压缩感知观测矩阵

1. 压缩感知高斯测量矩阵不能精确重构怎么办

观测矩阵的设计是压缩感知的关键部分,
针对随机高斯观测矩阵进行研究分析。
针对观测矩阵的设计原则,
对观测矩阵的不同部分设计不同的权值,
并且运用奇异值分解方法

2. 压缩感知的展望

非线性测量的压缩感知。讲压缩感知解决的线性逆问题推广到非线性函数参数的求解问题。广义的讲，非线性测量的压缩感知，可以包括以前的测量矩阵不确定性问题，量化误差问题，广义线性模型问题，有损压缩样本问题。
压缩感知在矩阵分解中的推广应用。主成分分析，表示字典学习，非负矩阵分解，多维度向量估计，低秩或高秩矩阵恢复问题。
确定性测量矩阵的设计问题。 随机矩阵在实用上存在难点。随机矩阵满足的RIP是充分非必要条件。在实际中，稀疏表示矩阵和随机矩阵相乘的结果才是决定稀疏恢复性能字典。
传统压缩感知是以稀疏结构为先验信息来进行信号恢复。当前最新进展显示数据中存在的其他的简单代数结果也作为先验信息进行信号估计。联合开发这些信号先验信息，将进一步提高压缩感知的性能。

3. 如何在压缩感知中正确使用阈值迭代算法

如何在压缩感知中正确使用阈值迭代算法？ 测量[2]。重构算法是依据对信号的测量和问题的稀疏性重构原始信号的技术。上述过程可以描述为 如下数学模型：设s ∈ RN 为原始信号，该信号在某组基{ψi }N 下具有稀疏表示s = Ψx，其中Ψ = i=1 [ψ1 , ψ2 , . . . , ψN ]， = [x1 , x2 , . . . , xN ] ；给定测量矩阵Θ ∈ RM ×N ， Θ可得到信号s的观测值y， x 由 即 y = Θs = ΘΨx 其中Φ = ΘΨ ∈ RM ×N 称为传感矩阵， 为采样数；则从观测数据y来恢复未知的稀疏向量x， M 进而恢 复原始信号s的问题可建模为下述L0 问题: x∈RN min x 0 s.t. y = Φx (1.1) 这里 x 0 为x的非零分量的个数。显然L0 问题是一个组合优化问题（NP难问题[11]） 通常将其转化到 ， 一个稀疏优化问题求解： x∈RN min S(x) s.t. y = Φx (1.2) 这里S(x)是x的某个稀疏度量[16]，例如对给定的q ∈ (0, 1]，取S(x) = x q ，其中 x q 是x的q?准范 q 数。L0 问题（1.1）和稀疏优化问题(1.2)通常都纳入如下的正则化框架来加以研究： x∈RN min Cλ (x) y ? Φx 2 + P (x; λ) (1.3) 其中λ > 0为正则化参数， (x; λ)为罚函数。 P 不同的罚函数对应不同的压缩感知模型， 例如， (x; λ) = P 1/2 λ x 0 对应L0 问题； (x; λ) = λ x 1 对应L1 问题[8]， (x; λ) = λ x 1/2 对应L1/2 问题[9]， P P 等等。正则化 框架提供了压缩感知研究的一般模型。通常，我们要求罚函数P (x; λ)具有某些特别性质，例如，我们 假设： (i) 非负性： (x; λ) P 0, ?x ∈ RN ； c}有界； 0； (ii) 有界性：对任何正常数c， 集合{x : P (x; λ) (iii) 可分性： (x; λ) = P N i=1 λp(xi )， p(xi ) 且 (iv) 原点奇异性： (x; λ)在x = 0处不可导， P 但在其它点处处可导。 本文目的是：从正则化框架（1.3）出发，研究并回答以下有关压缩感知应用的四个基本问题：如 何从给定的罚函数导出压缩感知问题的阈值表示？如何根据阈值表示设计阈值迭代算法并建立其收 敛性理论？ 如何应用阈值迭代算法到压缩感知问题？ 如何针对不同特征的压缩传感问题选择不同形式 的阈值迭代算法？所获结论期望为压缩感知中如何正确使用阈值迭代算法提供理论依据。 2 阈值迭代算法与压缩传感 本节讨论前三个问题。作为预备， 我们首先简要介绍阈值函数与阈值迭代算法。 2.1 阈值函数 高效、 快速、 高精度的重构算法是压缩感知广泛应用的前提。 阈值迭代算法 Thresholding Iterative （ Algorithms）正是这样一类十分理想的压缩感知重构算法，它因迭代简单、可单分量处理、能有效 2 中国科学 第 40 卷 第 1 期 用于大规模高维问题而得到普遍推崇。Blumensath等[14]提出了求解近似L0 问题的Hard阈值迭代算 法， Daubechies等[15]提出了求解L1 问题的Soft阈值迭代算法， 徐宗本等[9, 10, 16]提出了求解L1/2 问题 的Half和Chalf阈值迭代算法。

