拓扑流形pdf

❶ 拓扑学的学科简介

Topology原意为地貌，起源于希腊语Τοπολογ。形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。简单的说，拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。
拓扑学起初叫形势分析学，是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，德国数学家黎曼在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。
而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。 拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。欧拉在1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式；高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文τόπος和λόγος（“位置”和“研究”）。这是拓扑学的萌芽阶段。
1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。
组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的。他的主要兴趣在流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了着名的庞加莱猜想。
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。 最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇。他在1906年引进了度量空间的概念。F.豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。
欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来，即问两个映射，以R.H.宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。 L.E.J.布劳威尔在1910～1912年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准。紧接着，J.W.亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。
随着抽象代数学的兴起，1925年左右A.E.诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下H.霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，S.艾伦伯格与N.E.斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成《代数拓扑学基础》(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。直到今天，同调论所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算和最常用的不变量 。 同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W.赫维茨1935～1936年间引进了拓扑空间的n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类，一维同伦群就是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，其几何意义比同调群更明显，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年法国数学家塞尔利用J.勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，在同伦群的计算上取得突破。
从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K理论，以及其他几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡。尽管几何意义各不相同，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一部分。 微分拓扑是研究微分流形与可微映射的拓扑学。随着代数拓扑和微分几何的进步，在30年代重新兴起。H·惠特尼（H. Whitney）在1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与同调（示性类）和同伦问题联系起来了。
1953年R·托姆（Rene Thom）的配边理论开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。1956年米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形（piecewise linear manifold）这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。 J.W.米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法──剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。
近些年来，有关流形的研究中，几何的课题、几何的方法取得不少进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：证明了四维庞加莱猜想，发现四维欧氏空间存在不同寻常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何拓扑学，以强调其几何色彩，区别于代数味很重的同伦论。

❷ 流形的范畴

最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。
通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯朵夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。
流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维度。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维度。 主条目：微分流形
如果流形上的局部坐标图之间的坐标变换是光滑的，就可以在该流形上讨论方向，切空间，和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用“微积分”。这时我们说流形上被赋予了一个微分结构。带有微分结构的流形叫做微分流形。 如果流形上的任意两个局部坐标之间的坐标变换是“分段线性函数”，那么我们称这个流形上被赋予了一个分段线性结构。被赋予分段线性结构的拓扑流形称为分段线性流形。
如果流形上有微分结构，那么微分结构自然的诱导了一个分段线性结构。所以微分流形一定是分段线性流形。
存在分段线性结构是比存在单纯剖分略强的条件；分段线性流形的范畴是介于拓扑流形范畴和微分流形范畴之间的一个范畴。

❸ 微分同胚的两个流形拓扑同胚吗

任何一个微分流形上面有两种结构，一个叫拓扑结构，一个叫微分结构。拓扑同胚告诉你拓扑结构一样，而微分同胚是个更强的概念，告诉你除了拓扑结构一样，微分结构也一样。

要注意这两个结构的的确确是不同的结构！也即是说：有一些微分流形在同一个拓扑结构下，可能有不同的微分结构。比如R^4，在标准拓扑下，它上面可以有不可数多个微分结构。换句话说，可以构造不可数个微分结构使得每个版本的R^4拓扑同胚可是微分不同胚。另外也存在一些拓扑流形，它上面根本不存在任何微分结构。

不过值得注意的是：在四维以下（不包括四维）的微分流形都存在唯一的微分结构。其次，四维以上的紧流形如果存在不同的微分结构那么种类必须是有限多个。关于R^n更有趣，除了n＝4以外，都存在唯一的微分结构

❹ 一个流形可以有本质上不同的几个微分结构，问是不是每个流形都有微分结构请给出没有微分结构的流形的例

在3维以下空间中流形的微分结构是唯一的，而4维以上空间中微分结构不唯一。
可参看关于拓扑学中一个有趣的问题：米尔诺怪球
微分拓扑学在20世纪50年代由于米尔诺等的工作而进入了黄金时期。此前，数学家们都以为在流形上只存在一种微分结构。但1956年，美国数学家米尔诺却在七维球面上找到了28种不同的微分结构。这一令人震惊的结论为这种七维流形赢来了“米尔诺怪球”的着称。
米尔诺怪球触发的微分拓扑学的发展可以说是奇峰迭起。其中尤以4维欧几里得空间微分流形的有关结论最为引人注目。1980年以前，数学家们已经证明了，除4维外，所有的欧几里得空间都只具有一种微分结构。1982年，英国牛津大学的数学家唐纳尔逊证明了在4维欧几里得空间上存在着与通常不同的微分结构。也就是说世界数学家和物理学家们从牛顿时代以来所惯用的微分结构并不是唯一可能的。不久又有人证明了在4维欧几里得空间上可以有无穷多种微分结构，通常的微分结构只不过是其中之一。究竟是什么原因造成了四维时空的与众不同。数学家们目前还不能回答这个事关重大的问

