二叉树算法应用

1. 二叉树算法是什么

二叉树是每个节点最多有两个子树的有序树。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

性质

1、在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)。

2、深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点（h>=1)，最少有h个结点。

3、对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1。

2. 二叉树算法是什么

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

二叉树的第i层至多有2^（i 1）个结点；深度为k的二叉树至多有2^k 1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。二叉树算法常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树是每个节点最多有两个子树的有序树。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

(2)二叉树算法应用扩展阅读：

二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树算法有五种基本形态：

1、空二叉树——(a)

2、只有一个根结点的二叉树——(b);

3、右子树为空的二叉树——(c);

4、左子树为空的二叉树——(d);

5、完全二叉树——(e)

注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。

3. 二叉树最小权路径长度算法

问题描述：给定一棵树T，含有n个叶子节点，并且每个叶子节点都有一个权重值{A1,A2,A3...An}。目标是计算树T的最小权路径长度（WPL）。例如，2021年408这道题。

方法1：具体算法如下。举例说明。

首先构造哈夫曼树。哈夫曼树的构建顺序无需特定规则，但按照某种规律绘制可以更清晰地展示思路。这里我们以左节点作为顺序。

接着，依次累加所有叶子节点的带权路径长度。从构造的哈夫曼树中可以得知所有节点的路径长度，如“16”节点的路径长度为2。因此，WPL=(16+21+30)*2+(10+12)*3=200。

方法2：这里简要证明上述结论。

对于哈夫曼树T1中的两个兄弟叶子节点N1、N2，假设N1、N2的父节点为P1。N1的路径长度为d。删除N1、N2后得到的哈夫曼树为T2。计算得到W(N1)+W(N2)=N1+N2+(N1+N2)*(d-1)。由此得出W(P1)=P1*(d-1)=W(N1)+W(N2)+N1+N2。因此，W(T1)=W(T2)+N1+N2。

按照哈夫曼树构建过程，知道WPL(T1)=N1+N2+N3......+N，即WPL为所有叶子结点权重之和。

方法3：不绘制哈夫曼树直接计算WPL。按照方法2的过程，每次找到最小的两个节点后，直接累加到WPL里，并递归计算WPL。即WPL(T1)=min(n1+n2)+WPL(T2)。

