庞加莱猜想pdf

1. 庞加莱猜想是什么

有什么具体的应用，我并不清楚。所谓有助于人们对流形的认识，实在算不上什么具体的应用。但Poincare猜想是十分基本的一个命题，的确是可以看出来的。

不学一点拓扑学的话，可能对Poincare猜想是什么都不大明白。
首先必须指出，上面引用的网络的条目，把Poincare猜想的内容叙述都写错了。“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面”，这是错的（这是不懂数学的人抄三联周刊的一篇文章，改动时抄错），甚至前面一句也不对；我找到的比较严格的叙述是，任一单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面，这个猜想后被推广为每个单连通的闭的 n 维流形，如果具有n维球面S^n的贝蒂数和挠系数，它就同胚于S^n。非3维的情形很早已经证明，其实主要是3维的情形。

Poincare讲的是三维流形的分类问题。
三维流形并没有现实直观的几何例子，比如上面说的三维球面（注意并不是三维的实心球体）至少要在四维空间中才能画出来。

为了直观地类比，可以考虑二维的情形。直观一点就是说，一张连通一片的、没有洞的皮，总能鼓成一个皮球，而且只能鼓成皮球一种形状。这张连通无洞的皮就是一个二维单连通闭流形（直观上的图形总是可定向的，我们忽略不可定向的情况）。无洞就是说不能像一个轮胎，也不能像一个有孔可以吹的气球。说它能鼓成皮球，就是说这张皮是方的也好，长的也好，都可以连续地形变为球面。二维的情形实际上是拓扑学中一个比较经典的定理，即闭曲面分类定理的一种分类。可以看出，这个定理说的是一件很基本的事情，就是满足最简单性质的一个曲面的形状只有一种，就是球面。

增加一维，三维的情形就是Poincare猜想。把二维的皮换成三维的“皮”，把二维的球面换成三维的球“面”，就是Poincare猜想。可以看出它也是很基本的，因为它说的是最简单的低维图形的分类问题。

Poincare猜想研究的是低维的图形（它可以在四维空间画出来）。现代物理学中经常遇到这样的空间，所以说Poincare猜想有助于物理学的认识的深入，应该是肯定的。

2. 庞加莱猜想是什么

在1904年发表的一组论文中，庞加莱提出以下猜想：
任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。

3. 介绍一下庞加莱猜想

庞加莱猜想
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为

了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家

的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞

加莱猜想，就是其中的一个。

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭

的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己

已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。

20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特黑德（Whitehead）对这

个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是，

在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。

50年代到60年代之间，又有一些着名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，着名的宾（R.Bing）、哈肯（

Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是

1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。

在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了着名的

“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经

为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得

毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一

个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位

数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐

忍不言。

这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓

扑学这门学科。

一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究

的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。

1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解

决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸

和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自

己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立时引起轰动。

10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freed man）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基

础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。

拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中

之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。

然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。

人们在期待一个新的工具的出现。

“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了

。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。

可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？

工具有了

里乍得·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多

年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜

。

1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这

种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福

大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我

说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于

是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”

Ricci流，以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何

结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐

立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中，就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹

怀东。

第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间，几乎所有的媒体都

在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大

多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然

也是大隐隐于市的模样。

1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过

来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时

，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多

非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施

皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深

思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？

在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它

们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993

年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那

一刻，就要到来了。

4. 庞加莱猜想是什么

庞加莱在一篇论文中提出了拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。后被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”

5. 庞加莱猜想的陈述

1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：
“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

6. 世界千年七大难题之一的“庞加莱猜想”是什么

庞加莱猜想 令人头疼的世纪难题： 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。 如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象： 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。 我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。现在拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。 好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。 我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点； 另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。 看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。

7. 什么是庞加莱猜想

法国人庞加莱（HenriPoincaré）被称为“最后一位数学全才”，在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。

庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。

8. “庞加莱猜想”是什么

庞加莱猜想就是：任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭线条都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
这是法国数学家庞加莱于1904年提出的猜想。
这还是中国的科学家在美国，俄罗斯等国的科学家研究的基础上破解出的呢！

9. 怎么证明庞加莱猜想

言：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利�6�1庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：

我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。

我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。现在拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。

好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。

我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；

另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。

为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。

看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。

艰难的证明之路
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2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一，这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全问题， 霍奇猜想（Hodge）， 黎曼假设（Riemann），杨－米尔斯理论（Yang-Mills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。

提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。

一、早期的证明
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20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。

30年代到60年代之间，又有一些着名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，着名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。

帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了着名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰�6�1米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”

然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。

10. 什么是庞加莱猜想

庞加莱猜想（Poincaré conjecture）是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。

庞加莱猜想中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

(10)庞加莱猜想pdf扩展阅读：

20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。但是失之东隅、收之桑榆，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，这些特例被称为怀特海流形。

30年代到60年代之间，又有一些着名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，着名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。