非线性理论pdf

① 非线性思维

【基本介绍】
“非线性思维”可以理解为就是和常规线性思维不一样的思维方式。它很可能就会不按逻辑思维、线性思维的方式走，有某种直觉的含义，是一种无须经过大量资料、信息分析的综合
一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。实际上，自然科学或社会科学中的几乎所有已知系统，当输入足够大时，都是非线性的。因此，非线性系统远比线性系统多得多，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。对于一个非线性系统，哪怕一个小扰动，象初始条件的一个微小改变，都可能造成系统在往后时刻行为的巨大差异。
[编辑本段]【对待应用】
非线性思维的建立和培养是人们应用技术的关键。
而非线性在实际操作中的体现就是多维度并列顿悟思考的过程。
非线性过程的分段线性化其实，非线性思维日常生活中并不少，尤其常见于比拼智力的游戏。喜欢下围棋的朋友都知道，势与地、厚与薄、死与活、边角腹、味道保留与否、次序交换先后，始终处于动态变化中。无论专家庸才，如果选择一本道下法则对局不可避免地成为赌局，所以职业高手无一例外都擅长妥协，精于转身。桥牌也是如此，制造、保留、放弃、推迟乃至提前进行各种选择，不同的坐庄与防守路径形成了复杂的网状结构。业余选手被这张网套住，往往剪不断理还乱。然而，对职业高手来说却非如此。原因何在？当过程中所有的不确定被不恰当地消灭的时候，便只剩下结局成为不确定，而这恰恰违背了消除那些不确定的初衷。高手之所以成为高手，是因为明白在不实质改变结果的前提下，为增加结果的确定性而尽可能保留过程的不确定性。
现在，人们的非线性思维方式越来越强，而线性思维方式有弱化的趋势。这是因为，信息技术飞速发展，大量的信息摄入人脑，信息超载使线性思维不堪负重而钝化，进而不能认识到事物的本来面目。因此，大家不宜过分提倡网络给人们思维方面带来的种种好处。
如果说研究性学习就是线性与非线性思维方式的体现，那么，大家还是多一点“深入”的研究比较好，而非“蜻蜓点水”的学习。如何调控这两种思维方式和谐发展即元认知，是一个"仁者见仁智者见智"的问题。
[编辑本段]【与线性思维的区别】
思维方式无非是线性与非线性两种。线性思维方式有助于深入思考，探究到事物的本质。非线性思维方式有助于拓展思路，看到事物的普遍联系。非线性思维是为了更好地进行线性思维即深入了解事物的本质。线性思维方式是目的，而非线性思维方式是手段。
从思维上讲，非线性思维使用的是人的右半脑，从层次上讲，非线性思维更多的是在人的潜意识里完成的。潜意识的活动更接近客观事物，更真实，更接近道。
用AmericanHeritageDictionary上的解释：of,relating,orresemblingaline;straight，或者，havingonlyonedimension。线性思维，是一种直线的、单向的、单维的、缺乏变化的思维方式，非线性思维则是相互连接的，非平面、立体化、无中心、无边缘的网状结构，类似人的大脑神经和血管组织。线性思维如传统的写作和阅读，受稿纸和书本的空间影响，必须以时空和逻辑顺序进行。非线性思维则如电脑的RAM （RandomAccessMemory），突破时间和逻辑的线性轨道，随意跳跃生发，又如HTML提供超越时空限制的网状连接路径。尽管如此，非线性至今仍然没有一个科学的定义，甚至与科学不沾边。
[编辑本段]【解读中国股市】
解读当今中国股市需要非线性思维。在传统的线性思维模式中，从实体经济到虚拟经济的作用机理是相当确定的，而且是单向反馈。但是，其局限性在于把影响股市运行的因素主要归结为宏观经济，忽视了其他因素，尤其是制度的影响。
中国的故事行情随着经济的全球化，股市的波动并不仅仅反映一国宏观经济的变化,这导致指数变化与经济运行的关系趋向松散，甚至背离。从线性思维的角度，经济波动“应该”预警股市变化。但是，无论是对成熟市场还是对新兴市场的考察，股市与商业周期波动均无法严格对应起来。即便在市场经济发达的美国，过去70多年宏观经济运行的1/3时间和股市波动是背离的。而对新兴市场，尤其是转型经济的考察则更不符合线性思维的一致性。中国的经验也佐证了这一点，从2000年以来，中国股市与宏观经济波动之间的关系表现出了有限度的相关。
当然，这并非要否认线性思维方式的价值。相反，在相当时期内线性思维仍将是股市理论分析中较为基本的方式。这里有两点需要说明：首先，基于股市行为进行宏观经济行为预测的期望并不一定可靠；其次，线性思维也许更适合长波段的实证分析，而非线性思维方式可能更适合短时段的实证分析。在此，必须重点关注偶然性因素的影响。
对于中国股市来说，2006年仍将继续面临大部分周期性行业景气的回落，进而带来上市公司整体业绩下滑的压力，但由于“消费和服务”类行业景气将保持平稳上升，基础设施类行业景气出现分化，“十一五”规划重点扶持的部分行业景气将逐步好转，同时，中国股市在证券公司综合治理、提高上市公司质量、发展机构投资者等方面也取得了较大的进展，所以估值和制度这两个“非经济性因素”将可能逐渐超越业绩下滑的压力，成为影响市场趋势的因素。同时一些重大的“偶然”事件行将发生，如以3G和数字电视为核心的科技革命、新老划断等，在稍显乐观的投资情绪中，成长型公司的估值泡沫与价值型公司的估值修正可能会同时并存。股权分置改革，不仅解决了国内证券市场的制度性和结构性问题，还使得众多上市公司在平均30%左右对价折扣下，股价经过自然除权大幅度下降，目前新综指平均市盈率，沪市约为16倍，深市约为17倍，符合国际通行的10倍至20倍左右的PE标准，与周边成熟股市已基本接轨，股市泡沫大部分被挤掉，市场系统风险降低。而随着股改步伐继续加快，市场平均股价、市盈率、市净率还有继续下调要求，股市投资价值日益凸现，构成了对流动性过剩的市场资金，以及实体经济过剩资金的吸引效应。
中国的故事行情
此外，人民币长期升值趋势的存在，进一步加剧了投资和投机资金进入股市的可能性，加之股改G股复牌当日不计入指数，造成目前沪综指约25%的水份，即沪综指接近1300点时，实际仅相当于1000点左右。当占市值60至70%股改基本完成，全流通发行平稳着陆，市场适应了新《公司法》、《证券法》、《会计准则》的施行，以及财税改革、所得税率和其他税率的调整逐步到位，不确定因素将趋于明朗。在中国经济发展过程内生性和股票市场循环波动趋势内生性趋强的条件下，股权分置改革又提升了A股的估值，而汇率形成机制又趋于市场化的综合作用下，人民币计价资产价值的重估，以及人民币汇率调整对股市中长期走势构成支持作用，其力度将可能远大于经济增长对证券市场的影响。
中国储蓄率高达46%，居民储蓄存款14.8万亿，企业存款超10万亿，在如此宽松的资金环境和利益驱动下，可能汇集成境内外强大资金流，流向资金“洼地”的A股市场，并在银行股、地产股、资源、能源和有市场优势的大盘权重指标股带领下，A股市场也许正在步入投资上升周期，并可能以全新的面貌迎来新一轮牛市。与此同时，全球资本也已经进入流动性严重过剩的“货币泡沫”时代，据传当前国际游资大约有7万亿美元之巨，这些巨额资本为了追求利润，在全球流动并伺机寻找投资或投机套利的机会，其对实体经济或虚拟经济的冲击规模和力度，已经远远超过了20世纪80年代中后期日本和台湾的本币升值时期。因此，对人民币升值节奏和幅度的把握和对国际金融市场游资的有效监控，就成为中国证券市场健康稳健发展必须面对的主题，非线性思维也许能有效地引导人们深化对近期市场发展趋势的认识。
[编辑本段]【相关科学研究】
非线性科学有很复杂的数学公式和高深的研究方法，然而简单地说，非线性是一种更加接近自然、接近实际的思维和研究方式。
“从数学角度讲就是，运动方程是一个线性微分方程还是非线性微分方程，二者的区别是线性系统在数学上很容易得解，非线性系统没有一般的解，问题都比较复杂，有很多就需要近似解。数学上线性方法主要用‘加减法’，非线性方法是‘乘法’，复杂程度加大了。”科学用数学语言解释线性和非线性。线性是一个理想状态，线性研究也是一种理想模非线性思维型，而非线性则是智能现象，它更加接近自然，现实中有很多系统都是非线性的，但线性是非线性研究的基础。非线性似乎很难理解，实际上是思维方式的长期影响，有些问题只要深入想想就会发现不符合传统的情况。比如，牛顿力学就是线性力学，牛顿定律F=ma将物体的质量集中于一点，仅考虑这一个点，但实际上物体的各个部分都会产生影响，非线性研究就是要把整个物体的相互作用都考虑进去。
真实的情况中很多因素都是难以预测的，要把现实描述得更好、越来越精确，人类的研究就必须向非线性靠近。线性可以解决问题，但也有很多问题不能解决，还是要用非线性理论，这是一种科学的进步。全球变暖是大家现在十分关注的问题，但究竟是怎样变暖不是一个简单的事情，整个地球是很复杂的非线性系统，不是单纯地由几个因素决定的，实际上绝不会是现在排放多少百分比的二氧化碳将来温度就会增加多少，要运用非线性的方法将许多因素考虑进来，从而更加逼近于实际问题。
非线性现象是爱因斯坦希望但却未能解决的问题之一，“它妙就妙在不能够预测，相互作用会产生许多新的东西。非线性系统即使开始能完全计算出来，但只要初始条件发生一个很小的不准确的变化，随着时间的推移效果就会很快放大。比如，气候是变化莫测的，正是由于在气候预报中不可能所有因素都能知道，结果肯定是有误差的，所以重要的是怎么把误差矫正到一定范围内以保证尽量准确。非线性研究对每一个问题都在用不同的近似方法来做，说白了就是要变不同的‘戏法’”。非线性思维
非线性波动力学和流体力学是张欣比较熟悉的研究领域，非线性波动力学和流体力学研究很多问题，从很小的表面波到海啸时几百米的长波，从太阳周围气体的运动到水波和地形相互作用等等都有，而在地球物理、海洋以及太空等方面的应用比较广泛。非线性波动和流体力学研究对航海、气象预测以及自然灾害预警上有很大的价值。比如，对航海很有影响的海面上很陡的波的成因研究将使科学家知道如何保证商业运输以及海军船只的快慢平稳；目前气象台的波浪预告中非线性研究的使用已经很多，比较弱的非线性因素都已经被考虑进来；同时，利用遥感测风速时并不是直接测量空气流动，而是测量海表面小波的程度，由于风直接产生浪，因此先测定有关浪的一些微小的因素从而算得风速。非线性方法可以帮助解释海啸从大洋到地形较浅区域时的能量集中和发展过程，从而对地震引起的海啸什么时候到哪里、有多大进行预告。

