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伽罗瓦理论pdf

发布时间:2024-10-24 11:44:22

⑴ 如何求这个五次方程的根式解

求解五次方程的根式解:探索分圆多项式与伽罗瓦理论


在数学的领域中,五次方程的求解并非简单,但通过巧妙地运用分圆多项式和伽罗瓦理论,我们可以找到其根式解的线索。首先,关键在于理解原方程的对称性与三角函数的关联,这将揭示其潜在的解构。


通过Watson遗作Watson Lecture.pdfhttps://...),我们了解到一个关键步骤是将方程转化为十一分圆多项式的形式,因为这种转换往往暗示着三角函数的表达式。MMA(Mathematica)中的TrigToRadicals函数是实现这一转换的工具,尽管输出可能较长,但它是求解的基石。


如果你的方程中包含三角函数项,那么可能的根形式为:Subscript[x, i] =... 这些根可以通过运行特定的MMA代码(https://...https://...)来计算,其中的代码1-1和1-2是基础。


值得注意的是,五次方程的根往往涉及极小多项式,记为Subscript[[Beta], i] =...,验证这个多项式在代码1-4中。一旦有了这些,我们可以通过计算对称线性组合来得到五次方程的根,如代码1-5所示:



对于复数域,我们可以利用Magma计算器(http://magma.maths.usyd.e.au/calc/)来验证五次方程的伽罗瓦群是否为可解群,从而确保根式解的存在。此外,十一次单位根和其表达式(https://...https://...)也是解题过程中不可或缺的部分。


尽管MMA的代码冗长,但它揭示了这些方程背后的数学结构。务必记住,每个步骤都需要精确执行,特别是代码1-1到1-6,因为它们生成了构建五次方程根式解的核心元素。


在深入研究时,还要注意一些误解和错误,如PENG大佬关于十一次分圆多项式和十七次单位根的论述,以及Leonhard Euler着作中的某些内容。要确保准确引用和理解相关文献,如Robert E. Bradley和Ed Sandifer的着作,以及与Kronecker-Weber理论相关的PENG Bo的贡献。


最后,完整的参考文献列表并未在文中提供,但对于进一步的研究和深入学习是不可或缺的。通过这些线索,你可以探索这个复杂但富有洞察力的数学世界,一步步逼近五次方程的根式解。

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