4. 如何理解压缩感知

压缩感知的几个看似稀松平常，但是很关键的理论基础如下： 压缩感知最初提出时，是针对稀疏信号x，给出观测模型y=Φ*x时，要有怎么样的Φ，通过什么样的方式可以从y中恢复出x。（PS：稀疏信号，是指在这个信号x中非零元素的个数远小于其中零元素的个数。） 然而，很多信号本身并非稀疏的，比如图像信号。此时可以通过正交变换Ψ’，将信号投影到另外一个空间，而在这个空间中，信号a=Ψ'*x(analysis model)变得稀疏了。然后我们可以由模型y=Φ*a，即y=Φ*Ψ'*x，来恢复原始信号x。 后来，人们发现不仅仅能够通过正交变换，得到稀疏的信号；还可以通过一个字典D，得到稀疏信号x=D*a(synthesis model)，a是稀疏的，为了增强变换后信号的稀疏性，通常D是过完备的。即模型y=Φ*x=Φ*D*a，此时记A^{CS}=Φ*D，即为感知矩阵。这个模型，是我们现在最常用的。

5. 压缩感知理论中，投影矩阵是指观测矩阵还是指稀疏化表示矩阵

应该是观测矩阵

6. 压缩感知和矩阵分解的异同

UbiComp 不是机器学习的会议。没经过严格证明的就不能说他俩是等价的，虽然长得有点像。
压缩感知是个很大的toppic，你问的这个我更愿意称之为 sparse coding。强行问两样东西的异同没啥意义，因为是两个不同的东西。
1. 矩阵填充的目标函数原本是

但是由于有 rank 的约束这个问题不是凸的，于是用 trace norm 来代替，但是还是不好算，于是用 以及 来代替trace norm。
矩阵分解也是个很大的topic，分解之后形成的矩阵有可能有特殊某些意义。
2. spase coding 是为了从数据中学一组过完备的基来稀疏表示原先的样本。一般要求基 的第i列 。 它的目标是稀疏表示。
所以矩阵分解和sparse coding的目标并不一样，是两个不同的东西，彼此联系很少。

7. 通过压缩感知后数字信号乘以观测矩阵后用什么调制方式

我个人觉得，数字信号处理和数字图像处理是针对具体的应用领域做基础知识学习。而你说的压缩感知是一种高于具体应用领域的智能算法，压缩感知可以用于数字信号方面，同样也可以应用与数字图像处理。确切的说数字信号处理包含了数字图像处理，只是数字图像处理后来发展了跟多深入的知识，所以又把其独立成一门课程。比如Mallat的《信号处理的小波导引:稀疏方法(原书第3版)》这本书上的内容，就大部分说的应用时数字图像。
总之，数字信号处理、数字图像处理肯定是要学的，否则你学了压缩感知也不知道用在什么领域，要具体学习压缩感知方面的知识，再去看看IEEE里的一些论文还有一些博士论文。