‘壹’ 向量的加减乘除运算法则是什么
向量的加减乘除运算法则：
一、加法与减法
向量加法：向量相加时，对应分量分别相加。即同方向的两个向量，其长度相加，方向不变。对于二维向量，横坐标相加得到新的横坐标，纵坐标相加得到新的纵坐标。对于三维向量，还要加上z轴的坐标分量。向量的减法同理，对应分量相减即可。最终结果仍然是向量形式，满足平行四边形法则或三角形法则。
二、数乘运算
数乘运算即标量与向量的乘积运算。将一个实数与向量相乘，结果仍然是一个向量。该运算遵循分配律和结合律。数乘运算可以改变向量的长度而不改变其方向，当乘以负数时，方向会发生反转。当数乘因子为绝对值不同的负数时，相当于进行了一次方向相反的平移。特别地，当乘以零时，结果为零向量。
三、点乘
点乘是两个向量的数量积运算，其结果是一个标量而非向量。点乘的计算方式是对应分量相乘后相加。当两个向量的夹角小于或等于90度时，点乘结果为正；大于90度时，点乘为负值。这种运算常用于判断向量的夹角和计算某些物理量。点乘满足分配律和交换律的结合律。值得注意的是，零向量与任何向量的点乘结果为零。两个垂直的向量进行点乘的结果是零。另一个重要的性质是，如果两个向量的点乘结果为负值，说明这两个向量的夹角大于90度。相反地，如果点乘结果为正值说明夹角小于或等于90度且实际模长为绝对值不等的零角可称为等值力偶或共线矢量合成为零矢量的情况。
‘贰’ 向量的运算的所有公式有哪些
01 向量加法遵循平行四边形法则与三角形法则，并满足以下运算律：交换律，即 a+b=b+a；结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。若向量a与向量b互为相反向量，则有 a=-b，b=-a，a+b=0，零向量的反向量仍为零向量。对于起点相同的向量，有 OA-OB=BA，即“从起点O到A的向量减去从起点O到B的向量等于从起点O到B的向量减去从起点O到A的向量”。给定向量 a=(x1,y1) 和 b=(x2,y2)，它们的差向量为 a-b=(x1-x2,y1-y2)。
02 在数学中，向量，亦称为欧几里得向量、几何向量或矢量，是指具有大小与方向的量，常以带箭头的线段表示。箭头指示方向，线段长度表示大小。向量加法遵循平行四边形法则与三角形法则，且满足交换律和结合律。若向量a与向量b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0，零向量的反向量仍为零向量。对于起点相同的向量，有 OA-OB=BA，即“从起点O到A的向量减去从起点O到B的向量等于从起点O到B的向量减去从起点O到A的向量”。给定向量 a=(x1,y1) 和 b=(x2,y2)，它们的差向量为 a-b=(x1-x2,y1-y2)。
03 向量与实数的乘法满足以下运算律：结合律，即 (λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)；分配律，即 (λ+μ)a=λa+μa，以及数乘向量的消去律：若实数λ≠0且λa=λb，则a=b；若a≠0且λa=μa，则λ=μ。
04 向量的数量积（点积）运算律包括：交换律，即 a·b=b·a；结合律，即 (λa)·b=λ(a·b)；分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。向量的数量积具有以下性质：a·a=|a|²，即一个向量与其自身的数量积等于该向量长度的平方；a⊥b〈=〉a·b=0，即两个向量垂直当且仅当它们的数量积为零；|a·b|≤|a|·|b|，其中|a·b|表示a与b的数量积的绝对值，|a|与|b|分别表示向量a与b的长度。该公式可证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|，因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|。
05 向量的向量积（叉积）运算律包括：a×b=-b×a，即向量积满足交换律；(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)，即向量积关于数乘的结合律；a×(b+c)=a×b+a×c=a×c+b×c，即向量积满足分配律。