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书名：免疫的非线性模型

作者：漆安慎

出版社：上海科技教育出版社

出版年份：1998-12

页数：175

内容简介：

近来，理论免疫学迅速发展。在这一领域，主要的理论工具是非线性模型.本书简单介绍了免疫的基本知识和有关的非线性数学。本书对许多有趣的免疫学问题，例如独特型网络调节、细胞免疫和体液免疫、免疫细胞受体库、免疫记忆、免疫耐受以及免疫监视抗癌等均应用非线性数学模型进行了讨论。

③ 非线性中蝴蝶效应是什么

蝴蝶效应（Butterfly Effect）是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌现象。

美国气象学家爱德华·罗伦兹（Edward Lorenz）1963年在一篇提交纽约科学院的论文中分析了这个效应。“一个气象学家提及，如果这个理论被证明正确，一个海鸥扇动翅膀足以永远改变天气变化。”在以后的演讲和论文中他用了更加有诗意的蝴蝶。对于这个效应最常见的阐述是：“一个蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。”

这句话的来源，是由于这位气象学家制作了一个电脑程序，可以模拟气候的变化，并用图像来表示。最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅，因而他形象的将这一图形以“蝴蝶扇动翅膀”的方式进行阐释，于是便有了上述的说法。

蝴蝶效应通常用于天气，股票市场等在一定时段难于预测的比较复杂的系统中。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。

