稀疏表示压缩感知

❶ 压缩感知中信号重构之前必须先进行稀疏表示吗

当然可以。

1. 将主信号端的波形设置为“方波”；

2. 2. 将输出信号的幅度低电平设置为0V，高电平设置为3.3V（如果你要5V TTL就设置为5V)；

3. 这样输出不就是TTL信号了，不过不知道你要输出什么样的信号，以上方法只能输出简单的时钟，或通过任意波的方式输出某种码型的周期数字信号。Agilent的信号发生器支持伪随机码输出，基本可以认为是非周期的。
   

❷ 稀疏表示和压缩感知有何异同

只有一个信号能够稀疏表示的时候，才能实现压缩感知。

❸ 稀疏表达是什么意思

信号稀疏表示（稀疏表达也可以叫为稀疏表示）是过去近20年来信号处理界一个非常引人关注的研究领域，众多研究论文和专题研讨会表明了该领域的蓬勃发展。信号稀疏表示的目的就是在给定的超完备字典中用尽可能少的原子来表示信号，可以获得信号更为简洁的表示方式，从而使我们更容易地获取信号中所蕴含的信息，更方便进一步对信号进行加工处理，如压缩、编码等 。

(3)稀疏表示压缩感知扩展阅读：

应用：

1，压缩感知

为了有效重构原信号，传统方式下需要基于奈奎斯特采样定理实现对信号的采样。近年来，随着稀疏表示的兴起为重构原信号提出了一种新的理论-压缩感知。

2，目标跟踪

近年来，稀疏表示在目标跟踪领域也得到的广泛应用。针对红外图像序列中目标与背景对比度低、灰度特征易受噪声影响等问题，提出了一种基于稀疏表示模型的红外目标跟踪算法。提出了一个新的基于稀疏表示的目标跟踪方法，通过L1 范数最小化求解，实验结果表明，该方法比现有的基于 L1 范数最小化的跟踪方法性能更稳定、计算效率更高。

为了有效解决跟踪过程中的目标遮挡问题，提出了一种基于局部稀疏表示模型的跟踪方法。实验结果表明，该方法比各种流行跟踪方法稳定可靠且具有良好的抗遮挡性，并对海上红外目标跟踪取得良好效果。

参考资料：网络-稀疏表示

❹ 压缩感知

【嵌牛导读】：传统基于奈奎斯特定律的信号采样方法暴露出来的缺点越来越多，几年来一种新的理论----压缩感知打破了奈奎斯特采样定理（采样速率大于信号最高频率的两倍），成为了新的研究热点。

【嵌牛鼻子】：压缩感知;信号采集;欠奈奎斯特采样;正交匹配追踪

【嵌牛提问】：压缩感知的原理？

【嵌牛正文】：

2004年，D.Donoho等人提出了压缩感知理论，Tao T等人在此基础上进行了改进[ ]，为超宽带信号采集问题的解决开辟了一条新的道路。该理论是假设待采样信号在某个空间内具有稀疏的特性（只有少量的非零元素），利用测量矩阵将高维的稀疏信号投影为低维的测量值，从而完成对信号的压缩。然后通过优化求解的方法，可以精确重构出原始信号。该理论将压缩和数模变换合围一体，利用低采样率完成对宽带信号的压缩采样，降低了对AD器件性能的要求，具有十分良好的发展前景，其系统框图如下图所示。

压缩感知主要分为三个部分：信号稀疏表示、压缩测量、信号重构。

信号稀疏表示：

首先介绍一下压缩感知中十分重要的几个概念。

稀疏性：如果一个向量的大多数元素都为0，只有少量元素具有有效值，那么这个向量就具有稀疏性[ ]。

稀疏度：如果一个向量中非零元素个数小于N，即‖x‖_0

压缩测量：

压缩测量是压缩感知中非常重要的一步，其关键在于压缩矩阵的选择。压缩矩阵的作用就是将高维的信号映射为低维的输出信号，完成信号的压缩测量。测量过程可以用下式表示。

令测量矩阵A_(l*n)=φ_(l*n)*Ɵ_(n*n)，上式可简化为下式：

如果要求信号能够重构，那么这种映射应该是一一对应的，即特定的µ只能映射为唯一的y。这样的唯一性是保证信号能够精确重构的前提。为了满足这样的重构条件，测量矩阵A必须满足一定的条件。T.TAO等人提出为此提出了RIP条件（受限等距特性）。如果A能满足下式的不等式:

上式表示在测量矩阵满足RIP条件时，重构出的信号的误差在相当小的一个范围内。经过上面的讨论，我们就为精确重构出信号提供了理论上的保障。

信号重构：

重构算法是压缩感知的核心内容和最后一步，其恢复精确度和算法复杂程度决定了采样系统的可行性和实用性。由采样输出y_(l*1)求解输入信号µ_(n*1)是一个未知数个数多余方程个数的欠定方程。通常情况下其解有无数个，需要进行优化求解来确定最优解。

常用的优化求解算法为：贪婪算法，凸优化算法和组合算法。

AIC(模拟信息转换器)， 其结构如下图所示。

单像素相机

每次只取一个像素点，随机取若干次。运用算法对所取的像素值进行处理，恢复出原始信号

医学成像

❺ 压缩感知理论基本介绍

姓名：王鑫磊

学号：21011110262

学院：通信工程学院

【嵌牛导读】压缩感知是信号处理领域进入21世纪以来取得的最耀眼的成果之一，并在磁共振成像、图像处理等领域取得了有效应用。压缩感知理论在其复杂的数学表述背后蕴含着非常精妙的思想。基于一个有想象力的思路，辅以严格的数学证明，压缩感知实现了神奇的效果，突破了信号处理领域的金科玉律——奈奎斯特采样定律。即，在信号采样的过程中，用很少的采样点，实现了和全采样一样的效果。

【嵌牛鼻子】压缩感知，欠采样，稀疏恢复

【嵌牛提问】压缩感知相比奈奎斯特采样定律的主要突破是什么？

【嵌牛正文】

1.CS的初步理解

    CS是一个针对信号采样的技术，是在采样过程中完成数据压缩的过程。我们知道在对模拟信号按一定采样频率进行采样并得到数字信号的过程中，要想完整保留原始信号中的信息，采样频率必须大于信号中最高频率的2倍（奈奎斯特采样定理）。但Candes等人又提出了，如果信号在频域是稀疏的，那么它可以由远低于采样定理要求的采样点重建恢复。Nyquist定理中的采样为等间距采样，若采样频率低必然会引起混叠，如果不等间距采样呢？如果是随机采样呢？随机采样必然会发生频谱泄露，但泄露会均匀分布在整个频域且泄露值都较小，而最大的几个峰值可以通过设置阈值检测出来，从而有了恢复出原始信号的可能。

    图1展示了一原始的模拟信号在频域是稀疏的，仅由三个频率分量组成，为了得到数字信号，首先要在时域对其进行采样，根据压缩感知理论，可以在时域进行随机亚采样，之后得到的频谱会产生如图所示的泄露，但可以通过阈值检测求出原始信号的真实频率分量，从而恢复出原始信号。

2. CS的数学模型

    CS有两个前提条件：

假设：x是长度为N的原信号，稀疏度为k，它是未知的；Φ为测量矩阵，对应采样过程，也就是压缩的过程，如随机采样，是已知的；采样后的结果为：y=Φx，也是已知的；因此压缩感知问题是：在已知测量值y和测量矩阵Φ的基础上，求解原信号x的过程。然而一般信号x本身并不稀疏，需要在某种稀疏基上进行稀疏表示，即x=Ψs, 其中s为稀疏向量，即为所求的稀疏信号；Ψ为稀疏基矩阵，也叫稀疏变换矩阵，如傅里叶变换。

于是最终问题表示为：

                                                                                  y = ΦΨs = Θs                                                                                      （1）

已知y，Φ，Ψ，求s， Θ称为感知矩阵。感知矩阵需要满足约束等距原则（RIP），因此需要测量矩阵Φ和稀疏基Ψ满足不相关，即采样过程与稀疏过程不相关。Candes等人又找到了独立同分布的高斯随机测量矩阵可以称为普适的压缩感知测量矩阵，于是满足高斯分布的随机测量矩阵就成了CS最常用的观测矩阵。

3. CS的常用方法

已知(1)方程有无数解，因此需要通过增加约束来得到唯一解。方程是稀疏的，因此我们需要找到这个方程里所有解中最稀疏的内个就行了。

求解上述方程一般有三种思路：凸优化算法，贪婪算法，贝叶斯理论。CS常用算法有：

基追踪重构算法 （Basis Pursuit, BP）：BP算法是一种凸优化方法。

正交匹配追踪算法 （OMP）：OMP属于贪婪算法。

阈值迭代算法 ： 包括软阈值迭代（ISTA）和迭代硬阈值（IHT）。ISTA的一种改进方法为快速阈值迭代（FISTA）。

【嵌牛参考】

[1]. Dandes, E. J. . “Near-optimal signal recovery from random projections.” Universal encoding strategies IEEE Transactions on Information Theory 52(2006).

