效不等式的方法379
7.5 分支定界法381
7.5.1 分支定界的基本原理381
7.5.2 分支定界的算法步骤383
7.6 分解算法388
7.6.1 基于Lagrange松弛的分解算法388
7.6.2 Benders分解算法392
7.7 习题397
第8章 全局优化401
8.1 全局优化的基本概念与性质401
8.1.1 凸集的性质401
8.1.2 函数的连续性与凹凸性403
8.1.3 凸包络405
8.1.4 Lipschitz函数409
8.1.5 D. C. 函数411
8.2 常见的全局优化模型413
8.2.1 二次规划413
8.2.2 凹极小化417
8.2.3 D. C. 规划419
8.2.4 Lipschitz优化425
8.3 外逼近与割平面算法426
8.3.1 外逼近的基本原理427
8.3.2 割平面算法429
8.3.3 求解松弛问题的方法431
8.4 凹性割方法433
8.4.1 有效割与凹性割434
8.4.2 凹性割方法的收敛性437
8.4.3 反向凸约束的凹性割439
8.5 分支定界法441
8.5.1 基本算法442
8.5.2 多面体剖分444
8.5.3 定下界方法446
8.5.4 有限性和收敛性447
8.6 习题449
参考文献452
索引455

㈣ 谁能跟我详细的讲讲benders 分解是怎么一回事吗 但我没啥分 但我内心很感谢。。。急

Benders分解技术 Benders分解算法是J.F. Benders在1962年首先提出的 ，是一种求解混合整数规划 问题的算法。Benders分解算 法将具有复杂变量的规划问 题分解为线性规划和整数规 划，用割平面的方法分解出 主问题与子问题，通过迭代 的方法求解出最优值。 Benders分解算法是一个 很常用的算法,用来计算像 最小整数非线性规划问题和 随机规划问题之类的难以计 算的难题。 理论上来说，Benders 算法是能解决大部分的整数 规划问题。在实际运用中， 它主要是从求解的运算次数 和运算时间上来使求解问题 得到优化
摘自网络。

㈤ 如何对数学模型进行benders分解算法

控制和优化、基于可实时测定的过程输入输出时间序列数据和黑箱模型的
最优化控制方法9
参考文献10

第二章生物过程参数在线检测技术11
第一节ph的在线测量13
一、自回归移动平均模型详解184
二、利用遗传算法实时在线跟踪和更新非构造式动力学模型的
参数210
二、生物过程中反馈控制与前馈控制的并用84
第六节pid反馈控制系统的设计和解析86
一、模糊神经网络控制系统及其在发酵过程中的实际应用253
三、优化、生物过程最基本的合成和代谢分解反应51
二、代谢网络模型146
三、化学工程等相关专业领域研究的科研人员、青霉素发酵过程的特点和控制上的困难307
二、复膜电极测定kla35
第五节发酵罐内细胞浓度的在线测量和比增殖速率的计算36
一、优化的基本特征1
第二节生物过程控制和优化的目的及研究内容2
第三节发酵过程控制概论4
第四节发酵过程的状态变量、模糊语言数值表现法和模糊成员函数218
三、在线激光浊度计38
第六节生物传感器在发酵过程检测中的应用39
一、模糊逻辑控制器的特点和简介217
二、积分动作88
四、生物过程的反馈控制83
四、利用代谢信号传递线图处理代谢网络281
三、系统控制算法及优化305
第四节青霉素发酵过程专家控制系统307
一、基于人工神经网络的在线自适应控制250
二、利用人工神经网络的发酵过程状态变量预测模型169
六、利用人工神经网络在线识别发酵过程的生理状态和浓度变化
模式167
五、控制和优化等方面的研究、代谢网络模型的简化、过程对于输入变量变化的响应特性71
第四节过程的稳定性分析74
一、辅酶q10发酵生产过程的模糊控制241
四、过程的传递函数gp(s)——线性状态方程式的拉普拉斯函数
表现形式69
六、溶氧电极法32
三、人工神经网络模型147
五、模糊规则的执行和实施——解模糊规则的方法225
五、系统结构设计303
二、引流分析与控制（fia）45
四、教师和工程师使用、人工神经网络的误差反向传播学习算法163
四、呼吸代谢参数的计算26
第四节发酵罐内氧气体积传质系数kla的测量31
一，写成此书、有理函数的反拉普拉斯变换69
五、直接以葡萄糖浓度为反馈指标的流加培养控制101
五、模糊规则223
四;stat法95
二、组态设计304
三、反馈控制系统的稳定性分析89
七、连续搅拌式生物反应器的稳定特性的解析77
第五节生物过程的反馈控制和前馈控制79
一、生物工程，既关系到能否发挥菌种的最大生产能力、发酵过程状态方程式在“理想操作点”近旁的线性化64
第三节拉普拉斯变换与反拉普拉斯变换67
一、遗传算法在酸乳多糖最优化生产中的应用138
参考文献143

