不等式整数解压轴题

㈠ 高考数学压轴题不等式方法技巧总结

楼上这位说的很好。基础才是王道，从问题中可以看出你的成绩是很好的，至少在数学这方面是很好的。
作为一个过来人，我还是要告诉你
不要太去纠结最后一题。就算你现在搞懂这个题的方法，他高考的时候不一定就考你这个题。
所以你还是把重点放在基础上和你的错题上。
纯手打
望采纳

㈡ 高中数学对数函数与不等式专题压轴题

由题意，即有0<真数<1 恒成立
故 0<(2x^2+2kx+k)/(3x^2+6x+4)<1
因为3x^2+6x+4=3(x+1)^2+1>0, 所以得到以下2个不等式：
1）2x^2+2kx+k>0 ，得判别式<0,即4k^2-8k<0,得：0<k<2
2）2x^2+2kx+k<3x^2+6x+4, 得：x^2+2(3-k)x+4-k>0恒成立，即判别式<0,得：4(3-k)^2-4(4-k)<0,
解得： (5-√5)/2<k<(5+√5)/2

综合1），2）得k的取值范围是：
(5-√5)/2<k<2

㈢ 有关高中不等式的例题

例4 解答题

(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．
分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．
解：

∴ 120-8x≥84-3(4x+1)

(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．
例5 解关于x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．
解：(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．

即(n-m)x＞n2-m2
当m＞n时，n-m＜0，∴x＜n+m；
当m＜n时，n-m＞0，∴x＞n+m；
当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．
例6 解关于x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．
解：去括号，得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移项，得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合并同类项，得
(a+3)x≥3-3a

(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
这个不等式无解．
说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．
例7 m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．
分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m

已知方程的解是非正数，所以

例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．
分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非负数，所以

(2)已知方程的解是负数，所以

例9 当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：
(1)是负数 (2)大于-4
(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．
解：(1)根据题意，应求不等式
-3x+5＜0的解集
解这个不等式，得

(2)根据题意，应求不等式
-3x+5＞-4的解集
解这个不等式，得
x＜3
所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．
(3)根据题意，应求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以当x取大于2的值时，-3x+5的值小于-2x+3．
(4)根据题意，应求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以当x取大于或等于2的值时，-3x+5的值不大于4x-9．
例10

分析：

解不等式，求出x的范围．
解：

说明：应用不等式知识解决数学问题时，要弄清题意，分析问题中数量之间的关系，正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”，“至少小2”，表示不仅少2，而且还可以少得比2更多．
例11 三个连续正整数的和不大于17，求这三个数．
分析：

解：设三个连续正整数为n-1，n，n+1
根据题意，列不等式，得
n-1+n+n+1≤17

所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2，它的非负整数解是0、1、2．
例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内，现要求热水温度不超过40℃，如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃，问通电最多多少分钟，水温才适宜？
分析：设通电最多x分钟，水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃，这时水温是(18.4+0.9x)℃，根据题意，应列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通电最多24分，水温才适宜．
说明：解答此类问题时，对那些不确定的条件一定要充分考虑，并“翻译”成数学式子，以免得出失去实际意义或不全面的结论．
例13 矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？
解：设引火线长为x厘米，

根据题意，列不等式，得

解之得，x≥48(厘米)
答：引火线至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
解：把2x+1看成一个整体y，由于当-4＜y＜4时，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，

巧解一元一次不等式
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合实例介绍一些技巧，供参考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因为0.25×4=1，所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．
解 两边同乘以4，得x＞42．
2．巧用对消法
例2 解不等式

解 原不等式变为

3．巧用分数加减法法则

故 y＜-1．
4．逆用分数加减法法则

解 原不等式化为
，

5．巧用分数基本性质
例5 解不等式

约去公因数2后，两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．

例6 解不等式

分析 由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．
解 原不等式为

整理，得8x-3-25x+4＜12-10x，

思考：例5可这样解吗？请不妨试一试．
6．巧去括号
去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．

