㈠ 数列极限四则运算的证明例题看不懂请高手指教！
首先要注意，目标是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以证明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。于是通过绝对值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到与这两个式子（|An-A|和|Bn-B|）的关系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，问题就解决了。这两个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),为了清晰起见，分母加了括号。|A|是个常数，已经没有问题，但|Bn|不是常数，于是根据收敛数列的有界性，即：|Bn|＜M，找到与n无关的正常数M。于是|An-A||Bn|<|An-A|M＜ε/2,后一个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2M),这里已经假定M是正数，绝对值符号就不写了。这就是ε/(2M)的由来，而不是突然冒出来的。
证明中，快到最后的时候有一句话：由于不等式①②③，当n＞N时，我们有|An•Bn-AB|＜ε/2+ε/2=ε
其实仔细写来，应该是：
|An•Bn-AB|≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|<|An-A|M+|A||Bn-B|＜ε/(2M)•M+|A|•ε/(2|A|)=ε/2+ε/2=ε
第一个“≤”用了①，第二个“<”用了“|Bn|＜M ”，第三个“<”用了②③。
另外，如果limAn=A，一般得到|An-A|＜ε，肯定没有问题，如果写成|An-A|＜ε/2，空侍应该也要理解。证明中就强调“对于任意给定的ε＞0，无论怎样小”。这句话一定要充分理解，一个是“任意”，一个是“无论怎样小”。所以一定要理解“ε”是充分的小。因此，如果limAn=A，我们可以得到|An-A|＜ε，也可以得到|An-A|＜ε/2 或举前者 |An-A|＜2ε，甚至如果常数 a>0，我们同样可以得到|An-A|＜ε/a 或者 |An-A|＜aε。但是，一定要注意 a 与数列的下标 n 无关，是一般函数的话，务必和函数的自变量无关。证明中在引出常数“M”时，特别强调“存在一个与n无关的斗答吵正数M”。
其实如果我们最后得到：|An•Bn-AB|<ε'M+|A|•ε''也是可以的，这里的ε'是由limAn=A得到的，ε''是由limBn=B得到的。但这样一则不漂亮，二则还要说明“ε'M+|A|•ε''”也是充分小。与其都要说明，那就放在中间了，这样最后得到|An•Bn-AB|<ε，又漂亮又可以直接写：“这就是说，An•Bn的极限存在，且等于AB”了。
至于ε要不要找一个正常数与其相乘除，找怎样的正常数，就要看题目了。比如，上面的证明如果改成三个已知极限的乘积，或许就要用到ε/3了。给ε找一个正常数与其相乘除，是解这一类题目的“惯用伎俩”。
㈡ 极限的运算法则定理
极限的运算法则
两个无穷小的和也是无穷小
定理: 有限个无穷小的和也是无穷小
无穷多个无穷小的和是1
定理: 有界函数与无穷小的乘机也是无穷小
推论: 常数与无穷小的乘积也是无穷小
推论: 有限个无穷小的乘积也是无穷小
无限多个无穷小的乘积不一定是无穷小
常见的有界函数
复合函数
例题: 计算极限
无穷大
例题
答案:D (无穷大不是数)
两个有极限的数列乘积一定有极限
极限的四则运算法则