第五章发酵过程的建模和状态预测144
第一节描述发酵过程的各类数学模型简介144
一、溶氧电极19
三、特点和方法106
第二节最大原理及其在发酵过程最优化控制中的应用107
一，博采众家之长、控制、过程传递函数的框图和转换70
七、ph传感器的工作原理13
二，以及在线控制和最优化控制的技术及方法进行了比较系统详细的介绍、遗传算法简介131
二、生物传感器的类型和结构原理39
二、卡尔曼滤波器及其算法176
二、pid反馈控制器的构成特征89
六、生物化工、闭回路pid反馈控制的性能特征86
二、集散控制系统的特点298
三、比例动作87
三、格林定理在乳酸菌过滤培养最优化控制中的应用125
四。目录
第一章绪论1
第一节生物过程的特点以及生物过程的操作、过程接口技术299
第三节柠檬酸发酵过程计算机控制系统设计302
一、结合使用最大原理和遗传算法的在线最优化控制212
参考文献214

第七章人工智能控制216
第一节模糊逻辑控制器217
一、表述。
全书结合具体的发酵过程实例、有机酸等）浓度的在线
测量47
参考文献48

第三章发酵过程控制系统和控制设计原理及应用49
第一节过程的状态方程式49
第二节生物过程的典型和基本数学模型51
一、菌体浓度的检测方法及原理36
二
作为发酵工业中游技术核心的发酵过程控制和优化技术。本书作者多年来一直从事发酵过程的在线检测、利用网络信号传递线图的代谢网络分析282
第三节代谢网络模型在赖氨酸发酵过程在线状态预测和控制中的
应用284
一，又会影响到下游处理的难易程度、取样极谱法35
六、操作变量和可测量变量6
第五节用于发酵过程控制和优化的各类数学模型7
第六节发酵过程最优化控制方法概论8
一、发酵过程的各种得率系数和各种比反应速率的表现形式57
四、酵母菌流加培养过程的比增殖速率在线自适应最优控制193
四、利用遗传算法确定过程模型参数157
第三节利用人工神经网络建模和预测发酵过程的状态159
一、亚硫酸盐氧化法31
二、计算和求解272
二，特别是在线检测、微分动作89
五、利用人工神经网络的非线性回归模型173
七、模糊逻辑控制系统的构成、谷氨酸流加发酵过程的模糊控制237
三，分别对发酵过程的解析、模糊神经网络控制器及其在发酵过程中的应用260
参考文献268
第八章利用代谢网络模型的过程控制和优化270
第一节代谢网络模型解析270
一、利用简化代谢网络模型进行在线状态预测的结果288
参考文献290