❺ 有谁知道“拓扑流形”的准确定义吗

流形（Manifold），一般可以认为是局部具有欧氏空间性质的空间。 而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。

流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于组态空间(configuration space)。环(torus)就是双摆的组态空间。

如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的，因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式，如果你知道(0,1)区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化)，那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体，其无穷小的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动),该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。

最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些"普通"的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。

通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯朵夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。

流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维度。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维度。

❻ 微分流形一定是拓扑流形吗

微分流形是在拓扑流形的基础上添加微分结构而成的。

拓扑流形是一个局部欧氏空间，还是一个 Hausdorff 空间。还有些人要求拓扑流形是仿紧的或/和第二可数的。

❼ 什么是微分流形

微分流形
光滑流形（英语：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形在物理学中非常重要。特殊种类的可微流形构成了经典力学、广义相对论和杨-米尔斯理论等物理理论的基础。可以为可微流形开发微积分。可微流形上的微积分研究被称为微分几何。

历史
微分几何（differential geometry）作为一个独特的学科的出现一般归功于高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的着名的康复讲座中描述了多个面向。他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法，并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用：

在一个概念下的事例如果构成n维流形，一个流形的特色可以简单表示其属性，则化简的结果必然是有限个数字，…… -波恩哈德·黎曼的就职演说《论作为几何学基础的假设》

物理学家马克士威（James Clerk Maxwell）和数学家库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）和齐维塔（Tullio Levi-Civita）的成果导入了张量分析和广义协变性的概念，它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。这些想法在1912年爱因斯坦发展广义相对论理论时取得关键性的应用。外尔（Hermann Weyl）于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代，该课题基础性方面的工作被哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney）等人厘清，使得从19世纪下半叶起开始发展起来的相关的直觉知识变得更精确，并通过微分几何和李群使微分流形的理论得到进一步的发展。

C -可微流形的定义
设是自然数，-维拓扑空间被称为是-维可微流形，如果，

为豪斯多夫空间

被-维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在中的-维坐标邻域族，使得

满足的任意，其坐标转换



为一个到的映射。

注意：每个座标邻域都是流形中的开集合。

当第三个条件中的座标变换改成是光滑映射（代表可无限次微分）时，满足这三条件的称为光滑流形，写作流形；当座标变换不是可微映射，仅是连续映射时，满足这三条件的称为拓扑流形，写作流形。

图册
拓扑空间X上的图册称为卡（chart）的{(Uα, φα)}的集合，其中Uα是覆盖 X的开放集合，并且对于每个索引α



是Uα在n维真实空间的开放子集上的同胚。图册的转移映射（transitionmap）功能是



以图册来定义流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼于1943年所提出。每个拓扑流形都有一个图册。Ck-atlas是一个图册，其转换图是Ck。拓扑流形具有C0-atlas，并且通常Ck-流形具有Ck-atlas。连续图册（continuous atlas）是C0图册，平滑图册是C∞图册，分析图册（analytic atlas）是Cω图册。

❽ 流形的构造

一个流形可以以不同方式构造，每个方式强调了流形的一个方面，因而导致了不同的观点。 可能最简单的构造一个流形的方法是在上面的例子中的圆圈的构造方法。首先，确认R2的一个子集，然后覆盖这个自己的图册被构造出来。流形的概念历史上就是从这样的构造发展出来的。这里有另一个例子，把这个方法应用在球面的构造上:
①带图册的球面
球面的表面可以用几乎和圆圈一样的方法来处理。我们把球面视作R3的子集：

球面是二维的，所以每个坐标图将映射球面的一部分到一个R2的开子集。例如考虑北半球，它是带正z坐标的部分。(在右图中它着红色)定义如下的函数χ
χ(x,y,z) = (x,y)
把北半球映射到开单位圆盘，通过把它投影到(x, y)平面。类似的坐标图对南半球也存在。和投影到(x, z)平面的两个坐标图以及投影到(y, z)平面的两个坐标图一起，我们得到了一个覆盖整个球面的含6个坐标图的图册。
这可以很容易地扩展到高维的球面。 流形可以通过把碎片以一种相容的方式粘合来构造，使得碎片成为互相覆盖的坐标图。这种构造对于任何流形都是可行的，所以经常作为流形的表述，特别是微分和黎曼流形。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。
这里，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。流形的一个点因而是指通过变换映射映到同一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是微分同胚，最后得到的流形就是微分流形。
这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的t = 1/s来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝用坐标s，第二个拷贝用t。现在，通过把第二个拷贝上的点t和第一个拷贝上的点1/s作为同一个点来粘合起来(点t = 0不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。
①内在和外在的观点
第一种构造和这种构造非常相似，但是他们代表了相当不同的观点。在第一种构造中，流形被视为嵌入到某个欧氏空间中。这是外在的观点。当一个流形用这种方式来看的时候，它很容易通过直觉从欧氏空间得倒附加的结构。例如，在欧氏空间，很明显某个点的一个向量是否和穿过该点的曲面相切或者垂直。
贴补构造不用任何嵌入，只是简单地把流形看作拓扑空间本身。这个抽象的观点称为内在的观点。这使得什么是切向量更难以想象。但是它表达了流形的本质，在计算上来讲，这使我们避免了使用更高的维度，例如我们只要二维而不是三维就可以作球面上的计算。
②作为贴补的n维球面
n维球面Sn可以通过粘合Rn的两个拷贝来构造。他们之间的变换函数定义为