蝴蝶效应在社会学界用来说明：一个坏的微小的机制，如果不加以及时地引导、调节，会给社会带来非常大的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”；一个好的微小的机制，只要正确指引，经过一段时间的努力，将会产生轰动效应，或称为“革命”。

蝴蝶效应在混沌学中也常出现。又被称作非线性。

【详述】
蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。其大意为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。

蝴蝶效应是混沌学理论中的一个概念。它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象。输入端微小的差别会迅速放大到输出端。蝴蝶效应在经济生活中比比皆是：中国宣布发射导弹，港台100亿美元流向美国。“蝴蝶效应”也可称“台球效应”，它是“混沌性系统”对初值极为敏感的形象化术语，也是非线性系统在一定条件（可称为“临界性条件”或“阈值条件”）出现混沌现象的直接原因。

一、蝴蝶效应的由来
蝴蝶效应来源于美国气象学家洛仑兹20世纪60年代初的发现。在《混沌学传奇》与《分形论——奇异性探索》等书中皆有这样的描述：“1961年冬季的一天，洛仑兹（E·Lorenz）在皇家麦克比型计算机上进行关于天气预报的计算。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。为了考察一个很长的序列，他走了一条捷径，没有令计算机从头运行，而是从中途开始。他把上次的输出直接打入作为计算的初值，然后他穿过大厅下楼，去喝咖啡。一小时后，他回来时发生了出乎意料的事，他发现天气变化同上一次的模式迅速偏离，在短时间内，相似性完全消失了。进一步的计算表明，输入的细微差异可能很快成为输出的巨大差别。计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6～10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。这种现象被称为对初始条件的敏感依赖性。在气象预报中，称为‘蝴蝶效应’。……”“洛仑兹最初使用的是海鸥效应。”“洛仑兹1979年12月29日在华盛顿的美国科学促进会的演讲：‘可预言性：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？’”

④ 非线性科学理论简介

一、耗散结构理论^{［1～2，21～22］}

耗散结构理论是以比利时化学物理学家普利高津（Prigogine）为首的布鲁塞尔学派经过长达20年的研究提出的一种广义热力学理论，并在多个领域得到广泛应用。

耗散结构理论是在深入分析自然界中的两对矛盾和时间不可逆性的基础上产生的。两对矛盾是指牛顿力学与热力学之间的矛盾以及热力学“退化论”与达尔文的“进化论”之间的矛盾。在牛顿经典力学中，时间是可逆的，事物按某一既定规律发展演化，从现在可以完全推知将来，也可从现在推演过去。牛顿力学所描述的图像是一幅静止的、不变的物理图像。热力学虽然描述的是一个演化的、变动的物理图像，时间是不可逆的，但他认为事物的演化总是朝着平衡态方向，即朝着均匀、单一、简单的方向演化，即有序向无序演化，这实质上是一种退化。达尔文的“进化论”则讨论了与热力学完全不同的另一类演化，其演化方是朝着复杂、非平衡进行的，是一种“进化”，当然时间更是不可逆的。对于同一世界会出现这几种互不相容的演化图像，普利高津（Prigogine）等人的研究结果表明，其关键在于系统本身的性质和系统所处的状态不同。系统有孤立系统、封闭系统和开放系统之分。孤立系统是指与外界既无物质交换又无能量交换的系统；封闭系统是指与外界仅有能量交换而无物质交换的系统；开放系统则与外界既存在着物质交换又存在着能量交换。系统性质的不同，决定了其热力学第二定律的表达式也不同。对于不同性质的系统，系统熵变的表达式分别为：

孤立系统：

ds≥0 （1-19）

封闭系统：

非线性岩土力学基础

开放系统：

ds=d_es+d_is （1-21）

式（1-19）～（1-21）中，ds为系统的熵变；Q为热量；T为温度。d_es是由于系统与外界交换物质和能量而引起的熵变，称为熵交换，d_es可正、可负或为零。d_is是系统内部各种可逆过程产生的熵，称为熵产生。因为熵只能产生不能消灭，所以熵产生具有非负性。式（1-21）表明，在开放系统中，若d_es＜0，同时｜d_es｜＞d_is，则有：

ds=d_es+d_is＜0 （1-22）

式（1-22）与式（1-19）所表达的熵增加原理完全相反。也即若在开放系统中，由于与外界进行物质和能量交换而产生了负熵流d_es，并大于系统内自发过程引起的熵产生时，整个系统的熵向减小的方向发展，于是系统便可能产生与孤立系统完全相反的演化图像，由无序向有序演化，产生耗散结构。

系统开放仅是系统“进化”的必要条件，并不是充要条件。开放系统是否能产生有序结构，还与系统所处的演化状态有关。系统按状态可分为平衡态和非平衡态。平衡态是指在没有外界影响下，系统内部各部分长时间不发生任何变化的状态。在非平衡态中还经常用到非平衡定态的概念，但平衡态与非平衡定态有着本质的区别，平衡态不存在任何流和梯度，而非平衡定态存在着稳恒的流和梯度，即通常所说的动态平衡。

在耗散结构理论中，与热力学的熵增加原理相对应，有一个最小熵产生原理。其内容为：只要在非平衡线性区，在稳恒的外界条件下，系统定态的局域熵产生一定比非定态的小。一个耗散结构的形成和维持至少需要以下条件：

1）系统必须是开放系统，孤立系统和封闭系统都不可能产生耗散结构，只有开放系统才有可能引入负熵流，也才具备产生耗散结构的必要条件。

2）系统必须处于远离平衡的非线性区，在平衡态或近平衡态，大量的实验和理论研究都证明其不可能发生质的突变从无序走向有序，也不可能从一种有序走向新的更高级的有序。

3）系统中必须有非线性动力学过程，如正负反馈机制等。这种非线性相互作用，能够使系统内的各要素之间产生协调动作和相干效应，从而使系统从杂乱无章变为井然有序。例如，岩土体系统中各要素相互作用仅仅是线性的，那么无论它们怎样组合，只有量的增减，而不可能有质的变化，也就不会有斜坡失稳，地震和火山的爆发。

4）涨落现象。涨落既可以来自系统内部，也可以来自于外界环境。在系统发生相变时涨落起着重大作用。处在临界点处的系统，原来的定态解失稳，但系统不会自动离开定态解，必须有涨落才能使系统偏离定态解。涨落是系统从原来的均匀定态形成耗散结构的最初驱动力。

