算法分析与设计导论答案

Ⅰ 《算法导论》第三章-思考题（参考答案）

（多项式的渐进行为） 假设 是一个关于 的 次多项式，其中 ， 是一个常量。使用渐进符号的定义来证明下面的性质。

a. 若 ，则 。

b. 若 ，则 。

c. 若 ，则 。

d. 若 ，则 。

e. 若 ，则 。

已知： ，易得 。

故 。

情况 1：

，即： 。

故 。

情况 2：

，即： 。

故 。

情况 3：

，即： 。

故 。

情况 4：

，即： 。

故 。

情况 5：

，即： 。

故 。

（相对渐进增长） 为下表中的每对表达式 指出 是否是 的 或 。假设 且 均为常量。回答应以表格的形式，将“是”或“否”写在每个空格中。

a.

令 代替 ，并令 代替 a，可得：

即： 。

又：若 。故： 。

b.

故， 。

令 。故 。

c.

。又 的值为在区间 中波动，故 与 无任何关系

d.

严格递增，故对于任意正常量 ，总存在 ，使得 ，即：

也易证：故对于任意正常量 ，总存在 ，使得 ，即：

e.

。故 。

f.

故，

又， 是严格递增的函数。故，

故， ，也即

也即

（根据渐进增长率排序）

a. 根据增长的阶来排序下面的函数，即求出满足 的函数的一种排列 。把你的表划分成等价类，使得函数 和 在相同类中当且仅当 。

b.给出非负函数 的一个例子，使得对所有在（a）部分中的函数 ， 既不是 也不是 。

（渐进记号的性质） 假设 和 为渐进正函数。证明或反驳下面的每个猜测。

a. 蕴含 。

错。例如： 。

b. 。

错。例如： 。

c. 蕴含 ，其中对所有足够大的 ，有 且 。

正确。

对于足够大的 ，有 ；且 ，则存在正常量 ，使得 ，有

​

​

又 ，故当 ，且 足够大，有：

​

故原问题成立。

d. 蕴含 。

错。例如： 。

e. 。

当 时， ；其他条件下，不成立。

f. 蕴含 。

正确。 ，即存在正常量 ，使得 ，有

​ ，即

令 ，得 。

g. 。

错。例如： 。

h. 。

正确。

易得， ，即存在正常量 ，使得 ，都有 。

令 ，即存在正常量 ，使得 ，都有 。

令 ，则 ，有 。

即 。

（ 与 的一些变形） 某些作者用一种与我们稍微不同的方式来定义 ；假设我们使用 （读作“ 无穷”）来标识这种可选的定义。若存在正常量 ，使得对无穷多个整数 ，有 ，则称 。

a. 证明：对渐进非负的任意两个函数 和 ，或者 或者 或者二者均成立，然而，如果使用 来代替 ，那么该命题并不为真。

主要缺少了 这个条件；则若 ，必然有无穷多个正整数 ，使得 成立；

若 ，则上述两者均成立；

反例： ，但 。

b. 描述用 代替 来刻画程序运行时间的潜在优点与缺点。

优点： 对下届的要求更宽松，可以兼容更多的情况；

缺点： 并非严格的渐进下界。因此实际意义并不大。

​ 某些作者也用一种稍微不同的方式来定义 ；假设使用 来标识这种可选的定义。我们称 当且仅当 。

c. 如果使用 代替 但仍然使用 ，定理 3.1 中的“当且仅当”的每个方向将出现什么情况？

没有变化。 成立意味着 渐进非负，故 。

​ 有些作者定义 （读作“软 ”）来意指忽略对数因子的 ：

：存在正常量 和 ，使得对所有 ，有 。

d. 用一种类似的方式定义 和 。证明与定理 3.1 相对应的类似结论。

：存在正常量 和 ，使得对所有 ，有 。

：存在正常量 和 ，使得对所有 ，有 。

（多重函数） 我们可以把用于函数 中的多重操作符 * 应用于实数集上的任意单调递增函数 。对给定的常量 ，我们定义多重函数 为

​

该函数不必再所有情况下都是良定义的。换句话说，值 是为缩小其参数到 或更小所需函数 重复应用的数目。

​ 对如下每个函数 和常量 ，给出 的一个尽量紧确的界。

Ⅱ 算法设计与分析习题解答（第2版）的内容提要

《算法设计与分析习题解答》（第2版）是清华大学出版社出版的普通高等教育“十一五”国家级规划教材《算法设计与分析（第2版）》（主教材）配套的辅助教材，对《算法设计与分析（第2版）》一书中的全部习题做了详尽的解答。《算法设计与分析习题解答》（第2版）的内容是对《算法设计与分析（第2版）》的较深入的扩展，许多在主教材中无法讲述的、较深入的主题通过习题的形式展现出来。为了加强学生灵活运用算法设计策略解决实际问题的能力，《算法设计与分析习题解答》（第2版）将主教材中的许多习题改造成算法实现题，要求学生不仅设计出解决具体问题的算法，而且能够上机实现。作者的教学实践反映出这类算法实现题的教学效果非常好。作者还结合国家精品课程建设，进行了教材的立体化开发，包括主教材、辅助教材、实验与设计、电子课件和教学网站建设。
《算法设计与分析习题解答》（第2版）内容丰富，观点新颖，理论联系实际。不仅可以用作高等学校计算机科学与技术学科各专业本科生和研究生学习计算机算法设计的辅助教材，而且也适合广大工程技术人员和自学读者学习参考。

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Ⅳ 算法设计与分析 试题求答案.求解递归方程T(n)=5T( n/3)+n.;

T(n)=1/10 ((2 c_1+15) 5^((log(n))/(log(3)))-15 n)
c_1是一个常数,需要初始值确定