求算术平方根算法设计思想

Ⅰ 算术平方根怎么开.请举一些例子.看起来跟清楚.

在这里，我“定义”a^b=a的b次方。

(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)

a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。

因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。

(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]

如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。

于是，我就设计了一个版式。下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。

例如：147^3=3176523

一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。（3'176'523）

第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。

1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。

接下来这一步就比较复杂了。因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。

依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：

1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。

第二位就填4，所以上图3个空位都填4。

然后(34*4+300)*4=1744，2176-1744=432，再拖三位得432523。

然后就照上面一样，

14^2*300=58800，14*30=420，如上图所写。

第三位就填7，所以上图下边3个空位都填7。

然后(427*7+58800)*7=432523,432523-432523=0，到此开立方结束。

在我以后的一些实践中，发现越往后开，300*a^2与b(30a+b)的差距就越大，寻找b的工作就越容易，因为结果中有一项是300*a^2*b。

徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最后结果为:18.724......

以上是转贴一网站的内容,我自己前半部分有些明白,后半部分还不明白,但我可以确定以上的解答过程才是正确的,而绝不是一个数的3倍.

述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除 256，所得的最大整数是 4，即试商是4)；

5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

Ⅱ π的算术平方根是多少

圆周率π的算术平方根大约是1.，这一数值在数学计算中具有重要意义。它不仅帮助我们更好地理解和应用π，还在几何学、物理学及其他科学领域发挥着关键作用。

圆周率π是一个无理数，意味着它的小数部分是无限不循环的。π的算术平方根同样具有这一特性，进一步增加了它在数学研究中的复杂性和价值。在实际应用中，为了方便计算和表达，通常会使用四舍五入的方式得到一个近似值，如1.772。

计算圆周率π的算术平方根的方法多种多样，其中一种常见的方法是使用牛顿迭代法。这种方法通过反复逼近，逐步得到更精确的数值。另一个方法是利用泰勒级数展开，虽然在理论上可以得到精确值，但在实际操作中，往往需要大量计算才能达到所需精度。

除了数学研究，圆周率π的算术平方根在实际应用中也有广泛的应用。例如，在工程学中，它可以帮助我们计算圆的面积和周长；在物理学中，它对电磁学、波动理论等有着重要影响；在计算机科学中，它用于算法设计和数据处理等。

尽管圆周率π的算术平方根是一个看似简单的数值，但它背后蕴含着丰富的数学知识和实际应用。通过深入研究和应用，我们可以更好地理解和利用这一重要的数学常数。

Ⅲ 二次方根与二次根式的区别

1、定义不同

二次方根：平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root）。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数有两个共轭的纯虚平方根。

二次根式：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。即：若。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。

2、运算不同

二次方根：像加减乘除一样，求平方根也有自己的竖式算法。因为每次补数需要补两位，所以被开方数不只一个数位时，要保证补数不能夹着小数点。例如三位数，必须单独用百位进行运算，补数时补上十位和个位的数。

每一个过渡数都是由上一个过渡数变化而后，上一个过渡数的个位数乘以2，如果需要进位，则往前面进1，然后个位升十位。

以此类推，而个位上补上新的运算数字。简单地讲，过渡数27，是第一次商的1乘以20，把个位上的0用第二次商的7来换，过渡数343是前两次商的17乘以20=340，其中个位0用第三次商的3来换，第三个过渡数3462是前三次商173乘以20=3460，把个位0用第四次的商2来换，依次类推。

误差值的作用。如果要求精确到更高的小数数位，可以按规则，对误差值继续进行运算。

二次根式：同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 化简：根号12等于4的根号3

合并同类二次根式，把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

3、应用不同

二次方根：用计算器求一个正数的平方根的程序，无论实际生活，还是其他学科都会经常用到计算器求一个数的平方根，这也是学生的基本技能之一。

二次根式：利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；

利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。