㈠ 数学建模算法有哪些
1. 蒙特卡罗算法。 该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。 建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。 这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。 这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。 这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。 两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。 很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。 如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。 赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。
以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。
2 十类算法的详细说明
2.1 蒙特卡罗算法
大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。
举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法
数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
2.3 规划类问题算法
竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
2.4 图论问题
98 年B 题、00 年B 题、95 年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性，这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。每一个算法都应该实现一遍，否则到比赛时再写就晚了。
2.5 计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界。比如92 年B 题用分枝定界法，97 年B 题是典型的动态规划问题，此外98 年B 题体现了分治算法。这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
2.6 最优化理论的三大非经典算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场，比如：97 年A 题的模拟退火算法，00 年B 题的神经网络分类算法，象01 年B 题这种难题也可以使用神经网络，还有美国竞赛89 年A 题也和BP 算法有关系，当时是86 年刚提出BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。03 年B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
2.7 网格算法和穷举算法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在[a; b] 区间内取M +1 个点，就是a; a+(b-a)/M; a+2 (b-a)/M; …… ; b 那么这样循环就需要进行(M + 1)N 次运算，所以计算量很大。比如97 年A 题、99 年B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快
的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久的。穷举法大家都熟悉，就不说了。
2.8 一些连续数据离散化的方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
2.9 数值分析算法
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
2.10 图象处理算法
01 年A 题中需要你会读BMP 图象、美国赛98 年A 题需要你知道三维插值计算，03 年B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
㈡ 哈希算法与MD5、SHA
哈希算法(Hash Algorithm)又称散列算法、散列函数、哈希函数，是一种从任何一种数据中创建小的数字“指纹”的方法。哈希算法将数据重新打乱混合，重新创建一个哈希值。
哈希算法通常有以下几个特点：
哈希算法主要用来保障数据真实性(即完整性)，即发信人将原始消息和哈希值一起发送，收信人通过相同的哈希函数来校验原始数据是否真实。
注：
哈希算法主要有MD4、MD5、SHA。
冲突避免：
宇宙中原子数大约在10的60次方到80次方之间，所以2的256次方有足够的空间容纳所有的可能，算法好的情况下冲突碰撞的概率很低。
MD5
1、数据填充
对消息进行数据填充，使消息的长度对512取模得448，设消息长度为X，即满足X mod 512=448。根据此公式得出需要填充的数据长度。
填充方法：在消息后面进行填充，填充第一位为1，其余为0。
2、添加消息长度
在第一步结果之后再填充上原消息的长度，可用来进行的存储长度为64位。如果消息长度大于264，则只使用其低64位的值，即（消息长度 对 264取模）。
在此步骤进行完毕后，最终消息长度就是512的整数倍。
3、数据处理
准备需要用到的数据：
4个常数： A = 0x67452301, B = 0x0EFCDAB89, C = 0x98BADCFE, D = 0x10325476; 4个函数：F(X,Y,Z)=(X & Y) | ((~X) & Z); G(X,Y,Z)=(X & Z) | (Y & (~Z)); H(X,Y,Z)=X ^ Y ^ Z; I(X,Y,Z)=Y ^ (X | (~Z)); 把消息分以512位为一分组进行处理，每一个分组进行4轮变换，以上面所说4个常数为起始变量进行计算，重新输出4个变量，以这4个变量再进行下一分组的运算，如果已经是最后一个分组，则这4个变量为最后的结果，即MD5值。
代码实现： MD5算法C代码实现
SHA-1
2017年2月23日，CWI Amsterdam与Google宣布了一个成功的SHA-1碰撞攻击[12][13]，发布了两份内容不同但SHA-1散列值相同的PDF文件作为概念证明。
SHA1的分组过程
对于任意长度的明文，SHA1的明文分组过程与MD5相类似，首先需要对明文添加位数，使明文总长度为448（mod512）位。在明文后添加位的方法是第一个添加位是l，其余都是0。然后将真正明文的长度（没有添加位以前的明文长度）以64位表示，附加于前面已添加过位的明文后，此时的明文长度正好是512位的倍数。与MD5不同的是SHA1的原始报文长度不能超过2的64次方，另外SHA1的明文长度从低位开始填充。
经过添加位数处理的明文，其长度正好为512位的整数倍，然后按512位的长度进行分组（block），可以划分成L份明文分组，我们用Y0，Y1，……YL-1表示这些明文分组。对于每一个明文分组，都要重复反复的处理，这些与MD5是相同的。
对于512位的明文分组，SHA1将其再分成16份子明文分组（sub-block），每份子明文分组为32位，我们使用M[k]（k= 0, 1,……15）来表示这16份子明文分组。之后还要将这16份子明文分组扩充到80份子明文分组，我们记为W[k]（k= 0, 1,……79），扩充的方法如下。
W t = M t , 当0≤t≤15
W t = ( W t-3 ⊕ W t-8⊕ W t-14⊕ W t-16 ) «< 1, 当16≤t≤79
SHA1有4轮运算，每一轮包括20个步骤（一共80步），最后产生160位摘要，这160位摘要存放在5个32位的链接变量中，分别标记为A、B、C、D、E。这5个链接变量的初始值以16进制位表示如下。
A=0x67452301
B=0xEFCDAB89
C=0x98BADCFE
D=0x10325476
E=0xC3D2E1F0
SHA1的4轮运算
SHA1有4轮运算，每一轮包括20个步骤，一共80步，当第1轮运算中的第1步骤开始处理时，A、B、C、D、E五个链接变量中的值先赋值到另外5个记录单元A′，B′，C′，D′，E′中。这5个值将保留，用于在第4轮的最后一个步骤完成之后与链接变量A，B，C，D，E进行求和操作。
SHA1的4轮运算，共80个步骤使用同一个操作程序，如下：
A,B,C,D,E←[(A«<5)+ ft(B,C,D)+E+Wt+Kt],A,(B«<30),C,D
其中 ft(B,C,D)为逻辑函数，Wt为子明文分组W[t]，Kt为固定常数。这个操作程序的意义为：
● 将[(A«<5)+ ft(B,C,D)+E+Wt+Kt]的结果赋值给链接变量A；
● 将链接变量A初始值赋值给链接变量B；
● 将链接变量B初始值循环左移30位赋值给链接变量C；
● 将链接变量C初始值赋值给链接变量D；
● 将链接变量D初始值赋值给链接变量E。
代码实现： SHA-1算法C代码实现
SHA-256
SHA-256 算法输入报文的最大长度不超过2^64 bit，输入按512-bit 分组进行处理，产生的输出是一个256-bit 的报文摘要。
代码实现： SHA-256算法C代码实现
参考
简书： Hash算法总结
维基网络： 哈希函数散列函数
维基网络： MD5算法
网络： MD5
CNBlogs: SHA1算法原理
CSDN： SHA-256算法实现