这个函数是它自身的逆，因而可以在两个方向使用。因为变换映射是一个光滑函数，这个图册定义了一个光滑流形。
如果我们取n = 1, 我们就得倒了上面圆圈的例子。 很多流形可以定义为某个函数的零点集。这个构造自然的把流形嵌入一个欧氏空间，因而导向一个外在的观点。这很形象，但不幸的是不是每个流形都可以这样表示。
如果一个可微函数的雅戈比矩阵在函数为0的每一点是满秩的，则根据隐函数定理，每个这样的点周围存在一个为0的领域微分同胚于一个欧氏空间。因此零点集是一个流形。
①作为一个函数零点的n维球面
n维球面Sn经常定义为
Sn={x∈Rn+1∶‖x‖=1}
这等价为如下函数的零点
x→‖x‖－1
这个函数的雅戈比矩阵是
[x1 … xn+1]
它的秩对于除了原点的所有点为1(对于1×n矩阵就是满秩的)。这证明n维球面是一个微分流形。 可以把流形上的不同点定义为相同。这可以视为把不同的点粘合为同一个点。结果经常不是流形，但在有些情况下是流形。
这些情况下，认同过程是用群来完成的，这是作用在流形上的群。两个点被视为同一个如果一个能被该群的一个元素移动到另一个上面。如果M是该流形而G是该群，结果空间称为商空间，并记为M/G。可以通过认同点来构造的流形包括环面和实射影空间(分别从一个平面和一个球面开始)。 流形的直积也是流形。但不是每个流形都是一个积。
积流形的维度是其因子的维度之和。其拓扑是乘积拓扑，而坐标图的直积是积流形的坐标图。这样，积流形的图册可以用其因子的图册构造。如果这些图册定义了因子上的微分结构，相应的积图册定义了积流形上的一个微分结构。因子上定义的其他结构也可以同样处理。如果一个因子有一个边界，积流形也有边界。直积可以用来构造环面和有限圆柱面，例如，分别定义它们为S1 × S1和S1 × [0, 1]。 两个带边界的流形可以沿着边界粘合。如果用正确的方式完成，结果也是流形。类似的，一个流形的两个边界也可以粘合起来。
形式化的，粘合可以定义为两个边界的一个双射。两个点被认同为一个，如果它们互相映射到对方。对于一个拓扑流形，这个双射必须是同胚，否则结果就不是拓扑流形。类似的，对于一个微分流形，它必须是微分同胚。对于其它流形，其他的结构必须被这个双射所保持。
有限的圆柱面可以作为一个流形构造，先从一个长条R × [0, 1]开始，然后把对边通过适当的微分同胚粘合起来。克莱因瓶可以一个带孔的球面和一个莫比乌斯带沿着各自的圆形边界粘合起来得倒。

❾ 流形的介绍

一个流形的一个坐标映射,坐标图, 或简称图是一个在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧氏空间Rn而我们感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。
图对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。
例如极坐标，是一个R2除了负x轴和原点之外的图。上节提到的映射χtop是圆圈的一个图。 多数流形的表述需要多于一个的图(只有最简单的流形只用一个图)。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集。图集不是唯一的，因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。
包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图集。不像普通的图集，极大图集是唯一的。虽然可能在定义中有用，这个对象非常抽象，通常不直接使用(例如，在计算中)。 图集也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个图上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。
这是微分流形的标准定义方式。如果图集的变换映射对于一个拓扑流形保持Rn 自然的微分结构(也就是说，如果它们是微分同胚)，该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。
通常，流形的结构依赖于图集，但有时不同的图集给出相同的结构。这样的图集称为相容的。

❿ 紧致流形是什么意思

经常，拓扑流形被定义为必须是Hausdorff的，所以最一般的流形定义如下： 一个Hausdoff空间X称为n维(拓扑)流形,如果X的任一点都有一个同胚于En或En+的开邻域. 这里En+是半个n维欧式空间,规定为 En+ :={(x1,x2,...,xn) ∈ En | xn ≥ 0}. 由定义不难看出,流形是局部紧致的.但并不一定是紧致的. 所以紧致流形就是 满足紧致性的流形. 即满足它的每个开覆盖都有有限个子覆盖的流形