粒子群算法pdf

① 粒子群算法

粒子群算法（Particle Swarm Optimization），又称鸟群觅食算法，是由数学家J. Kennedy和R. C. Eberhart等开发出的一种新的进化算法。它是从随机解开始触发，通过迭代寻找出其中的最优解。本算法主要是通过适应度来评价解的分数，比传统的遗传算法更加的简单，它没有传统遗传算法中的“交叉”和“变异”等操作，它主要是追随当前搜索到的最优值来寻找到全局最优值。这种算法实现容易，精度高，收敛快等特点被广泛运用在各个问题中。

粒子群算法是模拟鸟群觅食的所建立起来的一种智能算法，一开始所有的鸟都不知道食物在哪里，它们通过找到离食物最近的鸟的周围，再去寻找食物，这样不断的追踪，大量的鸟都堆积在食物附近这样找到食物的几率就大大增加了。粒子群就是这样一种模拟鸟群觅食的过程，粒子群把鸟看成一个个粒子，它们拥有两个属性——位置和速度，然后根据自己的这两个属性共享到整个集群中，其他粒子改变飞行方向去找到最近的区域，然后整个集群都聚集在最优解附近，最后最终找到最优解。

算法中我们需要的数据结构，我们需要一个值来存储每个粒子搜索到的最优解，用一个值来存储整个群体在一次迭代中搜索到的最优解，这样我们的粒子速度和位置的更新公式如下：

其中pbest是每个粒子搜索到的最优解，gbest是整个群体在一次迭代中搜索到的最优解，v[i]是代表第i个粒子的速度，w代表惯性系数是一个超参数，rang()表示的是在0到1的随机数。Present[i]代表第i个粒子当前的位置。我们通过上面的公式不停的迭代粒子群的状态，最终得到全局最优解

② 粒子群算法

粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）是计算智能领域中的一种生物启发式方法，属于群体智能优化算法的一种，常见的群体智能优化算法主要有如下几类：

除了上述几种常见的群体智能算法以外，还有一些并不是广泛应用的群体智能算法，比如萤火虫算法、布谷鸟算法、蝙蝠算法以及磷虾群算法等等。

而其中的粒子群优化算法（PSO）源于对鸟类捕食行为的研究，鸟类捕食时，找到食物最简单有限的策略就是搜寻当前距离食物最近的鸟的周围。

设想这样一个场景：一群鸟在随机的搜索食物。在这个区域里只有一块食物，所有的鸟都不知道食物在哪。但是它们知道自己当前的位置距离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么？最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。

Step1:确定一个粒子的运动状态是利用位置和速度两个参数描述的，因此初始化的也是这两个参数；
Step2:每次搜寻的结果（函数值）即为粒子适应度，然后记录每个粒子的个体历史最优位置和群体的历史最优位置；
Step3:个体历史最优位置和群体的历史最优位置相当于产生了两个力，结合粒子本身的惯性共同影响粒子的运动状态，由此来更新粒子的位置和速度。

位置和速度的初始化即在位置和速度限制内随机生成一个N x d 的矩阵，而对于速度则不用考虑约束，一般直接在0~1内随机生成一个50x1的数据矩阵。

此处的位置约束也可以理解为位置限制，而速度限制是保证粒子步长不超限制的，一般设置速度限制为[-1,1]。

粒子群的另一个特点就是记录每个个体的历史最优和种群的历史最优，因此而二者对应的最优位置和最优值也需要初始化。其中每个个体的历史最优位置可以先初始化为当前位置,而种群的历史最优位置则可初始化为原点。对于最优值，如果求最大值则初始化为负无穷，相反地初始化为正无穷。

每次搜寻都需要将当前的适应度和最优解同历史的记录值进行对比，如果超过历史最优值，则更新个体和种群的历史最优位置和最优解。

速度和位置更新是粒子群算法的核心，其原理表达式和更新方式：

每次更新完速度和位置都需要考虑速度和位置的限制，需要将其限制在规定范围内，此处仅举出一个常规方法，即将超约束的数据约束到边界（当位置或者速度超出初始化限制时，将其拉回靠近的边界处）。当然，你不用担心他会停住不动，因为每个粒子还有惯性和其他两个参数的影响。

