A. 最优化算法总结
机器学习的核心挑战在于通过求解目标函数的极值来驱动模型的进步，这个过程通常转化为寻找最小值。微积分中的导数是寻找极值的利器，但在实际问题中，我们往往面临非光滑的函数。在多元函数的世界里，梯度作为导数的向量扩展，起着关键作用，极值点要求梯度为零。然而，判断极值类型并非易事，Hessian矩阵（二阶导数矩阵）为我们揭示了答案：
数值优化算法，如梯度下降、一阶或二阶优化，为我们提供了探索的工具。在遇到超越方程这类复杂问题时，它们通过迭代，利用导数信息逐步逼近极值。一阶优化如梯度下降，通过一元函数的泰勒展开，调整方向，确保函数值下降。多元情况下，选择合适的方向至关重要，比如梯度下降法，它的迭代过程如下：
变种的梯度下降方法如动量梯度下降（加入动量项），自适应算法如AdaGrad和AdaDelta（分别根据历史梯度调整学习率和解决学习率过快衰减问题）进一步提升性能。以下是部分方法的简要概述：
相较于梯度下降，二阶优化算法如牛顿法虽更精确，但代价是计算Hessian矩阵的复杂度和存储需求。在小批量处理中，二阶导数的估计误差较大，可能导致模型不稳定。
总的来说，最优化算法是一场精密的舞蹈，每一步都需要精准计算和巧妙设计。通过理解这些核心原理和算法，我们能在机器学习的海洋中找到最优解的航标。想了解更多，不妨深入探索这个神奇的领域，链接在这里就不再赘述了。
B. 现代优化算法包括
现代优化算法包括哪些？
1. 什么是优化算法？
优化算法是一个数学方法，它使用计算机程序来寻求最优解。这些最优解是在一定的约束条件下，使目标函数取得最大或最小值的参数或变量值。优化算法在各种领域和行业都有应用，如金融、工程、农业等。
2. 现代优化算法包括哪些？
现代优化算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群算法、模拟退火算法等。这些算法可以用于解决各种问题，如最优化、机器学习、人工智能等。
3. 遗传算法
遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法。它基于遗传学的原理，通过对个体进行遗传操作（选择、交叉、变异）来搜索解空间中的最优解。遗传算法已经被广泛应用于多目标优化、组合优化等领域，并且在解决复杂优化问题方面具有优越性。
4. 蚁群算法
蚁群算法是一种模拟昆虫群体行为的优化算法。它利用蚂蚁的觅食行为来搜索最优解，通过蚂蚁在解空间中留下的信息素来引导群体的行为。蚁群算法已经在许多领域得到应用，如旅行商问题、生产调度、网络路由等。
5. 粒子群算法
粒子群算法是一种模拟粒子群体行为的优化算法。它通过模拟粒子在解空间中的运动来搜索最优解，利用粒子个体和群体的历史最优状态来调整搜索方向。粒子群算法已经广泛应用于目标跟踪、图像处理、机器学习等领域中。
6. 模拟退火算法
模拟退火算法是一种模拟物理退火过程的优化算法。它可以跨越局部最小值，搜索全局最优解。模拟退火算法的基本思想是在解空间中随机产生一个初始解，利用一定条件的接受准则来判断是否接受该解，然后进行概率性的移动。模拟退火算法已经广泛应用于优化调度、电路布局、统计学习等领域。
7. 算法性能比较
以上提到的现代优化算法各具特点并具有优越性，但用于不同问题时，其效果也会产生一定的差别。在使用优化算法解决实际问题时，需要综合考虑问题的特点、算法的适用性和计算资源等因素，选择恰当的算法。
8. 结论
现代优化算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群算法、模拟退火算法等。这些算法以不同的方式在解空间中搜索最优解，广泛应用于优化调度、生产调度、目标跟踪、机器学习、图像处理、统计学习等领域。在选择算法时需要考虑不同算法的特点和局限性，以便为实际问题提供最佳的解决方法。
C. 几种常用最优化方法
学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。常见的优化方法(optimization)有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯度法等等。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）
梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。 梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。
梯度下降 法的缺点：
（1）靠近极小值时收敛速度减慢;
（2）直线搜索时可能会产生一些问题；
（3）可能会“之字形”地下降。
在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
比如对一个线性回归（Linear Logistics）模型，假设下面的h(x)是要拟合的函数，J( )为损失函数， 是参数，要迭代求解的值，求解出来了那最终要拟合的函数h( )就出来了。其中m是训练集的样本个数，n是特征的个数。
1）批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）
（1）将J( )对 求偏导，得到每个theta对应的的梯度：
(2）由于是要最小化风险函数，所以按每个参数 的梯度负方向，来更新每个 ：
（3）从上面公式可以注意到，它得到的是一个全局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果m很大，那么可想而知这种方法的迭代速度会相当的慢。所以，这就引入了另外一种方法——随机梯度下降。
对于批量梯度下降法，样本个数m，x为n维向量，一次迭代需要把m个样本全部带入计算，迭代一次计算量为m*n2。
2）随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）
（1）上面的风险函数可以写成如下这种形式，损失函数对应的是训练集中每个样本的粒度，而上面批量梯度下降对应的是所有的训练样本：
