伽罗瓦理论pdf

⑴ 如何求这个五次方程的根式解

求解五次方程的根式解：探索分圆多项式与伽罗瓦理论

在数学的领域中，五次方程的求解并非简单，但通过巧妙地运用分圆多项式和伽罗瓦理论，我们可以找到其根式解的线索。首先，关键在于理解原方程的对称性与三角函数的关联，这将揭示其潜在的解构。

通过Watson遗作Watson Lecture.pdf（https://...），我们了解到一个关键步骤是将方程转化为十一分圆多项式的形式，因为这种转换往往暗示着三角函数的表达式。MMA（Mathematica）中的TrigToRadicals函数是实现这一转换的工具，尽管输出可能较长，但它是求解的基石。

如果你的方程中包含三角函数项，那么可能的根形式为：Subscript[x, i] =... 这些根可以通过运行特定的MMA代码（https://... 和 https://...）来计算，其中的代码1-1和1-2是基础。

值得注意的是，五次方程的根往往涉及极小多项式，记为Subscript[[Beta], i] =...，验证这个多项式在代码1-4中。一旦有了这些，我们可以通过计算对称线性组合来得到五次方程的根，如代码1-5所示：

• Subscript[y, 1] = (Subscript[[Beta], 1] Subscript[[Epsilon], 2] - Subscript[[Beta], 2] Subscript[[Epsilon], 1] - Subscript[[Beta], 3] Subscript[[Epsilon], 4] + Subscript[[Beta], 4] Subscript[[Epsilon], 3] + I Sqrt[11])/(5 I);...


• Subscript[[Eta], i] 的表达式同样涉及复杂的三角函数，具体形式在代码1-1和1-4中计算得出。

对于复数域，我们可以利用Magma计算器（http://magma.maths.usyd.e.au/calc/）来验证五次方程的伽罗瓦群是否为可解群，从而确保根式解的存在。此外，十一次单位根和其表达式（https://... 和 https://...）也是解题过程中不可或缺的部分。

尽管MMA的代码冗长，但它揭示了这些方程背后的数学结构。务必记住，每个步骤都需要精确执行，特别是代码1-1到1-6，因为它们生成了构建五次方程根式解的核心元素。

在深入研究时，还要注意一些误解和错误，如PENG大佬关于十一次分圆多项式和十七次单位根的论述，以及Leonhard Euler着作中的某些内容。要确保准确引用和理解相关文献，如Robert E. Bradley和Ed Sandifer的着作，以及与Kronecker-Weber理论相关的PENG Bo的贡献。

最后，完整的参考文献列表并未在文中提供，但对于进一步的研究和深入学习是不可或缺的。通过这些线索，你可以探索这个复杂但富有洞察力的数学世界，一步步逼近五次方程的根式解。