粒子群算法求平方和函数最小值，由于没有特意指定函数自变量量纲，不进行数据归一化。

③ 粒子群算法（一）：粒子群算法概述

  本系列文章主要针对粒子群算法进行介绍和运用，并给出粒子群算法的经典案例，从而进一步加深对粒子群算法的了解与运用（预计在一周内完成本系列文章）。主要包括四个部分：

  粒子群算法也称粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO），属于群体智能优化算法，是近年来发展起来的一种新的进化算法（Evolutionary Algorithm, EA）。 群体智能优化算法主要模拟了昆虫、兽群、鸟群和鱼群的群集行为，这些群体按照一种合作的方式寻找食物，群体中的每个成员通过学习它自身的经验和其他成员的经验来不断地改变搜索的方向。 群体智能优化算法的突出特点就是利用了种群的群体智慧进行协同搜索，从而在解空间内找到最优解。
  PSO 算法和模拟退火算法相比，也是 从随机解出发，通过迭代寻找最优解 。它是通过适应度来评价解的品质，但比遗传算法规则更为简单，没有遗传算法的“交叉”和“变异”，它通过追随当前搜索到的最大适应度来寻找全局最优。这种算法以其 容易实现、精度高、收敛快 等优点引起了学术界的重视，并在解决实际问题中展示了其优越性。

  在粒子群算法中，每个优化问题的解被看作搜索空间的一只鸟，即“粒子”。算法开始时首先生成初始解，即在可行解空间中随机初始化 粒子组成的种群 ，其中每个粒子所处的位置 ，都表示问题的一个解，并依据目标函数计算搜索新解。在每次迭代时，粒子将跟踪两个“极值”来更新自己， 一个是粒子本身搜索到的最好解 ，另一个是整个种群目前搜索到的最优解 。 此外每个粒子都有一个速度 ，当两个最优解都找到后，每个粒子根据如下迭代式更新：

  其中参数 称为是 PSO 的 惯性权重(inertia weight) ，它的取值介于[0,1]区间；参数 和 称为是 学习因子(learn factor) ；而 和 为介于[0,1]之间的随机概率值。
  实践证明没有绝对最优的参数，针对不同的问题选取合适的参数才能获得更好的收敛速度和鲁棒性，一般情况下 , 取 1.4961 ，而 采用 自适应的取值方法 ，即一开始令 ， 使得 PSO 全局优化能力较强 ；随着迭代的深入，递减至 ， 从而使得PSO具有较强的局部优化能力 。

  参数 之所以被称之为惯性权重，是因为 实际 反映了粒子过去的运动状态对当前行为的影响，就像是我们物理中提到的惯性。 如果 ，从前的运动状态很少能影响当前的行为，粒子的速度会很快的改变；相反， 较大，虽然会有很大的搜索空间，但是粒子很难改变其运动方向，很难向较优位置收敛，由于算法速度的因素，在实际运用中很少这样设置。也就是说， 较高的 设置促进全局搜索，较低的 设置促进快速的局部搜索。

④ 粒子群优化算法

         粒子群算法 的思想源于对鸟/鱼群捕食行为的研究，模拟鸟集群飞行觅食的行为，鸟之间通过集体的协作使群体达到最优目的，是一种基于Swarm Intelligence的优化方法。它没有遗传算法的“交叉”(Crossover) 和“变异”(Mutation) 操作，它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优。粒子群算法与其他现代优化方法相比的一个明显特色就是所 需要调整的参数很少、简单易行 ，收敛速度快，已成为现代优化方法领域研究的热点。

         设想这样一个场景：一群鸟在随机搜索食物。已知在这块区域里只有一块食物；所有的鸟都不知道食物在哪里；但它们能感受到当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么呢？

        1. 搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域

        2. 根据自己飞行的经验判断食物的所在。

        PSO正是从这种模型中得到了启发，PSO的基础是 信息的社会共享

        每个寻优的问题解都被想象成一只鸟，称为“粒子”。所有粒子都在一个D维空间进行搜索。

        所有的粒子都由一个fitness function 确定适应值以判断目前的位置好坏。

        每一个粒子必须赋予记忆功能，能记住所搜寻到的最佳位置。

        每一个粒子还有一个速度以决定飞行的距离和方向。这个速度根据它本身的飞行经验以及同伴的飞行经验进行动态调整。

        粒子速度更新公式包含三部分： 第一部分为“惯性部分”，即对粒子先前速度的记忆；第二部分为“自我认知”部分，可理解为粒子i当前位置与自己最好位置之间的距离；第三部分为“社会经验”部分，表示粒子间的信息共享与合作，可理解为粒子i当前位置与群体最好位置之间的距离。

        第1步   在初始化范围内，对粒子群进行随机初始化，包括随机位置和速度

        第2步   根据fitness function，计算每个粒子的适应值

        第3步   对每个粒子，将其当前适应值与其个体历史最佳位置（pbest）对应的适应值作比较，如果当前的适应值更高，则用当前位置更新粒子个体的历史最优位置pbest

