基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

Ⅰ 导数公式和求导法则总结，对吗

一、导数的定义
导数表示函数在某一点的瞬时变化率，即极限状态下的变化率。对于可导函数 \( y = f(x) \)，其在点 \( (a, b) \) 处的导数记为 \( f'(a) \)，表示当 \( x \) 接近 \( a \) 时，函数值 \( y \) 的变化率。
二、基本初等函数的导数公式
高中数学涉及的基本初等函数及其导数公式如下：
- 常数函数 \( y = c \) 的导数为 \( 0 \)
- 幂函数 \( y = x^n \) 的导数为 \( nx^{n-1} \)
- 正弦函数 \( y = \sin(x) \) 的导数为 \( \cos(x) \)
- 余弦函数 \( y = \cos(x) \) 的导数为 \( -\sin(x) \)
- 指数函数 \( y = a^x \) 的导数为 \( a^x \ln(a) \)
- 对数函数 \( y = \log_a(x) \) 的导数为 \( \frac{1}{x \ln(a)} \)
三、导数的四则运算法则
导数的四则运算法则如下：
1. 加减法：\( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \)
2. 乘法：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)
3. 除法：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)【注】分母 \( g(x) \neq 0 \)。
四、复合函数求导法则（链式法则）
复合函数 \( y = f(g(x)) \) 的导数使用链式法则，即 \( y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。
五、导数的物理意义和几何意义
- 物理意义：函数在某一点处的瞬时变化率，即速度或加速度。
- 几何意义：函数在该点处的切线斜率。
【例】求 \( y = \sin(2x) \) 的导数。
解：将 \( y = \sin(2x) \) 视为 \( y = \sin(u) \) 与 \( u = 2x \) 的复合函数。因为 \( (\sin(u))' = \cos(u) \)，\( (2x)' = 2 \)，所以 \( [\sin(2x)]' = (\sin(u))' \cdot (2x)' = \cos(u) \cdot 2 = 2\cos(u) = 2\cos(2x) \)。
总结：导数是数学分析中的基本概念，掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则及其物理和几何意义，对于深入学习微积分至关重要。

Ⅱ 求导数的公式

一、什么是导数？

导数就是“平均变化率“△y/△x”，当△x→0时的极限值”。可导函数y=f(x)在点(a,b)处的导数值为f'(a)。

二、基本初等函数的导数公式

高中数学里基本初等函数的导数公式里涉及到的函数类型有：常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数。它们的导数公式如下图所示：

复合函数导数公式

（2）根据“复合函数求导公式”可知，“y对x的导数，等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”。

【例】求y=sin(2x)的导数。

解：y=sin(2x)可看成y=sinu与u=2x的复合函数。

因为(sinu)'=cosu，(2x)'=2，

所以，[sin(2x)]'=(sinu)'×(2x)'

=cosu×2=2cosu=2cos(2x)。

五、可导函数在一点处的导数值的物理意义和几何意义

（1）物理意义：可导函数在该点处的瞬时变化率。

（2）几何意义：可导函数在该点处的切线斜率值。

【注】一次函数“kx+b(k≠0)”的导数都等于斜率“k”，即(kx+b)'=k。