‘壹’ 一文解释 GMM高斯混合模型和EM算法
GMM高斯混合模型和EM算法的解释如下：
GMM高斯混合模型： 定义：GMM，即高斯混合模型，是通过多个高斯分布的线性组合来适应复杂数据分布的一种模型。 应用场景：当单一高斯分布无法精确拟合数据分布时，GMM能够提供更灵活的建模方式。 参数估计：GMM不仅需要估计每个高斯分布的参数，还需要估计每个模型分量的所属概率。 目标：通过观测数据估计模型参数，以使得模型能够更准确地描述数据分布。
EM算法： 定义：EM算法，即期望最大化算法，是一种用于在存在隐变量的情况下，通过迭代求解模型参数的方法。 应用场景：在GMM中，每个数据点属于哪个高斯分布是未知的，这种未知信息可以视为隐变量。因此，EM算法被广泛应用于GMM的参数估计。 步骤： E步：计算每个数据点属于每个高斯分布的概率，这通常涉及计算联合概率和边缘概率。 M步：在已知每个数据点属于每个高斯分布的概率的情况下，通过最大化似然函数来更新模型参数。这通常涉及对似然函数求导，并找到使其最大化的参数值。 迭代：E步和M步交替进行，直到模型参数收敛或达到预设的迭代次数。
总结： GMM高斯混合模型通过多个高斯分布的线性组合来适应复杂数据分布，其关键在于参数估计和数据分类。 EM算法为GMM的参数估计提供了解决方案，通过逐步迭代优化模型，以更准确地拟合复杂数据分布。
‘贰’ 05 EM算法 - 高斯混合模型 - GMM
04 EM算法 - EM算法收敛证明
GMM (Gaussian Mixture Model, 高斯混合模型)是指该算法由多个高斯模型线性叠加混合而成。每个高斯模型称之为component。
GMM算法 描述的是数据的本身存在的一种分布，即样本特征属性的分布，和预测值Y无关。显然GMM算法是无监督的算法，常用于聚类应用中，component的个数就可以认为是类别的数量。
回到昨天说的例子：随机选择1000名用户，测量用户的身高；若样本中存在男性和女性，身高分别服从高斯分布N(μ1,σ1)和N(μ2,σ2)的分布，试估计参数:μ1,σ1,μ2,σ2；
1、如果明确的知道样本的情况(即男性和女性数据是分开的)，那么我们使用极大似然估计来估计这个参数值。
2、如果样本是混合而成的，不能明确的区分开，那么就没法直接使用极大似然估计来进行参数的估计。
我们可以认为当前的1000条数据组成的集X，是由两个高斯分布叠加而成的(男性的分布和女性的分布)。
如果能找到一种办法把每一个高斯分布对应的参数π、 μ、σ求出来，那么对应的模型就求解出来了。
如果模型求解出来后，如何对数据进行聚类？
这个公式求出来的分别是男性和女性身高分布的概率密度，如果把π、 μ、σ都求出来，以后我们可以构建出一个 能够根据样本特征 计算出样本属于男性或女性的可能性。
实际做样本分类的时候，我们把样本X的特征x1~xn分别代入两个公式中，求出来的两个结果分别是：样本X的性别是男、是女的可能性。如果是男的可能性大于是女的可能性，我们就把样本X归入男性的分类。
假定 GMM 由k个Gaussian分布线性叠加而成，那么概率密度函数如下：
分析第1个等式：
p(x)： 概率密度函数，k个Gaussian分布线性叠加而成的概率密度函数。
∑p(k)p(x|k)： k个某种模型叠加的概率密度函数。
p(k)： 每个模型占的权重，即上面提到的π。
p(x|k)： 给定类别k后，对应的x的概率密度函数。
分析第2个等式： 目标 - 将公式写成高斯分布的样子。
π k ： 即p(k)
p(x;μ k ,∑ k )： 多元高斯(正态)分布。有了观测数据x后，在 给定了条件 下的高斯分布。这个 条件 是 1、第k个分类的均值μ k ; 2、第k个分类的方差∑ k ;
深入分析p(x;μ k ,∑ k )的参数：
如果样本有n个特征，所有的特征x1~xn一起服从一个多元的高斯分布(正态分布)，所有特征的均值应该是一个向量 (μ 1 ~μ n )；
μ k ： 第k个分类的情况下(第k个高斯分布的情况下对应的每一列的均值)；μ k = (μ k1 ~μ kn )
∑ k ： 协方差矩阵(对称阵)。现在有n个特征，协方差矩阵是一个n×n的矩阵。现在我们要算的是：
cov(x1,x1)，cov(x1,x2)，...，cov(x1,xn)
cov(x2,x1)，cov(x2,x2)，...，cov(x2,xn)
....