[2]. Donoho, D. L. . “Compressed sensing.” IEEE Transactions on Information Theory 52.4(2006):1289-1306.

❻ 压缩传感的原理

核心思想是将压缩与采样合并进行，首先采集信号的非自适应线性投影 (测量值)，然后根据相应重构算法由测量值重构原始信号。压缩传感的优点在于信号的投影测量数据量远远小于传统采样方法所获的数据量，突破了香农采样定理的瓶颈，使得高分辨率信号的采集成为可能。
信号的稀疏表示就是将信号投影到正交变换基时，绝大部分变换系数的绝对值很小，所得到的变换向量是稀疏或者近似稀疏的，以将其看作原始信号的一种简洁表达，这是压缩传感的先验条件，即信号必须在某种变换下可以稀疏表示。 通常变换基可以根据信号本身的特点灵活选取， 常用的有离散余弦变换基、快速傅里叶变换基、离散小波变换基、Curvelet基、Gabor 基 以及冗余字典等。 在编码测量中， 首先选择稳定的投影矩阵，为了确保信号的线性投影能够保持信号的原始结构， 投影矩阵必须满足约束等距性 (Restricted isometry property, RIP)条件， 然后通过原始信号与测量矩阵的乘积获得原始信号的线性投影测量。最后，运用重构算法由测量值及投影矩阵重构原始信号。信号重构过程一般转换为一个最小L0范数的优化问题，求解方法主要有最小L1 范数法、匹配追踪系列算法、最小全变分方法、迭代阈值算法等。
采样定理（又称取样定理、抽样定理）是采样带限信号过程所遵循的规律，1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。该理论支配着几乎所有的信号/图像等的获取、处理、存储、传输等，即：采样率不小于最高频率的两倍(该采样率称作Nyquist采样率)。该理论指导下的信息获取、存储、融合、处理及传输等成为信息领域进一步发展的主要瓶颈之一，主要表现在两个方面：
(1)数据获取和处理方面。对于单个(幅)信号/图像，在许多实际应用中(例如，超宽带通信，超宽带信号处理，THz成像，核磁共振，空间探测，等等）， Nyquist采样硬件成本昂贵、获取效率低下，在某些情况甚至无法实现。为突破Nyquist采样定理的限制，已发展了一些理论，其中典型的例子为Landau理论， Papoulis等的非均匀采样理论，M. Vetterli等的 finite rate of innovation信号采样理论，等。对于多道(或多模式)数据(例如，传感器网络，波束合成，无线通信，空间探测，等)，硬件成本昂贵、信息冗余及有效信息提取的效率低下，等等。
(2)数据存储和传输方面。通常的做法是先按照Nyquist方式获取数据，然后将获得的数据进行压缩，最后将压缩后的数据进行存储或传输，显然，这样的方式造成很大程度的资源浪费。另外，为保证信息的安全传输，通常的加密技术是用某种方式对信号进行编码，这给信息的安全传输和接受带来一定程度的麻烦。
综上所述：Nyquist-Shannon理论并不是唯一、最优的采样理论，研究如何突破以Nyquist-Shannon采样理论为支撑的信息获取、处理、融合、存储及传输等的方式是推动信息领域进一步往前发展的关键。众所周知：(1)Nyquist采样率是信号精确复原的充分条件，但绝不是必要条件。(2)除带宽可作为先验信息外，实际应用中的大多数信号/图像中拥有大量的structure。由贝叶斯理论可知：利用该structure信息可大大降低数据采集量。(3) Johnson-Lindenstrauss理论表明：以overwhelming性概率，K+1次测量足以精确复原N维空间的K-稀疏信号。
由D. Donoho(美国科学院院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet创始人)及华裔科学家T. Tao(2006年菲尔兹奖获得者，2008年被评为世界上最聪明的科学家)等人提出了一种新的信息获取指导理论，即，压缩感知或压缩传感（Compressive Sensing(CS) or Compressed Sensing、Compressed Sampling）。该理论指出：对可压缩的信号可通过远低于Nyquist标准的方式进行采样数据，仍能够精确地恢复出原始信号。该理论一经提出，就在信息论、信号/图像处理、医疗成像、模式识别、地质勘探、光学/雷达成像、无线通信等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。CS理论的研究尚属于起步阶段，但已表现出了强大的生命力，并已发展了分布CS理论(Baron等提出)，1-BIT CS理论(Baraniuk等提出)，Bayesian CS理论(Carin等提出)，无限维CS理论(Elad等提出)，变形CS理论(Meyer等提出)，等等，已成为数学领域和工程应用领域的一大研究热点。