代码实现：

JS实现：

C语言实现：

4. 二叉树遍历的算法实现

从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部分组成。因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作：
⑴访问结点本身（N），
⑵遍历该结点的左子树（L），
⑶遍历该结点的右子树（R）。
以上三种操作有六种执行次序：
NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。
注意：
前三种次序与后三种次序对称，故只讨论先左后右的前三种次序。 根据访问结点操作发生位置命名：
① NLR：前序遍历(PreorderTraversal亦称（先序遍历））
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
② LNR：中序遍历(InorderTraversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
③ LRN：后序遍历(PostorderTraversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
注意：
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。 1．先（根）序遍历的递归算法定义：
若二叉树非空，则依次执行如下操作：
⑴ 访问根结点；
⑵ 遍历左子树；
⑶ 遍历右子树。
2．中（根）序遍历的递归算法定义：
若二叉树非空，则依次执行如下操作：
⑴遍历左子树；
⑵访问根结点；
⑶遍历右子树。
3．后（根）序遍历得递归算法定义：
若二叉树非空，则依次执行如下操作：
⑴遍历左子树；
⑵遍历右子树；
⑶访问根结点。 用二叉链表做为存储结构，中序遍历算法可描述为：
void InOrder(BinTree T)
{ //算法里①~⑥是为了说明执行过程加入的标号
① if(T) { // 如果二叉树非空
② InOrder(T->lchild）；
③ printf(%c，T->data）； // 访问结点
④ InOrder(T->rchild);
⑤ }
⑥ } // InOrder 计算中序遍历拥有比较简单直观的投影法，如图
⑴在搜索路线中，若访问结点均是第一次经过结点时进行的，则是前序遍历；若访问结点均是在第二次（或第三次）经过结点时进行的，则是中序遍历（或后序遍历）。只要将搜索路线上所有在第一次、第二次和第三次经过的结点分别列表，即可分别得到该二叉树的前序序列、中序序列和后序序列。
⑵上述三种序列都是线性序列，有且仅有一个开始结点和一个终端结点，其余结点都有且仅有一个前驱结点和一个后继结点。为了区别于树形结构中前驱（即双亲）结点和后继（即孩子）结点的概念，对上述三种线性序列，要在某结点的前驱和后继之前冠以其遍历次序名称。
【例】上图所示的二叉树中结点C，其前序前驱结点是D，前序后继结点是E；中序前驱结点是E，中序后继结点是F；后序前驱结点是F，后序后继结点是A。但是就该树的逻辑结构而言，C的前驱结点是A，后继结点是E和F。
二叉链表基本思想
基于先序遍历的构造，即以二叉树的先序序列为输入构造。
注意：
先序序列中必须加入虚结点以示空指针的位置。
【例】
建立上图所示二叉树，其输入的先序序列是：ABD∮∮∮CE∮∮F∮∮。
构造算法
假设虚结点输入时以空格字符表示，相应的构造算法为：
void CreateBinTree (BinTree **T){ //构造二叉链表。T是指向根指针的指针，故修改*T就修改了实参（根指针）本身 char ch； if((ch=getchar())=='') *T=NULL； //读入空格，将相应指针置空 else{ //读人非空格 *T=(BinTNode *)malloc(sizeof(BinTNode））； //生成结点 （*T)->data=ch； CreateBinTree(&(*T)->lchild）； //构造左子树 CreateBinTree(&(*T)->rchild）； //构造右子树 }}
注意：
调用该算法时，应将待建立的二叉链表的根指针的地址作为实参。
示例
设root是一根指针（即它的类型是BinTree），则调用CreateBinTree(&root）后root就指向了已构造好的二叉链表的根结点。
二叉树建立过程见
下面是关于二叉树的遍历、查找、删除、更新数据的代码（递归算法）： #include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<iomanip>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>#include<vector>#include<list>#include<stack>#include<queue>#include<map>#include<set>usingnamespacestd;typedefintT;classbst{structNode{Tdata;Node*L;Node*R;Node(constT&d,Node*lp=NULL,Node*rp=NULL):data(d),L(lp),R(rp){}};Node*root;intnum;public:bst():root(NULL),num(0){}voidclear(Node*t){if(t==NULL)return;clear(t->L);clear(t->R);deletet;}~bst(){clear(root);}voidclear(){clear(root);num=0;root=NULL;}boolempty(){returnroot==NULL;}intsize(){returnnum;}TgetRoot(){if(empty())throwemptytree;returnroot->data;}voidtravel(Node*tree){if(tree==NULL)return;travel(tree->L);cout<<tree->data<<'';travel(tree->R);}voidtravel(){travel(root);cout<<endl;}intheight(Node*tree){if(tree==NULL)return0;intlh=height(tree->L);intrh=height(tree->R);return1+(lh>rh?lh:rh);}intheight(){returnheight(root);}voidinsert(Node*&tree,constT&d){if(tree==NULL)tree=newNode(d);elseif(ddata)insert(tree->L,d);elseinsert(tree->R,d);}voidinsert(constT&d){insert(root,d);num++;}Node*&find(Node*&tree,constT&d){if(tree==NULL)returntree;if(tree->data==d)returntree;if(ddata)returnfind(tree->L,d);elsereturnfind(tree->R,d);}boolfind(constT&d){returnfind(root,d)!=NULL;}boolerase(constT&d){Node*&pt=find(root,d);if(pt==NULL)returnfalse;combine(pt->L,pt->R);Node*p=pt;pt=pt->R;deletep;num--;returntrue;}voidcombine(Node*lc,Node*&rc){if(lc==NULL)return;if(rc==NULL)rc=lc;elsecombine(lc,rc->L);}boolupdate(constT&od,constT&nd){Node*p=find(root,od);if(p==NULL)returnfalse;erase(od);insert(nd);returntrue;}};intmain(){bstb;cout<<inputsomeintegers:;for(;;){intn;cin>>n;b.insert(n);if(cin.peek()==' ')break;}for(;;){cout<<inputdatapair:;intod,nd;cin>>od>>nd;if(od==-1&&nd==-1）break;b.update(od,nd);}}