cov(xn,x1)，cov(x1,x2)，...，cov(xn,xn)
其中， 对角线 cov(x1,x1)、cov(x2,x2)， ... ，cov(xn,xn)中，x1和x1的协方差 = x1的方差；即cov(x1,x1) = var(x1)；所以 对角线上两个特征的协方差 = 对应的特征的方差。
协方差 （Covariance）在 概率论 和 统计学 中用于衡量两个变量的总体 误差 。而 方差 是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
协方差表示的是两个变量的总体的 误差 ，这与只表示一个变量误差的 方差 不同。 如果两个 变量 的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
理解了公式后，再来看看公式在图像上是如何体现的：
如果样本X只有一个特征x1，在二维的坐标系上的表示出来。特征x1是由n个单变量样本的高斯分布叠加而成的。向量x1 k = ∑ k (x1 (1) ,x1 (2) ,~,x1 (n) )，如k=(男、女)，累加男性分类下的特征高斯分布和女性分类下的高斯分布；
图中 红色曲线 表示原有数据的分布情况，我认为这个原有数据是由多个比较的高斯分布叠加而成的， 蓝色曲线 表示单个单个高斯分布的分布情况。向量x1 = (x1 (1) ,x1 (2) ,~,x1 (n) )；
PS： 蓝1+蓝2=红 体现的就是公式 p(x) = ∑πp(x;μ,∑k)；
在得知数据的特征 x=(x1~xn) 后，如果我们想把数据合理得聚类到一个分类中，我们该如何去计算呢？
既然我已经得到了k个高斯分布对应的概率密度函数(现在设k=3，共3个分类)，将当前特征的x=(x1~xn)代入我们的概率密度函数： p(x) = ∑πp(x;μ,∑k)；
我们分别计算p(蓝1)、p(蓝2)、p(蓝3)，蓝色三条线各对应k分类中的一个，哪个数大，我认为当前的样本该分到哪一类。
GMM算法的两个前提：
1、数据服从高斯分布；
2、我们人为定义了分类个数k。
问：我们人为假定了高斯分布的分类个数k，就类似于我们聚簇时分的聚簇中心个数一样。参数π、μ、σ该如何求出来?
答：和K-Means算法一样，我们可以用 EM算法 来求解这个问题。 GMM也满足EM算法的聚类思想，首先人为得定义了聚类的个数k，从数据特征X中发掘潜在关系的一种模型。而且我还默认数据是服从多个高斯分布的。
GMM算法中的隐含条件是：第k个模型占的权重 - 、 第k个高斯分布的情况下对应的每一列的均值 - 、协方差矩阵 cov(xi,xj) - ；因为本质上我们是知道数据原有的分类状况的，只是无法观测到隐含在数据中的这些特性，使用EM的思想可以迭代得求解出这些隐含变量。
对联合概率密度函数求对数似然函数：
对联合概率密度函数求对数后，原本 连乘 的最大似然估计变成了 连加 的函数状态。
EM算法求解 - E步：
套用公式后，我们可以假定隐含变量z的分布：Q(z (i) = j)；
我们认为分布wj (i) = 第i个观测值对应的隐含分类第z (i) 类； = 以(看不见的参数π、μ、∑)为参数的情况下，输入第i观测值的特征x后得到的分类z (i) 类；
EM算法求解 - M步：
M步第1行就是上一章通过化简找到 下界 的那个函数：
1、对均值求偏导:
2、对方差求偏导:
3、对概率使用拉格朗日乘子法求解:
06 EM算法 - 案例一 - EM分类初识及GMM算法实现
‘叁’ 高斯混合模型（GMM）与最大期望（EM）算法笔记
本文聚焦于高斯混合模型（GMM）及其与最大期望（EM）算法的关系。GMM在机器学习领域中扮演着重要角色，尤其在聚类与密度估计方面展现出强大威力。
### 极大似然估计
极大似然估计法是参数估计的一种经典方法。以正态分布为例，我们旨在估计分布的参数。通过构造似然函数并对其进行优化，我们能够找到使得数据出现概率最大的参数值。
### GMM原理
GMM假定数据是由多个高斯分布混合而成的，其核心在于通过混合多个高斯分布来拟合数据分布的复杂性。相较于单一高斯分布，GMM能够更准确地捕捉数据的聚类特征。GMM中的每个高斯分布称为组件，它们共同构成了一个概率密度函数。
### EM算法
EM算法是一种迭代求解极大似然估计问题的高效方法，尤其适用于存在隐变量的模型。在GMM中，EM算法通过交替进行E步骤（期望）和M步骤（最大化），逐步优化模型参数，直至收敛。
EM算法的流程包括初始化参数，然后在E步骤中计算缺失数据的期望值，随后在M步骤中最大化似然函数以更新参数。这一过程重复进行，直到参数值不再显着变化。
### 应用与局限性
GMM与EM算法在聚类任务中展现出了强大能力。它们不仅能够实现数据分类，还能提供数据点属于各个类别的概率，这一特性在许多实际应用中极为宝贵。然而，EM算法的全局最优解并非总是可得，初始参数的选择对最终结果有显着影响。
总结而言，高斯混合模型与最大期望算法是数据驱动分析的重要工具，尤其在处理复杂数据分布时展现出巨大潜力。通过巧妙地结合概率理论与迭代优化方法，它们为解决实际问题提供了有效手段。