实数已知算法规律题

1. 实数数列（realsn）

该题的数学味颇浓。解题前需耐下心来，对公式
Ai=(Ai-1-Ai+1)/2+d (1≤i〈N) (n<60)
作一番推敲，探讨其数值变换规律。不然的话，会无从入手。
令
x=A2 S2[i]=(Pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA1;
我们可以根据
Ai=Ai-2-2Ai-1+2D=PiX+QiD+RiA1
推出公式
PiX+QiD+RiA1=(Pi-2-2Pi-1)X+(Qi-2-2Qi-1+2)D+(Ri-2-2Ri-1)A1
比较等号两端X、D和A1的系数项,可得
Pi=Pi-2-2Pi-1
Qi=Qi-2-2Qi-1+2
Ri=Ri-2-2Ri-1
加上两个边界条件
P1=0 Q1=0 R1=1 (A1=A1)
P2=1 Q2=0 R2=0 (A2=A2)
根据Pi、Qi、Ri的递推式,可以计算出
S2[1]=(0,0,1);
S2[2]=(1,0,0);
S2[3]=(-2,2,1);
S2[4]=(5,-2,-2);
S2[5]=(-12,8,5);
…………………………
S2[i]=(Pi,Qi,Ri);
…………………………
S2[N]=(PN,QN,RN);

有了上述基础，AM便不难求得。有两种方法:
1、由于AN、A1和PN、QN、RN已知，因此可以先根据公式
AN-QND-RNA1
A2=--------------
PN
求出A2。然后将A2代入公式
A3=A1-2A2+2D
求出A3。然后将A3代入公式
A4=A2-2A3+2D
求出A4。然后将A4代入公式
……………………………………………
求出Ai-1。然后将Ai-1代入公式
Ai=Ai-2-2Ai-1+2D
求出Ai。依次类推，直至递推至AM为止。

上述算法的缺陷是，由于A2是两数相除的结果，而除数PN递增，因此精度误差在所难免，
以后的递推过程又不断地将误差扩大，以至当m超过40时，求出的AM明显偏离正确值。显然，
这种算法虽简单但不可靠。

2、我们令A2=A2，A3=X，由S3[i]=(Pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA2 (i≥2)
可计算得出
S3[2]=(0,0,1)=S2[1];
S3[3]=(1,0,0)=S2[2];
S3[4]=(-2,2,1)=S2[3];
S3[5]=(5,-2,-2)=S2[4];
………………………………………
S3[i]=(………)=S2[i-1];
………………………………………
S3[N]=(………)=S2[N-1];
再令A3=A3，A4=X，由S4[i]=(Pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA3 (i≥3)
可计算得出
S4[3]=(0,0,1)=S3[2]=S2[1];
S4[4]=(1,0,0)=S3[3]=S2[2];
S4[5]=(-2,2,1)=S3[4]=S2[3];
………………………………………
S4[i]=(………)=S3[i-1]=S2[i-2];
………………………………………
S4[N]=(………)=S3[N-1]=S2[N-2];
依次类推，我们可以发现一个有趣的式子：
AN=PN-i+2*Ai+QN-i+2*D+RN-i+2*Ai-1

即 AN-QN-i+2*D-RN-i+2*Ai-1
Ai=------------------------
PN-i+2

我们从已知量A1和AN出发，依据上述公式顺序递推A2、A3、…………AM。由于PN-i+2递
减，因此最后得出的AM要比第一种算法趋于精确。

三、程序分析

program ND1P4;
const
maxn =60;
var
n,m,i :integer;
d :real;
list :array [1..maxn] of real; {list[i]——对应ai}
s :array [1..maxn,1..3] of real; {S[i,1] ——对应Pi;
S[i,2]——对应Qi;
S[i,3] ——对应Ri}

procere init;
begin
write('n m d =');
readln (n,m,d); {输入项数、输出项序号和常数}
write('a1 a', n,'=');
readln(list[1],list[n]); {输入a1和an}
end; {init}

procere solve;
begin
s[1,1] :=0; s[1,2] :=0; s[1,3] :=1; {求递推边界(P1,Q1,R1)和
(P2,Q2,R2)}
s[2,1] :=1; s[2,2] :=0; s[2,3] :=0;
{根据公式Pi←Pi-2-2*Pi-1}
{ Qi←Qi-2-2*Qi-1}
{ Ri←Ri-2-2*Ri-1}
{递推(P3,Q3,R3)……Pn,Qn,Rn)}
for i:=3 to n do
begin
s[i,1] :=s[i-2,1]-2*s[i-1,1];
s[i,2] :=s[i-2,2]-2*s[i-1,2]+2;
s[i,3] :=s[i-2,3]-2*s[i-1,3];
end; {for}
end; {solve}

procere main;
begin
solve; {求(P1,Q1,R1)··(Pn,Qn,Rn)}
{根据公式 Ai=(An-Qn-i+2*d-Rn-i+2*Ai-1)/Pn-i+2}
{递推A2……Am}
for i :=2 to m do
list[i] :=( list[n] -s[n-i+2,2]*d -s[n-i+2,3]*list[i-1])/s[n-i+2,1];
writeln('a',m,' =',list[m]:20:10); {输出Am}
end; {main}

begin
init; {输入数据}
main; {递推和输出Am}
readln;
end. {main}

2. 任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积。程度框图