压缩映射原理完备性重要吗

Ⅰ 压缩映射原理

压缩映射原理指完备的距离空间上到自身的压缩映射，存在唯一的不动点。

设（X，ρ）为距离空间，T是X到X中的映射，如果存在数a（0<a<1），使得对所有的x，y∈X都有ρ（Tx， Ty）≤a*ρ（x， y），则称T是压缩映射。压缩映射也称为利普希茨映射。压缩映射必是连续映射，且为利普希茨连续。

当X为赋范线性空间，f：X→Y为压缩映射时，映射I-f称为X上的压缩向量场。压缩映射原理是巴拿赫在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。

该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。

压缩映射原理的基本理论

1、（完备度量空间）若度量空间中每个柯西点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。

2、（压缩映射）设是度量空间，是上的自映射。若存在数，使得, 均有, 则称是上的一个压缩映射。

3、（不动点）给定度量空间，是上的自映射，如果存在，使得，则称为映射的一个不动点。

Ⅱ 压缩映射不动点定理

压缩映射不动点定理：

定理（压缩映射原理）设是一个完备的度量空间，是一个压缩映射，则有一个唯一的不动点。进一步地，从任意一点出发，序列收敛于。证明首先证明最多只有一个不动点。然后说明序列收敛于一点。最后证明这个是不动点。

唯一性，首先证明，如果一个点是的不动点，则它是的唯一的不动点。假设且。由于为压缩映射，因此一定存在一个，使得。容易看出，只有当，即时，前面的不等式才能成立。

极限点，设，定义。则由前面的引理可知，序列是一个柯西序列。由于是完备的，因此一定存在一个使得收敛于。

不动点，设。由于为柯西序列，且收敛于，因此一定存在一个正整数，使得对于任意的，均有，且，设，由三角不等式可知。

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具;它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。

注意到不等号右边中间的一项又等于，从而由前面的推理可知不等号右边前两项均小于。现在主要考虑第三项。注意到。从而有。由于的选取是任意的，因此必有，即。

Ⅲ 压缩映像原理数列极限

压缩映像原理数列极限：

当将一个映像信号压缩到它的最多极限时,在质量上所能达到的最优数列极限,也就是信号最大可以压缩到什么程度。极限取决于映像文件压缩算法和所使用的编码器,一般而言,极限可能是像素数量上限或者最大压缩比率,也可能是质量上限。

即：（X，P）是一个完备的距离空间，T是（X，P）到其自身的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。这个原理非常基本，它是泛函分析中的一个最基本最简单的存在性定理。数学分析中的很多存在性定理都是它的特例。

Ⅳ 压缩映射原理的证明

度量空间(M,d)上的压缩映射，或压缩，是一个从M到它本身的函数f，存在某个实数，使得对于所有M内的x和y，都有：满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的都满足，则该映射称为非膨胀的。 更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d')是两个度量空间，则我们寻找常数k，使得对于所有M内的x和y。 每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于M内的任何x，迭代函数序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明反函数定理。

Ⅳ 压缩映射原理求极限

压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决递推数学列极限中的优越性.

关键词: 压缩映射原理 极限 递推数列

压缩映射原理是着名的波兰数学家Stefan Banach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用，如文献[1-3].在前人的基础上，笔者结合自己的教学体会，系统归纳总结了压缩映射原理在一类递推数列极限中的应用，进一步展示其优越性.

1.基本概念和定理

为了结构的完整和叙述的方便，我们给出文献中的几个概念和定理.

定义1.1设(X，ρ)为一个度量空间，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得,坌x，y?X，有ρ(Tx，Ty)?αρ(x，y)，则称T是X到X的一个压缩映射.

定理1.2(压缩映射原理)设(X，ρ)为一个完备的距离空间，T是X到X的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点，即存在唯一的x?X，使得Tx=x.

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事实上，这两个结果在一般的实数R上也成立，有如下结果.

2.应用

类型一:直接应用定理型

下面我们看一道竞赛试题.

由于压缩映射原理在许多教材中没有给出，但其实用性很强，因此在教学过程可以补充给出，让学有余力的学生自己查阅相关文献.这类题目常见于考研试题和竞赛试题，只要出现迭代数列形式，就可以尝试利用压缩映射原理来考虑，问题的关键是确定函数是否为压缩函数，同时一定要注意函数的定义域.我们可以把这类问题归结为如下形式.

类型二:先转化再应用型

这类问题中虽然没有明显的迭代条件，但可以先考虑通常的方法，如单调有界定理、柯西收敛逐准则及夹逼定理等，也可以尝试往压缩映射原理条件上去凑，或许有意外的收获.以上几个例子都是数列极限中常见的典型例题，但几乎所有的教学参考书籍都没有提及利用压缩映射原理解决该问题，事实上，利用该方法解决上述例题更简洁.数学分析中很多问题的解决都得益于把已知条件往解决方法原理的条件上“凑”，这种“凑”是一种技巧、策略，它是解决数学分析中问题的常见策略，初学者需要仔细体会.

数列极限的求解方法多种多样，每种方法都有其条件要求和适用范围，需要灵活运用.压缩映射原理也不例外，在应用是时一定要注意条件的验证，同时要注意其使用范