正是满足了以上条件，系统的发展过程可以发生突变，通过能量的耗散和系统内非线性动力学机制来形成和维持与过去结构完全不同的宏观时空有序结构。

二、协同学^{［1～2，24］}

协同学是德国理论物理学家哈肯（Haken）于1971年创立的，它是从动力学的角度研究从无序到有序结构演变的规律性。协同学的突出贡献是：发现了在分支点附近慢变量支配快变量的普遍原理并给予了动力学表述，该原理使人们对自组织的形成机制有了更深刻的认识。

协同学研究系统在外参量的驱动下和在子系统之间的相互作用下，以自组织的方式在宏观尺度上形成空间、时间或功能有序结构的条件、特点及其演化规律。协同系统的状态由一组状态参量描述，这些状态参量随时间变化的快慢程度各不相同。当系统逐渐接近于发生显着质变的临界点时，变化慢的状态参量的数目将会越来越少，有时甚至只有一个或少数几个。这些为数不多的慢变化参量完全确定了系统的宏观行为，可表征系统的有序化程度，称为序参量。协同学的主要内容就是用序参量演化方程研究系统的各种非平衡定态和不稳定性。

协同学提出了两个重要原理——伺服原理和最大信息熵原理，伺服原理在低维系统中又称为绝热消去原理。

伺服原理的基本思想是：虽快变量数目众多，但它们对相变的过程和结局不起多大作用；慢变量虽数目较少，但它们决定着演化的进程和结局。因此，可以想办法消掉快变量，用慢变量方程表示系统的演化，这便是绝热消去法，推广到n（n＞2）维则为伺服原理。

最大信息熵原理：任何系统除了受到外界条件约束外，其内部总是具有一定的自由度，这种自由度导致系统内部的各元素处于不同的状态，状态多样性（复杂程度、混乱程度）的定量计量尺度称为熵，系统的熵会争取（或呈现）最大的自由度以实现熵的最大化，因此，系统的总信息在相变点存在极大值。由最大信息熵原理可以从宏观上推断系统从无序走向有序过程中临界点的具体位置。

协同学中求解序参量演化方程的方法主要是解析方法，即用数学解析方法求出序参量的精确的或近似的解析表达式及出现不稳定性的解析判别式。在分析不稳定性时，常常用数学中的分岔理论，在有势存在的特殊情况下也可应用突变理论。协同学也常采用数值方法，尤其是在研究瞬态过程和混沌现象时更是如此。

协同学与耗散结构理论及一般系统论之间存在诸多相通之处，它们之间既有联系又有区别。一般系统论提出了有序性、目的性和系统稳定性的关系，但没有回答形成这种稳定性的具体机制。耗散结构理论则从另一个侧面解决了这个问题，指出非平衡态可成为有序之源。协同学虽然也来源于非平衡态系统有序结构的研究，但它摆脱了经典热力学的限制，进一步明确了系统稳定性和目的性的具体机制。

三、混沌动力学^{［12～17］}

混沌（chaos）一词首先出现在Li和Yorke 1975年发表的论文《周期3则混沌》中^［2］。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，但到目前为止，还没有一个很好的关于混沌的可操作的定义。然而不论哪一种混沌定义，都有一个共同的特点：在参数空间的一定范围内，确定性的非线性系统出现长期行为对初值的敏感依赖性。在混沌运动中，初值非常靠近的两条轨道随着时间的发展会指数分离。这也就是说，对轨道的长期行为不可能作出准确的预测。

对于保守系统，满足不同初始条件的解不会同时趋于同一点集；而对于耗散系统，满足不同初始条件的解可能趋于同一点集，这种点集被称为吸引子。混沌运动的吸引子通常具有非整数维，因而也称为奇怪吸引子。

四、分形理论^［5～11］

分形是美国科学家Mandelbrot在1977年提出来的，他把海岸线、雪花、混沌等貌似杂乱无章，但具有精细结构的图形统称为分形。这里的精细结构主要指的是自相似结构，即它无统一的特征尺度，但在所有尺度上的图像是整体图像的一个缩影，彼此是相似的。分形的主要描述是分数维，即它的容量维数不是整数而是分数。维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中确定一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维，平面看成二维，而把直线或曲线看成一维。

分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

事实上，自然界中的绝大多数分形现象不能严格满足自相似条件，如连绵起伏的山脉轮廓线，曲折蜿蜒的江河，以及材料断裂后展示的断口图像等，它们的自相似是近似的，是统计意义上的自相似。关于统计分形的详细理论可参阅文献［9］。

五、突变理论^{［1～7，12～18，23］}

突变理论是20世纪70年代发展起来的一门数学学科，由法国数学家Thom于1972年正式创立。突变主要是指在事物的发展变化过程中，常常会从一个状态跳跃式地变到另一个状态，或者说经过一段时间缓慢的连续变化之后，在一定的外界条件下，会产生一种不连续的变化。这类突变现象在岩土工程中是普遍存在的，如地震、岩爆、滑坡、崩塌等都是突变现象。

突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一种新的判别突变、跳跃的原则，即在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。Thom指出，发生在三维空间和一维时间四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折叠型突变（Fold Catastrophe）、尖点型突变（Cusp Catastrophe）、燕尾型突变（Swallowtail Catastrophe）、蝴蝶型突变（Butterfly Catastrophe）、双曲型脐点（Hyperbolic Umbilic）、椭圆型脐点（Elliptic Umbilic）和抛物型脐点（Parabolic Umbilic）。在七种突变模型中，最常用的是第二种，即尖点突变模型，如图1-5所示。由图1-5可知，三维空间的坐标分别为控制参数a，b和状态变量x。分叉集的图像在控制参数（a，b）控制的平面上为一个半立方抛物线，即平衡曲面上下两叶折屈边界在系统控制参数（a，b）平面上的投影，也就是平衡曲面到控制参数平面的拓扑映射。因此，分岔点集（a，b）将控制参数平面划分成两个区域，一个在叉形三角区域内，另一个在叉形三角区域外。

