omp兼带其它算法

A. 线性方程组的稀疏解

稀疏解问题在多个领域，如线性回归、最小二乘、字典学习、信号的稀疏恢复等，具有重要应用需求。当考虑形如的线性方程组，其中，需探讨的稀疏解形式与问题的维度紧密相关。

若，方程为超定方程组，通常无解。此时，最小二乘法（线性拟合）可用于寻找最优解，该解由方程的伪逆计算得出。若，则方程为常规线性方程组，存在唯一解；若，方程为欠定方程组，存在多个解。为了追求稀疏解，通常对解施加范数约束，但由于零范数问题的NP性质，其不被考虑。以下探讨两种常见约束情况：

1. L2范数约束：通过拉格朗日乘子法，可推导出问题的最优解为。这个解与超定方程的最小二乘解在形式上非常相似，区别在于一个是左逆，另一个是右逆。在计算中，numpy的np.linalg.pinv函数会自动选择可逆的逆来参与计算。该稀疏解也可表示为正则化加权形式，通过拉格朗日乘子法进一步推导得出。对于更一般的二范数问题，同理可以使用拉格朗日乘子法求解，具体细节可见相关链接。

2. L1范数约束：为获得稀疏解，问题可转化为求解。解决该问题有多种方法，其中正交匹配算法（OMP）和基追踪算法（BP）是两种常用策略。正交匹配算法是一种贪心算法，通过逐次选择与残差相似度最高的列，构建逼近矩阵，最终得到解。基追踪算法则通过反证法证明，最小解必然包含零元素，从而转化为带线性约束的线性规划问题，利用scipy的linprog求解。

相关文献提供了深入理论分析与算法实现的依据，如Tropp的《Greed is good: Algorithmic results for sparse approximation》、Cai和Wang的《Orthogonal matching pursuit for sparse signal recovery with noise》、hang的《Sparse recovery with orthogonal matching pursuit under RIP》等。

B. K-SVD和OMP是什么关系

K-svd是一种训练字典的方法，算法里面在求取系数矩阵时要用到omp算法。

C. 稀疏表示的性质

信号稀疏表示的目的就是在给定的超完备字典中用尽可能少的原子来表示信号，可以获得信号更为简洁的表示方式，从而使我们更容易地获取信号中所蕴含的信息，更方便进一步对信号进行加工处理，如压缩、编码等。信号稀疏表示方向的研究热点主要集中在稀疏分解算法、超完备原子字典、和稀疏表示的应用等方面。
在稀疏表示理论未提出前，正交字典和双正交字典因为其数学模型简单而被广泛的应用，然而他们有一个明显的缺点就是自适应能力差，不能灵活全面地表示信号，1993年，Mallat基于小波分析提出了信号可以用一个超完备字典进行表示，从而开启了稀疏表示的先河，经研究发现，信号经稀疏表示后，越稀疏则信号重建后的精度就越高，而且稀疏表示可以根据信号的自身特点自适应的选择合适的超完备字典。对信号稀疏表示的目的就是寻找一个自适应字典使得信号的表达最稀疏。
稀疏分解算法首先是由Mallat提出的，也就是众所周知的匹配追踪算法（Matching Pursuit,MP）算法，该算法是一个迭代算法，简单且易于实现，因此得到了广泛的应用。随后，Pati等人基于MP算法，提出了正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit,OMP），OMP算法相较于MP算法，收敛速度更快。在以后的研究中，为了改进OMP算法，学者也提出了各种不同的其它算法，例如：压缩采样匹配追踪（Conpressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP）算法、正则化正交匹配追踪（Regularized Orthogonal Matching Pursuit,ROMP）算法、分段式正交匹配追踪（Stagewise OMP,StOMP）算法、子空间追踪（Subspace Pursuit,SP）算法等等。
信号稀疏表示的两大主要任务就是字典的生成和信号的稀疏分解，对于字典的选择，一般有分析字典和学习字典两大类。常用的分析字典有小波字典、超完备DCT字典和曲波字典等，用分析字典进行信号的稀疏表示时，虽然简单易实现，但信号的表达形式单一且不具备自适应性；反之，学习字典的自适应能力强，能够更好的适应不同的图像数据，在目前的研究中，常用的学习字典的方法包括：Engan于1999年提出的最优方向（Method Of Optimal Directions,MOD）算法，该算法是学习字典的鼻祖，它的字典更新方式简单，但与此同时，它的收敛速度很慢，在该算法的基础上，一些研究人员同时还提出了一些其它的字典学习算法，如FOCUSS字典学习算法，广义PCA（Generalized PCA）算法等等，Micheal Elad也于2006年提出了基于超完备字典稀疏分解的K-SVD算法，该算法相较于MOD算法，收敛速度有了很大的提高，但是随着噪声的逐渐加大，使用该算法进行去噪后的图像因纹理细节的丢失会产生模糊的效果。Mairal于2010年提出了一种online字典学习算法，该算法速度较快且适用于一些特殊的信号处理，例如视频信号，语音信号等等 。