概率与测度pdf

Ⅰ 风险中性概率测度与鞅测度怎么理解

鞅是随机过程的一种，它的显着特点是未来的期望等于现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。测度是满足一定条件的取值为非负的集函数，两个测度等价是指这两个函数具有相同的支撑，支撑是指使函数值大于零的定义域。
等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测试和原来随机过程伴随的测试等价。转化成鞅后，可是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的价格，如期权，而不用解偏微分方程了。

Ⅱ 非数学专业需要自学测度论吗

是不需要。非数学专业不需要自学测度论，除非涉及到了相关的知识点，也可以通过视频教学完成

Ⅲ 测度与测度空间

集函数 ：顾名思义，集合的函数，定义域是由集合构成的集合，值域是R。
集函数是有限的 ：如果对每个A∈集类，|u(A)|<∞，则称u是有限的。
集函数是σ有限的 ：σ的意思是可列。如果每个A∈集类，存在集合序列{A_{n}}，使A=∪A_{n}，且对每个n，都有u(A_{n})<∞，则称u是σ有限的。
u是有限可加的 ：如果对任意A、B∈集类，A与B的交集为空集，都有u(A+B)=u(A)+u(B)。通俗理解，测量两个桌子的长度，将两张桌子并排一起量与分开测量两张桌子，然后将测量结果相加，这两种测量方式得到的结果是一样的。不能说，两张桌子一起量，与单独测量每张桌子长度，然后相加得到的长度是不一样的。也就是说，单独测量求和=整体测量。
u是σ可列可加的 ：对集类中的任意集合序列{A_{n}}，并且两两互不相交，并且ΣA_{i}也属于这个集类，则u(ΣA_{i})=Σu(A_{i})。

测度 ：如果集类上的集函数u满足以下条件，则称u为测度。
（1）u(空集)=0
（2）u是非负的，即对集类中的每个A，都有u(A)大于等于0
（3）u是可列可加的。
概率测度 ：如果测度满足u(全集)=1，则称测度u为概率测度。
概率空间 ：全集，全集上的σ域，这个全集σ域上的测度，则这三个元素构成测度空间。当P是概率测度时，全集，全集上的σ域，P构成概率空间。

半域和域上的测度 ：即定义在半域或者域上的测度，换句话说，这个测度的定义域是半域或者域。

命题：若u是域上的非负、有限可加集函数，则有以下性质：
（1） 集函数u是单调的 ，即A是B的子集，（相当于A小，B大），则u(A)小于等于u(B)。
（2） u是半可加的 ：若A是∪A_{i}的子集，必有u(A)小于等于Σu(A_{i})。

Ⅳ 测度与概率的介绍

本书论述测度论和以测度为基础的概率论的基本知识和方法，包括集及其势、距离空间、测度与概率、可测函数与随机变量、积分与数学期望、乘积测度与独立、Radon-Nikodym定理与条件期望、概率极限理论等。本书的特点是读者不必学习实变函数论而学习测度论；测度论与概率论的基本内容紧密结合而更有利于理解二者的关系及其实质；在本书的基本目标下，尽可能使内容现代化；本书文字通畅、条理清楚、论述严谨、便于学习；每节后都配有较多的不同要求的习题，以便加深对内容的理解和掌握。本书可以作为有关专业的高年级学生或研究生的测度论（或实变函数论） 、概率论或两者的教材或参考书，也可供有关教师和科技工作者参考。

Ⅳ 测度论与概率，高悬赏

D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)+2aCov(X,Y)

若相关系数=-1，a>0;
Cov(X,Y)=-根号D(X)D(Y)
D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)-2a根号(D(X)D(Y))=(a根号D(X)-根号D(Y))²

又
Y=n-aX
D(Y)=D(n-aX)=a²D(X)
a根号D(X)=根号D(Y)

所以D(aX+Y)=0

于是aX+Y方差为 0
aX+Y 100%等于一个常数
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若相关系数=1，a<0;
Cov(X,Y)=-根号D(X)D(Y)
D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)+2a根号(D(X)D(Y))=(-a根号D(X)+根号D(Y))² （a<0,a²开根号=-a）
因为a根号D(X)=根号D(Y)

