dijkstra算法贪心证明

1. 最短路径算法（Dijkstra）

Dijkstra（ 迪科斯特拉 ）算法是用来解决核激唯单源最短路径的算法，要求路径权值非负数。该算法利用了深度优先搜索和贪心的算法。

下面是一个有权图，求从A到各个节点的最短路径。

第1步：从A点出发，判断每个点到A点的路径（如果该点不能直连A点则距离值为无穷大，如果该点能和A直连则是当前的权值），计算完之后把A点上色，结果如下图:

第2步：从除A点之外的点查找到距离A点最近的点C，从C点出发查找其邻近的节点（除去已上色的点），并重新计算C点的邻近点距离A点的值，如图中B点，若新值（C点到A点的值+C点到该点的路径）小于原值，则将值更新为5，同理更新D、E点。同时将C标铅陵记为已经处理过，如图所示涂色。

第3步：从上色的节点中查找距离A最近的B点，重复第3步操作。

第4步： 重复第3步，改培2步，直到所有的节点都上色。

最后就算出了从A点到所有点的最短距离。

leetcode 743题

2. 迪杰斯特拉算法的本质是贪心还是动态规划

贪心是一种特殊的动态规划，动态规划的本质是独立的子问题，而贪心则是每次可以找到最优的独立子问题。
贪心和动归不是互斥的，而是包含的，贪心更快，但约束更强，适应范围更小。
动归和bfs的关系也是一样的。

展开一点讲，在求解最优化问题时，有多个解。而求解的过程类似一个树，我们称之为求解树。

一般的求解树真的是一棵树，所以我们只能用bfs来搜索，顶多剪枝。

有些特殊的求解树，中间很多结点是重合的，结点个数比所有搜索分支的个数少很多个数量级。这类问题较特殊，我们可以保存中间的搜索过程。而记忆化搜索和动态规划本质上就是一个东西，快就快在可以不用重复计算很多中间结果（所谓的最优子问题）。

还有一些特殊的求解树，更特殊，它们不止有很多重复结点，而且每次选择分支的时候，我们可以证明只要选择一个分支，这个分支的解就一定比其他选择更优。这类问题就是贪心了，

所以bfs，dp，贪心三个方法都是解决最优化问题的方法，根据问题的不同，约束越大的问题可以用越快的方法，越慢的方法可以解决的问题越普适。

动态规划的状态转移函数，可以抽象成这样一种函数：

f(x)=g(f(x1), f(x2), f(x3), ... f(xn))

其中f就是我们说的独立问题，每个f都有一个唯一值，也就是没有后效性。

贪心也是这个函数，但可以证明：

f(xi) >= f(x1|x2|...|xn)

那么我们就不用再去计算除了f(xi)以外的任何子状态了，所以就更快

而标准的bfs，虽然也有

f(x)=g(f(x1), f(x2), f(x3), ... f(xn))

但是因为对于任意的f(x)，它的子问题f(xi)的输入状态xi都不同（换一种思路也可以说f(xi)在不同的路径下值都不同，本质上是我们怎么定义xi，到底是狭义的参数还是广义的状态），所以无法使用内存去换取时间，就只能去遍历所有状态了。