        第4步   对每个粒子，将其当前适应值与全局最佳位置（gbest）对应的适应值作比较，如果当前的适应值更高，则用当前位置更新粒子群体的历史最优位置gbest

        第5步   更新粒子的速度和位置

        第6步   若未达到终止条件，则转第2步

        【通常算法达到最大迭代次数或者最佳适应度值得增量小于某个给定的阈值时算法停止】

粒子群算法流程图如下：

以Ras函数（Rastrigin's Function）为目标函数，求其在x1,x2∈[-5,5]上的最小值。这个函数对模拟退火、进化计算等算法具有很强的欺骗性，因为它有非常多的局部最小值点和局部最大值点，很容易使算法陷入局部最优，而不能得到全局最优解。如下图所示，该函数只在(0,0)处存在全局最小值0。

⑤ 粒子群算法的算法介绍

如前所述，PSO模拟鸟群的捕食行为。设想这样一个场景：一群鸟在随机搜索食物。在这个区域里只有一块食物。所有的鸟都不知道食物在那里。但是他们知道当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么呢。最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。
PSO从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟。我们称之为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitness value)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。
PSO 初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己。第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解叫做个体极值pBest。另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值gBest。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。 在找到这两个最优值时，粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置：
v[] = w * v[] + c1 * rand() * (pbest[] - present[]) + c2 * rand() * (gbest[] - present[]) (a)
present[] = present[] + v[] (b)
v[] 是粒子的速度, w是惯性权重,present[] 是当前粒子的位置. pbest[] and gbest[] 如前定义 rand () 是介于（0， 1）之间的随机数. c1, c2 是学习因子. 通常 c1 = c2 = 2.
程序的伪代码如下
For each particle
____Initialize particle
END
Do
____For each particle
________Calculate fitness value
________If the fitness value is better than the best fitness value (pBest) in history
____________set current value as the new pBest
____End
____Choose the particle with the best fitness value of all the particles as the gBest
____For each particle
________Calculate particle velocity according equation (a)
________Update particle position according equation (b)
____End
While maximum iterations or minimum error criteria is not attained
在每一维粒子的速度都会被限制在一个最大速度Vmax，如果某一维更新后的速度超过用户设定的Vmax，那么这一维的速度就被限定为Vmax

⑥ 优化算法笔记（五）粒子群算法（3）

(已合并本篇内容至粒子群算法（1）)

上一节中，我们看到小鸟们聚集到一个较小的范围内后，不会再继续集中。这是怎么回事呢？
猜测：
1.与最大速度限制有关，权重w只是方便动态修改maxV。
2.与C1和C2有关，这两个权重限制了鸟儿的搜索行为。
还是上一节的实验， 。现在我们将maxV的值有5修改为50，即maxV=50，其他参数不变。参数如下

此时得到的最优位值的适应度函数值为0.25571,可以看出与maxV=5相比，结果差了很多而且小鸟们聚集的范围更大了。
现在我们设置maxV=1，再次重复上面的实验，实验结果如下：

这次最终的适应度函数值为，比之前的结果都要好0.00273。从图中我们可以看出，小鸟们在向一个点集中，但是他们飞行的速度比之前慢多了，如果问题更复杂，可能无法等到它们聚集到一个点，迭代就结束了。
为什么maxV会影响鸟群的搜索结果呢？
我们依然以maxV=50为例，不过这次为了看的更加清晰，我们的鸟群只有2只鸟，同时将帧数放慢5倍以便观察。

思路一：限制鸟的最大飞行速率,由于惯性系数W的存在，使得控制最大速率和控制惯性系数的效果是等价的，取其一即可。
方案1：使惯性系数随着迭代次数增加而降低，这里使用的是线性下降的方式，即在第1次迭代，惯性系数W=1,最后一次迭代时，惯性系数W=0，当然，也可以根据自己的意愿取其他值。
实验参数如下：

小鸟们的飞行过程如上图，可以看到效果很好，最后甚至都聚集到了一个点。再看看最终的适应度函数值8.61666413451519E-17，这已经是一个相当精确的值了，说明这是一个可行的方案，但是由于其最后种群过于集中，有陷入局部最优的风险。
方案2：给每只鸟一个随机的惯性系数，那么鸟的飞行轨迹也将不再像之前会出现周期性。每只鸟的惯性系数W为（0,2）中的随机数（保持W的期望为1）。
实验参数如下：