❼ 压缩感知的主要应用

认知无线电方向：宽带谱感知技术是认识无线电应用中一个难点和重点。它通过快速寻找监测频段中没有利用的无线频谱，从而为认知无线电用户提供频谱接入机会。传统的滤波器组的宽带检测需要大量的射频前端器件，并且不能灵活调整系统参数。普通的宽带接收电路要求很高的采样率，它给模数转换器带来挑战，并且获得的大量数据处理给数字信号处理器带来负担。针对宽带谱感知的难题，将压缩感知方法应用到宽带谱感知中：采用一个宽带数字电路，以较低的频谱获得欠采样的随机样本，然后在数字信号处理器中采用稀疏信号估计算法得到宽带谱感知结果。
信道编码：压缩传感理论中关于稀疏性、随机性和凸最优化的结论可以直接应用于设计快速误差校正编码, 这种编码方式在实时传输过程中不受误差的影响。在压缩编码过程中, 稀疏表示所需的基对于编码器可能是未知的. 然而在压缩传感编码过程中, 它只在译码和重构原信号时需要, 因此不需考虑它的结构, 所以可以用通用的编码策略进行编码. Haupt等通过实验表明如果图像是高度可压缩的或者SNR充分大, 即使测量过程存在噪声, 压缩传感方法仍可以准确重构图像。 波达方向估计：目标出现的角度在整个扫描空间来看，是极少数。波达方向估计问题在空间谱估计观点来看是一个欠定的线性逆问题。通过对角度个数的稀疏限制，可以完成压缩感知的波达方向估计。
波束形成：传统的 自适应波束形成因其高分辨率和抗干扰能力强等优点而被广泛采用。但同时它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高问题将大大降低接收性能。为了改进Capon 波束形成的性能，这些通过稀疏波束图整形的方法限制波束图中阵列增益较大的元素个数，同时鼓励较大的阵列增益集中在波束主瓣中，从而达到降低旁瓣水平同时，提高主瓣中阵列增益水平，降低角度失匹配的影响。例如，最大主瓣旁瓣能量比，混合范数法，最小全变差。 运用压缩传感原理, RICE大学成功研制了单像素压缩数码照相机。 设计原理首先是通过光路系统将成像目标投影到一个数字微镜器件(DMD)上, 其反射光由透镜聚焦到单个光敏二极管上, 光敏二极管两端的电压值即为一个测量值y, 将此投影操作重复M次, 得到测量向量 , 然后用最小全变分算法构建的数字信号处理器重构原始图像。数字微镜器件由数字电压信号控制微镜片的机械运动以实现对入射光线的调整。 由于该相机直接获取的是M次随机线性测量值而不是获取原始信号的N(M，N)个像素值, 为低像素相机拍摄高质量图像提供了可能.。
压缩传感技术也可以应用于雷达成像领域, 与传统雷达成像技术相比压缩传感雷达成像实现了两个重要改进: 在接收端省去脉冲压缩匹配滤波器; 同时由于避开了对原始信号的直接采样, 降低了接收端对模数转换器件带宽的要求. 设计重点由传统的设计昂贵的接收端硬件转化为设计新颖的信号恢复算法, 从而简化了雷达成像系统。 生物传感中的传统DNA芯片能平行测量多个有机体, 但是只能识别有限种类的有机体, Sheikh等人运用压缩传感和群组检测原理设计的压缩传感DNA芯片克服了这个缺点。 压缩传感DNA芯片中的每个探测点都能识别一组目标, 从而明显减少了所需探测点数量. 此外基于生物体基因序列稀疏特性, Sheikh等人验证了可以通过置信传播的方法实现压缩传感DNA芯片中的信号重构。