7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．
解 原不等式化为
(x-3)(278-351×2+463)＞0，
即 39(x-3)＞0，故x＞3．
8．巧用整体合并
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 视2x-1为一整体，去大、中括号，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整体合并，得-6(2x-1)＞14，

9．巧拆项
例10 解不等式

分析 将-3拆为三个负1，再分别与另三项结合可巧解本题．
解 原不等式变形为

得x-1≥0，故x≥1．
练习题
解下列一元一次不等式

③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
答案
回答者：匿名 7-31 09:24

㈣ 高考数学压轴题不等式方法技巧总结

一、放缩，基本放缩要很熟练（如lnx和x-1)，熟练到有意识要用这基本放缩。还有就是用前俩问得出的结论进行放缩（并不一定是前俩问要证明的东西，可能是证明前俩问推导过程中间的式子）。如果第三问要证明一个很突兀的式子，一时没思路的话最好先看看前俩问自己的证明，可能就会灵光一现了。
二、直接给的函数，数列证明题。这个靠基础了，如拉格朗日，不动点，特征根等一些超纲的知识知道要去用（一般从题目形式就能看出）。但最好别直接使用超纲定理，公式。那样会扣很多分，最好先自己给出证明。
三、见多识广。如利用定积分定义证明数列和型不等式。。移动坐标系证明解析几何斜率的一些结论。使用极坐标方程解决解析几何中焦半径系列问题。很多方法只有做过了才知道，才会有条件反射。

㈤ 高一数列压轴题。

分析：（I）先得出an，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；

（II）先得出an，再解关于n的不等式，根据{bn}的定义求得bn再求得S2m；

（III）根据bm的定义转化关于m的不等式恒成立问题．

㈥ 数列与不等式

我给你些题目，再附上其出处，你可自行查找其答案……
2011年-高考数学-天津卷理-20-数列
已知数列{an}与{bn}满足
bn*an+a(n+1)+b(n+1)*a(n+2)=0，bn=(3+(-1)^n)/2，n∈N*，
且a1=2，a2=4.
(Ⅰ)求a3,a4,a5的值;
(Ⅱ)设cn=a(2n-1)+a(2n+1)，n∈N*，证明{cn}是等比数列;
(Ⅲ)设Sk=a2+a4+…+a(2k)，k∈N*，证明Σ(k=1--4n)(Sk/ak)<7/6(n∈N*).
2010年-高考数学-天津卷理-22-数列
在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N*，a(2k-1),a(2k),a(2k+1)成等差数列，其公差为dk.
(Ⅰ)若dk=2k，证明a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比数列(k∈N*);
(Ⅱ)若对任意k∈N*，a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比数列，其公比为qk.
(i)设q1不等于1，证明{1/(qk-1)}是等差数列;
(ii)若a2=2，证明3/2<2n-∑(k=2--n)(k^2/ak)<=2
(n>=2).
2008年-高考数学-辽宁卷理-21-数列
在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an,bn,a(n+1)成等差数列，bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论;
(2)证明:
1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+…+1/(an+bn)<5/12.
2006年-高考数学-天津卷理-21-数列(改)
已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且
x(n+1)/xn=λ*(xn/x(n-1))，y(n+1)/yn>=λ*(yn/y(n-1))
(λ为非零参数，n=2,3,4,…)
(1)若x1,x3,x5成等比数列，求参数λ的值;
(2)当λ>0时，证明:x(n+1)/y(n+1)<=xn/yn(n∈N*);
(3)当λ>1时，证明:
(x1-y1)/(x2-y2)+(x2-y2)/(x3-y3)+…+(xn-yn)/(x(n+1)-y(n+1))<λ/(λ-1)(n∈N*);
(4)当0<1<λ时，证明:对于k>=3，
x(k+1)/x1+x(k+2)/x2+…+x(k+n)/xn<(λ^k)/(1-λ^k)(n∈N*).
2002年-高考数学-全国卷理-22-数列
数列{an}满足a(n+1)=an^2-n*an+1，n∈N*.
(1)当a1=2时，求an;
(2)当a1>=3时，证明:
①an>=n+2，n∈N*;
②1/(1+a1)+1/(1+a2)+…+1/(1+an)<1/2，n∈N*.
2003年-高考数学-江苏卷-22-数列
如图，已知直线l:y=ax(a>0)及曲线C:y=x^2.C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a).
从C上的点Qn(n>=1)作直线平行于x轴，交直线l于点P(n+1);再从点P(n+1)作直线平行于y轴，交曲线C于点Q(n+1).
Qn(n=1,2,…)的横坐标组成数列{an}.
(1)试求a(n+1)与an的关系，并求{an}的通项公式;
(2)当a=1，a1<=1/2时，证明:Σ(k=1--n)((ak-a(k+1))*a(k+2))<1/32;
(3)当a=1时，证明:Σ(k=1--n)((ak-a(k+1))*a(k+2))<1/3.
2007年-高考数学-四川卷理-21-数列
已知函数f(x)=x^2-4，设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(x(n+1),0)(n∈N*)，其中x1为正实数.
(Ⅰ)用xn表示x(n+1);
(Ⅱ)若x1=4，记an=lg((xn+2)/(xn-2))，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式;
(Ⅲ)若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn<3.
2006年-高考数学-江西卷理-22-数列
已知数列{an}满足:a1=3/2，且an=(3*n*a(n-1))/(2*a(n-1)+n-1)(n>=2，n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n，不等式a1*a2*…*an<2*n!恒成立.