根据图1-5可总结出突变模型的主要特点有：

1）多模态，系统中可能出现两个或多个不同的状态，也就是说，系统的位势对于控制参数的某些范围可能有两个或多于两个的极小值；

2）不可达性，在平衡曲面折叠的中间部分，有一个不稳定的平衡位置，系统不可能处于此平衡位置（即不可达）。从微分方程解的角度，不可达对应着不稳定解；

3）突跳，控制参量很小的变化会引起状态变量很大的变化，从而导致系统从一个局部极小值临界点突跳到另一个局部极小值临界点。发生突跳时，势能（或状态）会从一个逐渐消失的局部极小值转移到全局或局部极小值的另一个临界点，这种转移是以突变方式完成的，即势能的变化是不连续的；

4）发散，在临界点附近区域，控制参数初值的微小变化（微扰）可能导致终态的巨大差别，这表明对参数的微小扰动将引起系统物理过程或系统状态本质的变化；

5）滞后，任何一个物理系统不能严格地逆向重复某种变化过程时，就会出现滞后现象。例如，尖点突变并不是在分岔集内发生，而是在分岔集线上发生，从底页跳到顶叶与从顶叶落到底页发生的位置不一样；

6）多径性，状态变量在平衡曲面中处于某一状态，可以通过控制参量变化的不同路径来实现。

图1-5 尖点突变模型

由于突变理论在岩土体系统的非线性理论分析中占有重要地位，下面将详细地进行介绍。

1.梯度系统、突变及其条件

在力学系统中，质量为m的质点的牛顿第二定律可以表示为

非线性岩土力学基础

式中，

表示阻尼项；F表示外力项，若外力有位势V，即

非线性岩土力学基础

则牛顿方程（1-24）可表示为

非线性岩土力学基础

如果系统加速度较小，则方程（1-25）可近似写为

非线性岩土力学基础

它表示阻尼力与外力平衡。方程（1-26）称为梯度系统。

设梯度系统的平衡点为x^*，它满足：

非线性岩土力学基础

因此，平衡点x^*是位势的临界点或驻点，它的稳定性由

在该点的正、负号决定：若

（位势V的极小值点），则平衡点x^*是稳定的，它称为梯度系统的吸引子；若

（位势V的极大值点），则平衡点x^*是不稳定的，它称为梯度系统的排斥子。归纳起来为：

非线性岩土力学基础

吸引子与排斥子的分岔点满足：

非线性岩土力学基础

它是位势的拐点，常是结构不稳定之处。

2.通用扩展和余维数

为了讨论方便，通常位势V（x，μ）取为x的多项式。不失一般性，将满足条件（1-29）的x^*和μ取为（x^*，μ）=（0，0），这里μ为控制参数。

设势函数V（x）在μ=0处具有如下型式：

V（x）=a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵+…（μ=0） （1-30）

设a₃≠0，则在x=0附近，x⁴、x⁵等高阶小项可忽略，而且可以通过变换使a₃=1/3，则式（1-30）可近似写为

非线性岩土力学基础

扩展式（1-31），Thom提出这种扩展的标准形式为

非线性岩土力学基础

μ=0时，式（1-32）退化为式（1-31）。因为由式（1-32）表征的位势V内只含一个控制参数μ，此时称系统的余维数为1。

以此类推，V（x）=

，

，

（μ=0）的通用扩展分别是

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

它们相应的梯度系统的余维数分别是2，3，4。

由式（1-32）、式（1-33）、式（1-34）和式（1-35）构成的梯度系统出现的突变分别称为折叠、尖点、燕尾和蝴蝶突变。下面我们重点说明折叠突变和尖点突变。

3.折叠突变

折叠突变的梯度系统由式（1-32）得到：

非线性岩土力学基础

其位势函数V（x，μ）的图像如图1-6所示，图中黑点代表系统所处的位置。由方程（1-36）可看出，系统在μ＜0时有两个平衡点：

非线性岩土力学基础

图1-6 折叠突变势函数图像

由图1-6（a）可看出，

是位势V的极大值点，是一个排斥子；

是位势V的极小值点，是一个吸引子。方程（1-36）在μ＞0时无平衡点。

系统发生突变时应满足下式，即

非线性岩土力学基础

其解为（x^*，μ）=（0，0）。梯度系统（1-36）的解随μ的变化如图1-7所示。从图1-7可看出，随着μ从负到正，原先在μ＜0 的吸引子（稳定解）在μ=0 处消失，然后随着t→+∞，x→-∞。

事实上，由图1-6也可看出，当控制参数μ由μ＜0变到μ＞0时，原来处于位势极小值处的质点，由于位势极小值的逐步抬高，到达μ=0时，质点已处于位势拐点的位置上，质点必然要突然滑下来，进入t→+∞，x→-∞的状态。

在图1-7中，μ＜0的两个平衡点投影到μ轴上被折叠在一起。

图1-7 折叠突变系统的解随控制参数的变化图

4.尖点突变

尖点突变的梯度系统由式（1-33）得到

非线性岩土力学基础

为了更好地分析式（1-39），我们先分析它的两个特殊情况，后分析其一般情况。

（1）μ₁=常数（取μ₁=0）

此时，式（1-39）化为

非线性岩土力学基础

相应系统的位势函数为

非线性岩土力学基础

其图像如图1-8所示，图中黑点代表系统所处的位置。

非线性岩土力学基础

系统的平衡点可由式（1-40）确定，即

非线性岩土力学基础

μ₂＜0时，

是位势V的极大值点，是一个排斥子；

是位势V的极小值点，是两个位势相等的吸引子。μ₂＞0时，只有一个平衡点

是位势V的极小值点，是吸引子。

发生突变时应满足下式，即

非线性岩土力学基础

其解为（x^*，μ₂）=（0，0）。

系统（1-40）的解随控制参数μ₂的变化如图1-9所示。从图1-9可看出，随着μ₂从负到正，原先在μ₂＜0的两个吸引子（稳定解）在μ₂=0处合并，它表示原来处于位势极小值处的质点，随着位势极小值的逐步抬高，达到μ₂=0时，质点已处于位势的新极小值的位置上。