（2）每个样本的损失函数，对 求偏导得到对应梯度，来更新 ：
（3）随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，如果样本量很大的情况（例如几十万），那么可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已经将
迭代到最优解了，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
随机梯度下降每次迭代只使用一个样本，迭代一次计算量为n2，当样本个数m很大的时候，随机梯度下降迭代一次的速度要远高于批量梯度下降方法。 两者的关系可以这样理解：随机梯度下降方法以损失很小的一部分精确度和增加一定数量的迭代次数为代价，换取了总体的优化效率的提升。增加的迭代次数远远小于样本的数量。
对批量梯度下降法和随机梯度下降法的总结：
批量梯度下降---最小化所有训练样本的损失函数，使得最终求解的是全局的最优解，即求解的参数是使得风险函数最小，但是对于大规模样本问题效率低下。
随机梯度下降---最小化每条样本的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向， 但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近，适用于大规模训练样本情况。
2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods）
1）牛顿法（Newton's method）
牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数 f ( x )的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f ( x ) = 0的根。牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。
具体步骤：
首先，选择一个接近函数 f ( x )零点的x0，计算相应的 f ( x 0)和切线斜率 f ' ( x 0)（这里 f ' 表示函数 f 的导数）。然后我们计算穿过点( x 0, f ( x 0))并且斜率为 f '( x 0)的直线和 x 轴的交点的 x 坐标，也就是求如下方程的解：
我们将新求得的点的 x 坐标命名为 x 1，通常 x 1会比 x 0更接近方程 f ( x ) = 0的解。因此我们现在可以利用 x 1开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：
已经证明，如果 f '是连续的，并且待求的零点 x 是孤立的，那么在零点 x 周围存在一个区域，只要初始值 x 0位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果 f ' ( x )不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。下图为一个牛顿法执行过程的例子。
由于牛顿法是基于当前位置的切线来确定下一次的位置，所以牛顿法又被很形象地称为是"切线法"。
关于牛顿法和梯度下降法的效率对比：
从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。（牛顿法目光更加长远，所以少走弯路；相对而言，梯度下降法只考虑了局部的最优，没有全局思想。）
根据wiki上的解释，从几何上说，牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面，而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面，通常情况下，二次曲面的拟合会比平面更好，所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。
注：红色的牛顿法的迭代路径，绿色的是梯度下降法的迭代路径。
牛顿法的优缺点总结：
优点：二阶收敛，收敛速度快；
缺点：牛顿法是一种迭代算法，每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。
2）拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）
拟牛顿法是求解非线性优化问题最有效的方法之一，于20世纪50年代由美国Argonne国家实验室的物理学家W.C.Davidon所提出来。Davidon设计的这种算法在当时看来是非线性优化领域最具创造性的发明之一。不久R. Fletcher和M. J. D. Powell证实了这种新的算法远比其他方法快速和可靠，使得非线性优化这门学科在一夜之间突飞猛进。
拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而简化了运算的复杂度。 拟牛顿法和最速下降法一样只要求每一步迭代时知道目标函数的梯度。通过测量梯度的变化，构造一个目标函数的模型使之足以产生超线性收敛性。这类方法大大优于最速下降法，尤其对于困难的问题。另外，因为拟牛顿法不需要二阶导数的信息，所以有时比牛顿法更为有效。如今，优化软件中包含了大量的拟牛顿算法用来解决无约束，约束，和大规模的优化问题。
具体步骤：
拟牛顿法的基本思想如下。首先构造目标函数在当前迭代xk的二次模型：
这里Bk是一个对称正定矩阵，于是我们取这个二次模型的最优解作为搜索方向，并且得到新的迭代点：
其中我们要求步长ak 满足Wolfe条件。这样的迭代与牛顿法类似，区别就在于用近似的Hesse矩阵Bk 代替真实的Hesse矩阵。所以拟牛顿法最关键的地方就是每一步迭代中矩阵Bk的更新。现在假设得到一个新的迭代xk+1，并得到一个新的二次模型：
我们尽可能地利用上一步的信息来选取Bk。具体地，我们要求
从而得到
这个公式被称为割线方程。常用的拟牛顿法有DFP算法和BFGS算法。
原文链接： [Math] 常见的几种最优化方法 - Poll的笔记 - 博客园