㈦ 不等式组有4个整数解

你上面的一段叙述思路有点乱,应该这样来理清思路
不等式 2x < 3(x-3)+1的解集是：x > 8
不等式 (3x + 2)/4的解集是 x < 2 - 4a
当2－4a > 8时,不等式组的解集是 8 < x < 2-4a
要使这两个不等式组成的不等式组有四个整数解,这四个整数解是x∈{ 9,10,11,12}
所以原不等式组的解集必须满足 8 < x < 13,即2－4a的值可以取到13,但不能超过13,换句话说,这里是 2－4a = 13,并不是x等于13,也就是说2－4a与x并不是同一个概念,x是一个未知数,2－4a是一个参数,你上面的叙述把这两个概念混淆了.
实际上,当2－4a=13时,总有x < 2 - 4a.
因此,在满足不等式组有四个整数解的条件下,要求出a的取值范围,可以用不等式12 < 2-4a ≤13来处理.

㈧ 并写出不等式组的整数解．

试题答案：解：
，
由①得：x＞1，
由②得：x＜5，
由③得：x＜
，
∴不等式组的解集是1＜x＜
，
∴不等式组的整数解是2，3．

㈨ 导数不等式压轴题

(1)令h(x)=e^x-x-1,h'(x)=e^x-1
x<0时h'(x)<0；x>0时h'(x)>0
所以h(x)有极小值h(0)=0，即e^x-x-1≥0
(2)易得g(x)=x
令F(x)=2ln(x+1)-x^2+x
F'(x)=2/(x+1)-2x+1=(-2x^2-x+3)/(x+1)
令F'(x)=0，解得x=1或-3/2
当0≤x<1时,F'(x)>0;当1<x≤2时,F'(x)<0
所以F(x)在[0,2]上有极大值，也是最大值F(1)=2ln2
又F(0)=0,F(2)=2ln3-2>0
所以m的取值范围为(2ln3-2,2ln2)
(3)根据1.得:
当x≠0时,e^x>1+x
所以e^(-k/n)>1-k/n（0<k<n-1）
所以e^(-k)>(1-k/n)^n
所以(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n=
=[1-(n-1)/n]^n+[1-(n-2)/n]^n+...+[1-1/n]^n+1<
<e^(-n+1)+e^(-n+2)+..+e^(-1)+1=
=[1-e^(-n)]/[1-e^(-1)]<
≤1/(1-1/e)=e/(e-1).