图1-9 系统（1-40）的解随控制参数μ₂的变化图

（2）μ₂=常数（取μ₂=-3）

系统（1-39）化为：

非线性岩土力学基础

此时系统的位势函数为：

非线性岩土力学基础

其图像如图1-10所示，图中黑点代表系统所处的位置。

系统的平衡点可由方程（1-44）确定，即

x³-3x+μ₁=0 （1-46）

而且平衡点的个数取决于：

非线性岩土力学基础

当｜μ₁｜＞2时，D＞0，位势V只有一个极小值（吸引子，图1-10（a）和（e））；当｜μ₁｜ ＜2时，D＜0，位势V有一个极大值（排斥子，图1-10（c））和两个极小值（吸引子，图1-10（c））。在｜μ₁｜=2处，D=0，会发生突变（图1-10（b）和（d））。

非线性岩土力学基础

根据式（1-45），突变点应满足如下条件：

非线性岩土力学基础

其解为（x^*，

）=（±1，±2）。

系统（1-44）的解随着控制参数μ₁的变化如图1-11所示。从图1-11可看出：若原来质点处于Q′的左边时，位势只有一个极小值，进入Q′点以后到P点以前，位势有一个极大值和两个极小值，但质点仍处在原来极小的位置上，到达P点时，质点原在的极小值位置变成了拐点。只要μ₁稍稍大于2，质点将突变跳到另一个极小值的位置Q。反之，随着参数μ₁由大变小，状态由Q沿QP′线达到P′，质点突变跳到Q′。这就是系统（1-44）所表征的突变现象。而且μ₁由小到大和由大到小的突变发生在不同的位置上，这个现象即为滞后性。

图1-11 系统（1-44）的解随控制参数μ₁的变化图

（3）μ₁和μ₂为变量的情况

对方程（1-33）求导，由

和

确定突变点，即

非线性岩土力学基础

其中第一式也是平衡点的方程。消去x得到

非线性岩土力学基础

图1-12 系统（1-33）的尖点突变

在控制参数平面（μ₂，μ₁）上，

的图像如图1-12所示，它是在（μ₂，μ₁）=（0，0）处形成尖点的两条曲线。正由于此，这种突变称为尖点突变。这两条曲线将参数平面（μ₂，μ₁）分成D＜0（两曲线之间）和D＞0（两曲线之外）的两个区域。在D＜0的区域，位势有两个极小值（吸引子）和一个极大值（排斥子），而在D＞0的区域，位势V只有一个极小值（吸引子）。而在D=0的线上，位势V只有一个极小值和一个拐点，在这里会出现突变现象。

六、协同性与Haken受控原理

在系统的分岔和突变现象分析中，系统的行为受到许多控制参量的影响，随着控制参量的变化，系统呈现多样化的运动，并最终显示有序的特征。Haken认为这是非线性开放系统的各子系统共同协作的结果，称为协同性^［24］。

Haken同时还认为，在这种开放的耗散系统中，由于内部的相互作用，只要用极少数的几个控制参量（称为序参量）即可确定系统的演化。序参量的演变过程用梯度系统及相应的位势描述最为合适，这是开放的非线性耗散系统的普适规律，Haken称它为受控原理，数学上称为中心流形定理。下面举例说明。