D(aX+Y)=0

于是aX+Y 方差为0
aX+Y 100%等于一个常数

Ⅵ 随机信号分析

概率，条件概率，独立性，分布函数，随机变量，随机变量的函数，统计平均，特征函数。

概率没啥可说的。

条件概率就是在给定信息下的概率，信息会导致概率的变化。明天下大雨的概率和已知明天下雨，下大雨的概率显然是不同的。

独立性就是事件的无关性，可以进行概率乘积，还可以引申到条件独立性，在一定条件下，事件是无关的。独立性可以解耦，使问题简化。

分布函数就是随机变量取不同值的概率，反映了一种直观地取值的比重。df和pdf也是经常用到的。pdf就是概率密度函数，对于连续型随机变量是很好用的表示方法，可以轻松得知某一个取值的可能性是大还是小。

随机变量就是对事件集的一种表示，使用高概的定义，就是一个可测函数，可测函数总能表示为一个测度，所以也算是事件集的第二个测度随机变量测度，第一个就是概率测度，他们相结合进行积分就可以获得随机变量的均值。

统计平均就是均值，或者数学期望，也就是对概率测度的积分。对于离散型，就是随机变量值乘上对应概率值的求和。可以通过矩来表示，一阶原点矩就是均值，二阶中心矩就是方差。中心矩就是相对于均值的差。

特征函数就是考虑了傅里叶变换的随机变量表示，将概率密度函数转变为傅里叶基的形式，给出了新的频谱。之所以使用概率密度函数，是由于傅里叶积分的收敛条件，需要平方可积，概率密度函数总可以满足，而且，这让我想起了量子力学中的概率描述，坐标和动量表象，也是使用了傅里叶变换。特征函数有很好的性质，一个是独立的随机变量和的特征函数，等于分别的特征函数的积。是一个变化的结构保持性质。f(a+b)=f(a)f(b)，也可以视为加群到乘群的同态。还有就是随机变量各阶原点矩可以通过对特征函数求各阶导数获得，大大简化了运算。而且，由于微分和矩的关系，所以，特征函数的泰勒展开就是随机变量按各阶矩展开，这就将随机变量和它的各阶矩联系起来了。

随机信号，分类，随机过程的统计特征，随机序列的统计特征

随机信号就是随时间变化的随机变量，可以视为一族随机变量的集合，每一个时刻都有一个随机变量，时间就是这一族随机变量的索引，可以类比函数族，一个参数索引的函数族f_t(x)，也就是二元函数f(x,t)，可以通过范畴论中的指数结构表达，一个二元函数可以视为参数索引的一元函数族。

分类，按照参数参数的性质，分为连续时间的和离散时间的，通常称为随机过程和随机序列。按照随机变量的性质，也可分为连续型和离散型，组合起来就有其中类型了。最一般的情况就是连续型随机过程。还有一种分类就是考虑到了特殊的性质，包括平稳随机过程，高斯过程，白噪声，独立增量过程，独立随机过程，马尔科夫过程。这些在后面才会进行解释。其实，本质就是一种联系性，如果所有时刻的随机变量毫无关联，那就是最一般的情况，很难处理，但现实是他们是有关联的，所以可以进行简化，得到独有的性质。

统计特征，一种描述方式是分布函数和密度函数，对每一个时刻而言，随机过程都只是一个随机变量，自然可以得到它的分布函数和密度函数，多取几个时刻，就可以视为维度的增加，就有对应的联合分布和联合密度，但是，我们都知道时间是连续的，所以每一个时间区间都有无数个不同的时刻，对应的就是无穷维分布函数，这就过于复杂了，所以这种描述方法只限于有限的几个时刻的局部性质，很难用来描述整体特征。

所以，就使用了另外的描述方式，数字特征，也就是均值，方差，相关系数。均值和方差的定义与一维随机变量差不多，不过，现在它是一个随时间变化的函数。毕竟每一个时刻都是一个一维随机变量。

相关系数则发生了很多变化。相关系数是用来描述两个不同的随机变量的联系的，关键在于随机过程中，这个不同有很多种产生方式，一个是同一随机过程，不同的时刻，这就是自相关函数，一个是不同随机过程，不同的时刻，这就是互相关函数。而根据采用的权值的不同，比如一个是原点矩，一个是中心矩。又需要细分，对于同一随机过程而言，使用原点矩就简称为自相关函数，而使用中心矩就称为协方差函数或者中心化自相关函数。

