求解病态系统常用的算法

‘壹’ 【求助】有限元隐式求解与显式求解的区别。

当前时刻的位慎态移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。另外，只要将运动方程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化，前一时刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。显式求解法的优点是它即没有收敛性问题，也不需求解联立方程组，其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。由于冲压成型过程具有很强的非线性，从解的精度考虑，时间步长也不能太李庆大，这就在很大程度上弥补了显式求解法的缺陷。 在80年代中期以前显式算法主要用于高速碰撞的仿真计算，效果很好。自80年代后期被越来越广泛地用于冲压成型过程的仿真，目前在这方面的应用效果已超过隐式算法。显式算法在冲压成型过程的仿真中获得成功应哪孝握用的关键，在于它不像隐式算法那样有解的收敛性问题。

‘贰’ 二次规划问题和常见求解框架

二次规划问题（QP）是优化领域中一类非线性规划问题的特例，其目标函数为二次型且约束为线性型。具体形式如下：

[公式]

其中，矩阵是对称的，向量和为线性约束。二次规划问题在统计学习、图像处理等领域有广泛应用，如LASSO回归、半二次分裂算法等。

LASSO回归是一种在回归分析中引入[LASSO惩罚项]，以限制模型系数的稀疏性，从而防止过拟合。相较于岭回归，LASSO对异常值的鲁棒性更强。其优化问题形式为：

[公式]

其中，向量是系数，矩阵是数据矩阵，为惩罚项权重。

等价的二次规划形式为：

[公式]

半二次分裂算法（HQS）是一种用于解决优化问题的迭代方法，特别适用于将原问题中的正则项通过变量替换和增广拉格朗日法（ALM）转换为更易于求解的形式。在图像复原中，目标函数通常包含数据保真项和惩罚项，惩罚项通常与去噪有关。引入辅助变量后，可以将惩罚项从原问题中分离出来，分别求解保真项和惩罚项。

近端梯度下降（PGD）是一种解决包含不可微部分的优化问题的算法。它适用于解决形式如[公式]的问题，其中[公式]是连续可导的凸函数，而[公式]是连续的凸函数，可能不可微。通过近端算子（proximal operator）定义为：

[公式]

其中，[公式]是将原函数在某点的泰勒展开的近似。近端算子对于不同的范数具有闭式解，例如：

[公式]时，[公式]

[公式]时，[公式]，即硬阈值函数

[公式]时，[公式]，即软阈值函数

加速迭代收缩阈值算法（FISTA）是近端梯度下降算法的加速版本，将收敛速度从[公式]提高至[公式]。FISTA通过Nesterov加速技术实现，简化计算同时大幅提高收敛速度。

两步迭代收缩阈值算法（TwIST）是一种改进的近端梯度下降方法，它依赖于前两次迭代的结果，而非仅依赖前一次迭代，从而在求解病态问题时具有更快的收敛速度。

广义交替投影算法（GAP）解决优化问题，如[公式]。通过交替更新变量求解。其迭代公式为：

[公式]

交替方向乘子法（ADMM）是一种用于解决分解式优化问题的方法，其算法流程为：

[公式]

算子分裂二次规划求解算法（OSQP）提供了解二次规划问题的高效算法，其迭代步骤包括向量加减、数乘和向集合投影等操作。

软阈值算子和硬阈值算子是优化算法中常见的算子，分别用于LASSO回归和类似场景。软阈值算子通过线性调整以保持稀疏性，而硬阈值算子则直接截断数值。

Lipschitz连续性定义了函数的局部变化幅度不能超过特定常数。Lipschitz连续梯度和Hessian的概念在此基础上扩展，限制了函数的导数和二阶导数的局部变化。

Nesterov加速技术是一种用于加速梯度下降算法收敛速度的技术，其关键在于利用预测点的梯度，而非仅使用当前点的梯度。

以上内容详细介绍了优化算法中的一些核心概念和方法，包括二次规划、LASSO回归、半二次分裂算法、近端梯度下降、FISTA、TwIST、GAP、ADMM、OSQP等。这些算法在不同领域如统计学习、图像处理、机器学习中发挥着关键作用，提供高效解决优化问题的途径。

‘叁’ 什么是tikhonov正则化方法

定义：正则化(regularization)，是指在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。
另外给出一个解释性定义：对于线性方程Ax=b，当解x不存在或者解不唯一时，就是所谓的病态问题(ill-posed problem). 但是在很多时候，我们需要对病态问题求解，那怎么做？
对于解不存在的情况，解决办法是增加一些条件找一个近似解；对于解不唯一的情况，解决办法是增加一些限制缩小解的范围。这种通过增加条件或限制要求求解病态问题的方法就是正则化方法。
正则化的英文是regularization，即规则化，调整。通过一些调整或者其他办法，使病态问题也能得到唯一解。在这个调整的过程中，使用的技术就是正则化技术，所用的方法就是正则化方法。

求解线性方程的标准方法是最小二乘法，即求解min叫做吉洪诺夫矩阵