对下述非线性系统

非线性岩土力学基础

显然，系统（1-51）只有一个平衡点：

（x^*，y^*）=（0，0） （1-52）

其Jacobi矩阵为

非线性岩土力学基础

矩阵的特征值为

非线性岩土力学基础

因此，平衡点（x^*，y^*）=（0，0）为鞍-结点。对应于s₁=-β的特征向量（满足JX=-βX）为（x=0，y任意）。由式（1-51），令x=0求得：

非线性岩土力学基础

y（t）=y（0）e^-βt（1-56）

所以，（x=0，y任意）为一稳定流形M^*，它以e^-βt的方式趋于平衡点。但对应于s₂=0在平衡点附近的流形就较为复杂了。由式（1-51）有

非线性岩土力学基础

在平衡点附近，应用幂级数解法，令

非线性岩土力学基础

将其代入方程（1-57），并比较系数求得：

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

这就是由s₂=0求得的不变流形，它就是中心流形M^c，如图1-13所示。

图1-13 系统（1-51）的流形

将式（1-60）代入式（1-51）第一式有

非线性岩土力学基础

在x=0附近，上式近似为

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

由此可知，中心流形x（t）以

的方式（相应y（t）以

的方式）趋于平衡点。

综上分析可知，非线性系统稳定流形（x=0）上的点以e^-βt的方式趋于平衡点，而中心流形上的点以

和

的方式趋于平衡点。两者比较即知，式（1-51）第二式是快变量方程，第一式是慢变量方程。这样，经过较短时间

就已很小，可设快变量方程（1-51）第二式中

，求得

非线性岩土力学基础

慢变量方程（1-51）第一式可以写为

非线性岩土力学基础

上式就是确定系统（1-51）演变的控制方程。方程（1-65）是一个梯度系统，其位势为

非线性岩土力学基础

⑤ 求非线性的哲学意义之自我理解

为什么说哲学是非线性发展的呢？
第一、哲学不能像自然科学，以及其他学科那样有一个发展的知识积累过程。自然科学以及其他学科可以有类似某种知识积累的“直线运动” 的存在形式，哲学则不然。它却像是一种“圆圈” 无休止转动，围绕着一些难题永恒无解的争议了二千多年，迄今无一个公认的解答方式。柏拉图的、亚里士多德的、老子的、黑格尔的、马克思的、毛泽东的，古代的和当今的哲学家，每个哲学家的理论都有自己的观念价值，而这种价值并不在于它的知识内容，而在于它提供了不同的解决问题的思维方式和解释世界的概念论。
第二、哲学研究和自然科学研究是有根本性区别的。自然科学研究是对事物实行对象分类研究，是对个性的认识。它主要对具体事物的能量、质量、速度、比重、结构形式、空间关系，及其应用范畴的研究。这些研究是对具体事物的规定性研究，并且是可以反证、可以量化、可以累积的研究。而哲学研究，则是对事物实行对象普遍性研究，是对事物共性的认识。其从认识论上揭示的是对事物的普遍规律的认知，这是一种无需反证、无需量化、无需累积的共性认识。任何一种哲学理论对共性东西的概念化的归纳，是不能代替自然科学对具体对象应用范畴的规定性的归纳。正因为如此，哲学是人类思维自由空间最广大的领域。每个哲学家或哲学追求者，都是可以各说各话，各有各的理念。世上的人都可信仰一种哲理或宗教，并同时可研究几种不同的思想成果。在自然科学昌明的现代，人类仍然对宗教趋之若鹜，当你信仰了某种宗教，你就会投入感情而趋步之。为什么会这样呢？因为人们需要理念化的哲学，而宗教里有颇强的哲理性，或称为“悟”性。而“悟”与“不悟”是无需反证、无需量化，也无需阅历累积的。它可以填充不同社会人群的不同心灵空间。
第三、哲学，几乎无什么知识可言，留给后人的多是理念化的东西或是许许多多争议中的问题。譬如，哲学是研究精神的还是研究物质的，是研究思想方法的还是研究意识形态的，是研究历史的还是研究现实的。人的认识从哪里来、往哪里去，如何认知又如何验证认知，怎样思维又怎样表达思维？还有，什么唯物论、唯心论，本体论、存在论、认识论等等问题，至今各说各的，永无休止的争议，而无法形成一个中心主题。
第四、哲学，至今仍是一个没有中心定义的学术名词，是自由化空间最大的一门学问。哲学是什么？或者问，什么是哲学？中国的主流认识，认为哲学是世界观和方法论。但是，由于全世界的学术界、思想界以及教育界，在“哲学是什么”这个问题上至今未有达成普遍的共识，使得我们无法知道关于哲学的中心定义。如果一个学习或研究哲学的人说他不知道“哲学是什么”，那似乎是可笑的。然而，事实确是如此。圆周线运动形式是哲学领域的基本运动形式。哲学争议了二千多年的问题，不仅迄今为止它仍然是一个问题，而且很可能永远是一个问题。

⑥ 自动控制原理的非线性理论中，负倒描述函数在复坐标面中的曲线具体是如何画出来的

我不太清楚你是想询问什么，不过对于非线性部分，你不要太急，想考哪个学校，取他的历年真题看看非线性部分的题就行了，无怪乎考绘制相平面图或者由奶奎斯特曲线判非线性系统的稳定性。 对于你问的问题我想说：典型非线性类型的描述函数是根据其非线性的图形的分段函数再由其输入信号经傅里叶变换而得到的，过程有点复杂。你想问的是不是在判稳的过程中非线性环节的描述函数图形绘制？考试时一般不会考察特别复杂的非线性环节，基本上就是理想继电特性，或者库伦摩擦加黏性摩擦。要记得其描述函数N(A)表达式，然后取其负倒数并令A=0，A=inf(无穷大)时粗略的绘制出其图形并与线性环节的奶奎斯特曲线做是否相交的分析。 希望对你有所帮助。

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书名：非线性代数方程组与定理机器证明

作者：杨路

出版社：上海科技教育出版社

出版年份：1996-09

页数：203

内容简介：

《非线性代数方程组与定理机器证明》是“非线性科学丛书”中的一种，介绍参系数非线性代数方程组的构造性理论和求解算法。全书计分六章，即：导论，消去法基础。三角型方程组，一般多项式方程组，机器证明的例证法，多项式方程的判别系统。其中有不少内容是作者的研究成果，尤其是5次以上代数方程的判定问题，作者在书中完全解决了这一几个世纪以来悬而未决的经典问题。《非线性代数方程组与定理机器证明》可供理工科大学教师、高年级学生、研究生、博士后阅读，也可供自然科学和工程技术领域中的研究人员参考。

⑧ 什么是非线性理论什么是非相对论性极限

非线性笼统的说就是理论中出现了非线性的微分方程。所谓线性指的是，对于微分方程组f(x,t)=0,x=x1(t)和x=x2(t)都是方程的解，则x=x1+x2也是方程的解。当然这个范围太大了，而且很多看上去非线性的方程等价于做一些变换后的线性方程。实际应用多指的是，最终结果对于初态的依赖不是线性的，有两种典型情况，一种是，最终状态对初态很不敏感，很不同的初态可能会造成差不多的结果（吸引子），另一种正相反，初态的微小扰动造成结果的巨大变化（蝴蝶效应）。
非相对论极限一般来说指的就是速度远小于光速。在量子力学中指的是薛定谔方程可以成立而不用考虑狄拉克方程或克莱因-高登方程，也就是不用考虑过程中粒子的产生湮灭；在统计力学中指的是粒子动能E正比于动量p的平方成立（反之相对论极限下E正比于P）。

⑨ 非线性理论数学基础的图书目录

第1章 空间结构与映射
1.1 映射与势
1.2 距离空间与连续映射
1.3 勒贝格积分与测度
1.4 代数结构
1.5 赋范线性空间与线性算子
1.6 内积空间
1.7 拓扑空间简介
第2章 非线性泛函分析基础
2.1 非线性映射的连续性与有界性
2.2 全连续映射
2.3 抽象函数的积分与非线性映射的微分
2.3.1 抽象函数的积分
2.3.2 非线性映射的微分
2.3.3 非线性算子的泰勒公式
2.4 隐函数定理及应用
2.4.1 隐函数定理
2.4.2 反函数定理
2.4.3 牛顿迭代法
2.5 Banach 空间中常微分方程初值问题
2.5.1 存大唯一性
2.5.2 解的极大存在区间
第3章 变分法
3.1 泛函数极值与极小化序列
3.1.1 极值理论
3.1.2 极小化序列
3.1.3 Ekeland变分原理
3.1.4 应用举例
3.2 最速下降法
第4章 非线性动力系统与分岔
4.1 基本概念
4.2 平衡点的局部性态
4.2.1 平衡点的分类
4.2.2 Hartman定理
4.2.3 中心流形定理
4.3 吸引子
4.4 离散动力系统和庞卡莱（Poincare）映射
4.5 结构稳定性与分岔
4.5.1 结构稳定性
4.5.2 分岔与中心流形方法
4.5.3 几种重要的分岔
4.6 Liapunor-Schmidt约化方法
4.6.1 Liapunor-Schmidt约化的基本步骤
4.6.2 分岔方程导数的计算
第5章 奇异性理论及应用
5.1 奇异性及识别问题
5.1.1 静态分岔的概念
5.1.2 限制切空间
5.1.3 限制切空间的特征化
5.1.4 芽的有限确定性
5.1.5 内蕴理想
5.1.6 识别问题
5.1.7 识别问题的几个例子
5.2 普适开折理论
5.2.1 普适开折的计算
5.2.2 普适开折的计算
5.2.3 普适开折的识别
5.2.4 普适开折的分忿图与保持性
5.3 分类问题
5.3.1 初等分忿的分类
5.3.2 初等分忿的识别
5.4 单变量奇性理论的应用
5.4.1 弹性结构系统
5.4.2 化学反应器系统
第6章 混沌
6.1 什么是混沌
6.2 逻辑斯蒂(Logistic)映射
6.3 单边符号动力系统
6.4 Smale马蹄和双边符号动力系统
6.5 Henon映射
第7章 分形
7.1 Hausdorff测度
7.2 Hausdorff维数和拓扑维数
7.3 盒维数
7.4 相似维数
7.5 分形维数间的关系
7.6 什么是分形
参考文献