关于协方差，他也是定义相关系数不可缺少的部分，毕竟相关系数就是协方差除上两分布的方差的平方根，方差的平方根也称为标准差。

对于不同随机过程而言，使用原点矩就简称为互相关函数，而使用中心矩就称为互协方差函数或者中心化互相关函数。也就是一字之差。

然后是独立性的推广，在随机过程中，有好几种不同的独立性。

一个是统计独立，指的是两个随机过程，当视为两族随机变量时，是彼此独立的，也就是任意相同或者不同时刻，两随机过程对应的两个随机变量是独立的，具体表现为联合分布的可乘性，直接推论是互相关函数是两个随机变量均值的乘积，并且互协方差函数为零，也就是相关性为零。

一个是不相关，指互协方差函数为零。这里涉及的仅仅是一阶矩关系，而分布函数涉及各阶矩关系，所以相关性比独立性要弱。独立必然不相关，不相关却未必独立。

还有一个是正交，指互相关函数为零。这里的正交更像是内积所定义几何性质，熟悉泛函分析中希尔伯特空间理论的人应该对比不陌生，R_XY(t1,t2)=E(X(t1),Y(t2))就像一种内积，接受两个随机变量，给出一个数。两族随机变量间内积为零，就是正交。

最后是随机过程的特征函数，这个和一维随机变量是一致的，同样可以通过特征函数方便的求得各阶矩，特殊的，对于同一随机过程在不同时刻所构成的二维随机变量的特征函数，可以求得自相关函数。

随机序列的数字特征，随机序列就是对随机过程的离散取样，所以，可以使用向量和矩阵的语言来描述，就像泛函分析中的函数空间和序列空间一样，对应的可以定义均值向量，自相关矩阵，协方差矩阵。这两个矩阵都满足对称性，半正定性，也是意料之中，毕竟是可交换的，自然就是对称的，半正定还不太明白，虽然从公式上可以推得，但缺乏直观事实。

Ⅶ 概率论中随机变量（离散和连续）的pmf和pdf是如何推导出来的呢

需要根据具体情况推导，不同的概率分布，原因是其随机变量实际上是受到某种因素影响而出现的，所以必须知道其影响因素本身，然后再考虑随机的因素才有实际的分布函数。没有一个包打天下的方法。离散型的数值主要是排列组合的方式推导，连续的则更为复杂。

质量函数，分为概率质量函数和初始质量函数。

在概率论中，概率质量函数 (Probability Mass Function，PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率。概率质量函数和概率密度函数不同之处在于：概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率。

注意这在所有实数上，包括那些X不可能等于的实数值上，都定义了 fX(x)。在那些X不可能等于的实数值上， fX(x)取值为0 ( x ∈ RS，取Pr(X = x) 为0)。

离散随机变量概率质量函数的不连续性决定了其累积分布函数也不连续。

假设X是抛硬币的结果，反面取值为0，正面取值为1。则在状态空间{0, 1}(这是一个Bernoulli随机变量)中，X = x的概率是0.5，所以概率质量函数是：

Ⅷ 测度论与概率论基础 怎么样

第一章 可测空间和可测映射
1 集合及其运算2 集合系3 *域的生成
4 可测映射和可测函数
5 可测函数的运算习题1 第二章 测度空间
1 测度的定义及性质
2 外测度3 测度的扩张
4 测度空间的完全化
5 可测函数的收敛性
习题2第三章 积分 1 积分的定义2 积分的性质
3 空间Lp（X，**）
4 概率空间的积分习题3第四章 符号测度 1 符号测度
2 Hahn分解和Jordan分解
3 Radon-Nikodym定理
4 Lebesgue分解
5 条件期望和条件概率
习题4第五章 乘积空间 1 有限维乘积空间
2 多维Lebesgue-Stieltjes测度
3 可列维乘积空间的概率测度
4 任意无穷维乘积空间的概率测度
习题5
第六章 独立随机变量序列
1 零一律和三级数定理
2 强大数律3 特征函数4 弱大数律5 中心极限定理习题6

Ⅸ 求《测度论与概率论基础》 程士宏编着 北京大学出版社出版 前三章课后习题答案

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