❶ SPFASPFA算法
SPFA算法，全称为Shortest Path Faster Algorithm，是由西南交通大学的段凡丁在1994年提出的一种求解单源最短路问题的有效算法。该算法在处理存在负权边的图时尤为适用，当Dijkstra等算法失效，而Bellman-Ford算法复杂度过高时，SPFA算法就能发挥作用。
我们假设给定的有向加权图G不存在负权回路，这样最短路径的存在是确定的。虽然在执行前可以先通过拓扑排序检查，但这不是算法的核心。算法的关键在于使用一个先进先出的队列存储待优化节点，每次从队列头部取出节点u，对离开u的所有邻接节点v进行松弛操作。如果v的估计最短路径值改变且不在队列中，就将v加入队尾。这个过程将持续，直到队列为空。其原理是，只要最短路径存在，SPFA算法必然能找到最小值。
算法的时间复杂度期望为O(ke)，其中k是所有顶点进队的平均次数，一般小于等于2。具体实现是：初始化队列和一个记录最短路径的表格，起始点的最短路径值设为极大值（自身为0）。然后执行松弛操作，若更新路径且未入队，将该点加入队尾，重复此过程直到队列为空。通过节点进队次数判断是否存在负环：如果某个点超过n次进入队列，说明存在负权回路，此时无最短路径，算法将无限进行直到发现负环。
❷ SPFA算法SPFA算法
SPFA算法，全称为Shortest Path Faster Algorithm，是由西南交通大学段凡丁在1994年提出的一种求解单源最短路径问题的高效算法。在处理图中存在负权边的情况时，如Dijkstra算法不再适用，Bellman-Ford算法复杂度偏高，SPFA算法就能派上用场。
算法的核心原理是动态逼近法，利用一个先进先出的队列存储待优化的节点。通过松弛操作，以起点u的当前最短路径估计值更新其邻接节点v的值。若更新后v不在队列中，将其加入队尾。此过程持续直至队列为空。该算法确保只要有最短路径存在，最终一定能找到最小值。
SPFA的期望时间复杂度为O(ke)，其中k是所有顶点平均入队次数，通常k小于等于2。其基本实现包括创建队列，初始时仅包含起点，以及一个记录最短路径的表格（初始值设为极大值，起点到本身的路径设为0）。通过松弛操作不断更新路径，如果刷新成功且新加入的点不在队列中，将其加入队尾，直至队列为空。
值得注意的是，SPFA算法在判断图中是否存在负权环时，如果某个点入队次数超过图中节点总数N，说明存在负环，此时SPFA算法无法处理带负环的图。