⑩ 全球流体活动的非线性

地球内部的活动性主要反映为地内流体的活动性，这种活动性主要服从什么规律呢？对于这个问题已经争论了几百年（例如突变论与渐变论之争）。目前，我们虽然接受了物理学家Kelvin的演化地球观点，但是演化的规律性问题仍然没有解决。

自从海底扩张和板块构造学说广泛传播以来，对流均衡说无形中得到进一步的推广。例如，解释大洋扩张原因的地幔对流说被提了出来，开始是地幔热对流，然后是地幔物质对流，Maruyama又将它推广到全球物质对流上，至于冷而重的物质如何能穿过2500km厚的刚性中幔圈到达地核，却没有任何解释。我们承认消减的大洋板块可插入到流变的软流圈底下直到上下地幔的界面，并诱发深源地震，但不能想象它在上下地幔分界处的“积累块体”可以穿透坚固的中幔层进入地核，而不发生相应的更深源的动力学破坏作用（目前没有这方面的地球物理证据）。

从已有的地球物理的资料看，以下观点是可以接受的：

（1）地球内部流体活动的来源主要是地球内部的热能和动能、势能，尤其是地球外核散发的热能和动能。在流体运动过程中产生化学分异的化学能，及重力势能和地球自转的离心势能也起到重要作用。

（2）以地球外核和软流圈为主要聚集区，地球内部的流体通道像人体的动脉系统一样，是整体连通的，几何形态可能是分形的。但是，这种流体通道网络的空间位置是随时间变化的，从几十亿年的时间尺度上看，随着地球热量散发，地球收缩，流体通道系统也将逐渐萎缩。

对地球内部流体通道为分形网络的推测，主要依据为地表断裂的研究。Barton和Larsen（1985）将内华达雅卡山附近的基岩清洗干净，然后把其中的断裂成图，确定其分维数为1.7左右，这一结果与该区构造图上的断裂系统分维数一致。

此外，地震、火山等活动的几何分布与分形网有许多类似（Korvin,1992），而且地球流体通道网没有明显的特征尺度，都使我们推测后者是分形网络。由于分形是非线性现象的几何表现，因此流体活动应与非线性系统有关。

（3）地球内部流体活动属于开放的非线性系统。关于开放系统的问题似乎不难接受。许多人接受了大气圈中的气体来源于地球内部的假说（如Dott等，1998）。早期地球广泛发育的火山、热泉从地球中带出大量的气体和液体，最后形成大气圈和海洋，这一过程现在还在延续，只不过规模减小而已。直到现在，还没发现大量气体回流入地球内部的证据。此外，地球不断向外散发热量。因此，地球流体系统不是封闭的。

在开放的热动力学系统中，物理化学平衡的保持必须依靠持续的外力供给（Hao,1984）。目前还没有发现可维持地核液体活动平衡的外力，因此固体地球总体演化是不可逆的和不均衡的，不必把地幔质量均衡作为先决条件，来推断“冷羽柱”的存在。当然。我们也注意到，刚性的中幔圈对液体地核有相当的屏蔽作用而造成一种准封闭的边界，因此外核中含有较长期的对流发育，造成能量及物质成分的相对均衡。类似地，在冷硬的岩石圈下的软流圈处于半封闭状态.可维持时间较短的对流与局部的均衡。但是，对于巨厚的中幔层躯干，全球性的对流和物质流动是不可设想的。

地球内流体活动的非线性具体表现在间歇、相变、分岔、伪周期等不规则运动上。这些问题需要另拟文讨论，本文仅举少许例子。

火山爆发是间歇（intermittency）的典型例子。地磁极倒转是典型的分叉（bifurcation）。由于地磁场是由地球外核中的导电液体运动产生的，地磁极倒转的分叉反映的是外核中液体运动的非线性规律，它可以近似表示为二次的映射方程。根据浑沌理论预测，如果液体运动的控制参数改变，则地磁场方向将进一步分叉，最后导致浑沌，这也许是随地球热量散失、外核逐渐减薄到极限状态时，将会发生的情况。

相变在地核液体上涌的同时发生，铁镁硅酸盐等高熔点的物质将首先凝结为固相，碱金属的硅酸盐及金属硫化物岩浆将进一步上涌.在相变发生过程中挥发分将分异出来。相变是一种突变，一旦相变发生，动力学系统的边界条件将发生改变而造成失稳，从而诱发间歇和分叉。

地质现象伪周期性（Quasiperiodicity），是自然界令人迷惑不解的问题之一。全球生物灭绝和岩浆活动是否存在一个大约26～30Ma的周期（Shaw,1981;Kalia,1982）？造山旋回是不是周期性发生？地震活动是否存在周期性的旋回？全球海平面变化的周期是多少？这些问题都与非线性理论中的伪周期性有关。

伪周期性指是貌似重复发生但在时空上都具有不确定性的现象，地质术语“旋回”在某种意义上等效于伪周期性，它是介于周期性与浑沌之间的一个概念。对于像地球这样具有多层次多要素的复杂系统来说，各种层次和要素之间的相互作用和耦合的结果，其演化轨道必然不是简单的周期性所能表述的，伪周期性必然存在。我们注意到，浑沌理论中的相空间展开和演化轨道追踪技术是研究地球系统伪周期性的一种重要途径。尤其值得注意的是演化轨道中不断收缩的伪周期轨道（吸引子）的研究，将使我们较精细地理解地质演化的本质和地质旋回的含义。