第九章计算机在生化反应过程控制中的应用291
第一节过程工业的特点和计算机控制291
一，并引入了模糊逻辑推理、过程在平衡点（特异点）近旁的稳定特性的分类75
三、溶氧电极的使用21
第三节发酵罐内氧气和二氧化碳分压的测量以及呼吸代谢参数的计算23
一、代谢网络模型等新型的控制、数字计算机在过程控制中应用概述293
第二节集散控制系统及接口技术296
一、集散控制系统简介296
二、基于在线时间序列数据的自回归平均移动模型146
四、利用代谢网络模型的状态预测277
第二节网络信号传递线图和利用网络信号传递线图的代谢网络模型278
一，在整个发酵过程中是一项承上启下的关键技术、最大原理的数值解法及其在生物过程最优化控制中的应用116
第三节格林定理及其在发酵过程最优化控制中的应用121
一、人工神经网络模型、动态测定法34
五、格林定理121
二、“最优控制”型的在线自适应控制系统190
三、氧分析仪23
二、青霉素发酵过程专家控制系统308
三、系统功能设计305
四、网络信号传递线图及其简化278
二、生物过程典型的数学模型形式55
三、遗传算法的算法概要及其在重组大肠杆菌培养的最优化控制
中的应用132
三、“极配置” 型的在线自适应控制系统189
二、以溶氧浓度（do）变化为反馈指标的流加培养控制——
do57361、ph传感器的使用15
第二节溶氧浓度的在线测量18
一、流加操作的生物过程中常见的前馈控制方式80
三、过程工业的特点291
二、拉普拉斯变换的定义68
二、状态预测以及模式识别等方法和技术、基于非构造式动力学模型的最优化控制方法8
二、利用格林定理求解流加培养（发酵）的最短时间轨道问题122
三、反拉普拉斯变换69
四、乳酸连续过滤发酵过程的在线自适应控制196
第三节基于自回归移动平均模型的在线最优化控制201
一、最大原理及其算法简介107
二、结合使用人工神经网络模型和遗传算法的过程优化175
第四节卡尔曼滤波器在发酵过程状态预测中的应用176
一。
本书适合于从事发酵工程、酵母流加培养过程的模糊控制231
二、非构造式动力学模型145
二、发酵罐基质（葡萄糖等）浓度的在线测量43
三、溶氧浓度测量原理18
二，也可供大专院校相关专业的高年级本科生和研究生参考、尾气co2分压的检测26
三、物料衡算法33
四、开关反馈控制94
第七节反馈控制系统在生物过程控制中的实际应用95
一、简化代谢网络模型的建立286
二、利用最大原理确定流加培养过程的最优基质流加策略和方式111
三、利用非线性规划法确定非构造式动力学数学模型的模型参数148
二、生物过程的前馈控制79
二、模糊推理技术在发酵过程在线状态预测中的应用245
第三节基于人工神经网络的控制系统及其在发酵过程中的应用250
一、发酵罐器内一级代谢产物（乙醇、生物反应器的基本操作方式62
五、神经细胞和人工神经网络模型159
二、以代谢副产物浓度为反馈指标的流加培养控制103
参考文献105

第四章发酵过程的最优化控制106
第一节最优化控制的研究内容、面包酵母连续生产的在线最优化控制201
二;stat法98
三、拉普拉斯变换的基本特性以及基本函数的拉普拉斯变换68
三、过程稳定的判别标准74
二、设计和调整228
第二节模糊逻辑控制系统在发酵过程中的实际应用231
一、反馈控制系统的设计和参数调整91
八、乳酸连续过滤发酵的在线最优化控制205
第四节基于遗传算法的在线最优化控制210
一、以ph变化为反馈指标的流加培养控制——ph57361、解析、利用逐次最小二乘回归法计算和确定自回归移动平均模型的
模型参数186
第二节基于自回归移动平均模型的在线自适应控制189
一、利用卡尔曼滤波器在线推定菌体的比增殖速率178
参考文献180

第六章发酵过程的在线自适应控制182
第一节基于在线时间序列输入输出数据的自回归移动平均模型解析184
一、利用格林定理进行乳酸菌过滤培养最优化控制的计算机模拟和
实验结果128
第四节遗传算法及其在发酵过程最优化控制中的应用131
一、以rq为反馈指标的流加培养控制100
四、人工神经网络模型的类型161
三，在借鉴国外的有关最新研究成果和作者自身完成的研究实例的基础上、正交或多项式回归模型148
第二节非构造式动力学数学模型的建模方法148
一、在线状态预测和模式识别