可以看到小鸟们并没有像上一个实验一样聚集于一个点，而是仍在一个较大的范围内进行搜索。其最终的适应度函数为0.01176，比最初的0.25571稍有提升，但并不显着。什么原因造成了这种情况呢？我想可能是由于惯性系数成了期望为1的随机数，那么小鸟的飞行轨迹的期望可能仍然是绕着一个四边形循环，只不过这个四边形相比之前的平行四边形更加复杂，所以其结果也稍有提升，当然对于概率算法，得到这样的结果可能仅仅是因为运气不好
我们看到惯性系数W值减小，小鸟们聚拢到一处的速度明显提升，那么，如果我们去掉惯性系数这个参数会怎么样呢。
方案3：取出惯性系数，即取W=0，小鸟们只向着那两个最优位置飞行。

可以看见鸟群们迅速聚集到了一个点，再看看得到的结果，最终的适应度函数值为2.9086886073362966E-30，明显优于之前的所有操作。
那么问题来了，为什么粒子群算法需要一个惯性速度，它的作用是什么呢？其实很明显，当鸟群迅速集中到了一个点之后它们就丧失了全局的搜索能力，所有的鸟会迅速向着全局最优点飞去，如果当前的全局最优解是一个局部最优点，那么鸟群将会陷入局部最优。所以，惯性系数和惯性速度的作用是给鸟群提供跳出局部最优的可能性，获得这个跳出局部最优能力的代价是它们的收敛速度减慢，且局部的搜索能力较弱（与当前的惯性速度有关）。
为了平衡局部搜索能力和跳出局部最优能力，我们可以人为的干预一下惯性系数W的大小，结合方案1和方案2，我们可以使每只鸟的惯性系数以一个随机周期，周期性下降，若小于0，则重置为初始值。

这样结合了方案1和方案2的惯性系数，也能得到不错的效果，大家可以自己一试。

思路二：改变小鸟们向群体最优飞行和向历史最优飞行的权重。
方案4：让小鸟向全局最优飞行的系数C2线性递减。

小鸟们的飞行过程与之前好像没什么变化，我甚至怀疑我做了假实验。看看最终结果，0.7267249621552874，这是到目前为止的最差结果。看来这不是一个好方案，让全局学习因子C2递减，势必会降低算法的收敛效率，而惯性系数还是那么大，小鸟们依然会围绕历史最优位置打转，毕竟这两个最优位置是有一定关联的。所以让C1线性递减的实验也不必做了，其效果应该与方案4相差不大。
看来只要是惯性系数不变怎么修改C1和C2都不会有太过明显的效果。为什么实验都是参数递减，却没有参数递增的实验呢？
1.惯性系数W必须递减，因为它会影响鸟群的搜索范围。
2.如果C1和C2递增，那么小鸟的惯性速度V势必会跟着递增，这与W递增会产生相同的效果。

上面我们通过一些实验及理论分析了粒子群算法的特点及其参数的作用。粒子群作为优化算法中模型最简单的算法，通过修改这几个简单的参数也能够改变算法的优化性能可以说是一个非常优秀的算法。
上述实验中，我们仅分析了单个参数对算法的影响，实际使用时（创新、发明、写论文时）也会同时动态改变多个参数，甚至是参数之间产生关联。
实验中，为了展现实验效果，maxV取值较大，一般取值为搜索空间范围的10%-20%，按上面（-100,100）的范围maxV应该取值为20-40，在此基础上，方案1、方案2效果应该会更好。
粒子群算法是一种概率算法，所以并不能使用一次实验结果来判断算法的性能，我们需要进行多次实验，然后看看这些实验的效果最终来判断，结果必须使用多次实验的统计数据来说明，一般我们都会重复实验30-50次，为了发论文去做实验的小伙伴们不要偷懒哦。
粒子群算法的学习目前告一段落，如果有什么新的发现，后面继续更新哦！
以下指标纯属个人yy,仅供参考

目录
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⑦ 粒子群算法原理

粒子群算悉银法原理如下：

粒子群优化（Particle Swarm Optimization,PSO)算法是1995年由美国学者Kennedy等人提出的，该算法是模拟鸟类觅食等群体智能行为的智能优化算法。在自然界中，鸟群在觅食的时候，一般存在个体和群体协同的行为。

每个粒子都旦薯会向两个值学习，一个值是个体的历史最优值 ;另一个值是群体的历史最优值（全局最优值） 。粒子会根据这两个值来调整自身的速度和位置，而每个位置的优劣都是根据适应度值来确定的。适应度函数是优化的目标函数。