凹凸性求解压轴题

1. 七、函数的单调性与凹凸性

函数单调性判定法：

由上可知我们可由导数f'(x)的正负性来判断函数单调性，此外函数单调性改悉败变往往发生在驻点（f'(x)=0）和导数不存在点，因此可以先根据这两类点来划分区间，再讨论单调性。

（从上面图形可以看到凹函数的切线斜率是单调递增的，凸函数是单调递减，结合函数单调性判定可得。）
此外函数睁孝颤凹凸性改变往往发生在拐点（f''(x)=0）和二阶导数不存在点（其实也可以叫拐点），因此可以先根据这两类点来划分区慎和间，再讨论凹凸性。

可导函数极值性质：

函数极值判定方法一：

上述定理描述的是x渐进并经过x0时，如果导数由正到负则x0处取到局部最大值，由负到正x0取到局部最小值。
求解法：

求解法：

注：这个不是充要条件，一阶导为零，二阶导也为零，函数同样可能取到极值。

2. 有哪些大学定理可以解中学数学题（尤其是几何题），比如（梅涅劳斯定理），谢谢。

洛必达法唤如则，在求解极值中很常用，尤其是高中数学压轴题，有时候会问这些，一般都是野链世用基本不等式来解，有的做不出来，但是用这个可以很快得到答案。我们老师颂肢说的！好像讲过一点

3. 函数y=e^-x 在（-∞，+∞）内的凹凸性，求解过程，谢谢

解法一：因为F'(x）=-（e^-x），F‘’(x）=（则灶樱e^-x)在（-∞，+∞）恒大于辩搜零，所以y=e^-x 在（-∞，+∞）为下孙丛凸函数，为凹函数。
解法二设X1小于X2，因为[F(X1)+F(X2)]/2>F[(X1﹢X2﹚/2],所以为凹函数。高中证明判断凹凸性常用第二种解法

4. 琴生不等式秒杀高考导数压轴是什么

琴生不等式秒杀高考导数压轴是以丹麦数学家约翰·琴生（Johan Jensen）命名的一个重要不等式，琴生不等式也称之为詹森不等式，它本质上是对函数凹凸性的应用。

琴生不等式具有许多作用，尤其是在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式证明往往比借助其他一般性理论更为容易。

函数的凹凸性在高中数学中不做具体要求，事实上这是高等数学研究的函数的一个重要性质。琴生不等式也经常在高中数学练习或高考试题中出现，这也说明了高考命题的原则是源于教材而高于教材，同时也体现了为高燃祥校输送优秀人才的选拔功能性。

具备性质

不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

不等式性质2：不等式的两边同时乘掘段郑（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和判颂为定值时，它们的积有最大值。

5. 求解该题凹凸性和拐点，多谢

如下：
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充扒亩要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;
一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。

(1）函数的二阶导数为y"=e^x>0,故函数为棚此仔凹函数,因y"=e^x>0,则函数无拐点
(2)函数的二阶导数y"=-sinx
-sinx在区间[0,pi）链汪恒小于等于0,当且公当，x=0时为零，
-sinx;在区间(pi,2pi]大于等于0，当且公当，x=2pi时为零，
则y=sinx在区间[0,pi）为凸函数;在区间(pi,2pi]为凹函数
函数y=sinx在[0,2pi]上均连续，
x=pi处左右凹凸性改变，即，x=pi为函数的拐点
(3)函数的二阶导数为y"=-2/9x^(5/3)
当x>0,时y"<0;当x<0,时y">0
当x>0,函数为凸函数;当x<0,函数为凹函数
函数在x=0处，y=0,连续，并且，当x>0,时y"<0;当x<0,时y">0
则点(0,0)是函数的一个拐点

6. 曲线与曲线相切的公式

一、概念引入：

教材中并没有曲线与曲线相切的概念，为了便利后文的叙述和对两个函数之间关系的理解，对于f（x）和g（x），我们定义：

若在处有且,即共点共切线，则我们称f（x）和g（x）在处相切。

特殊地，若在处有且在的邻域内总有或，称f（x）和g（x）在处同侧相切。

二、举例：

以下几组函数图像将帮大弯行家直唯闹碧观地感受同侧相切：

①和在x=1处同侧相切

不得不说，lsh的数学太细了。。。

4.求分式的极值：

有时我们会遇到形如这样的问题：求的最大值或最小值。

以求最大值为例：当f(x)和g(x)恒正时，不妨设该分式的最大值为k，在处取到，则原式可变形为，且在处等号成立。

令，则有，且在的邻域内有，因此，因此和在处同侧相切。

求最小值时过程同理。

综上，我们得出了是原式取到最大值或最小值的一个必要条件。

例4：（高考押题卷T16）

函数的最小值为________

解：我们令，，设函数

由上文的分析得

取到等号时的是的一个超越解。事实上，由于在求解方程组时我们可以运用有效的代换，可以越过x直接求得k的值。综上，最小值为

5.一些特殊的运用

这一块内容仍有待发掘，在此举一例函数相切与反函数的结合：

例5：（极其经典的老题）

a>1时，若函数与函数恰有一个交点，则a=_______

解：函数与函数互为反函数，因此两函数关于对称，因此与的交点即为与的交点。分析可得，与恰好相切时满足题意，设切点为。

得到

综上，

有兴趣的朋友可以考虑a＜1的情况，更加复杂但仍然可解。

四、总结：

共点共切线模型化抽象为具体，着眼于极限情况，对帮助理解函数有一定作用，在很多问题上都能找到其影子。在实际计算中，处理指对数的式子需要一定的技巧，需多加尝试

7. 求函数的凹凸区间和拐点步骤

①求出函数一阶导。

②求出函数二阶导。

③求拐点，令二阶导数等于0，在二阶导数零点处右极限异号。

④二阶导数大于0，凹区间，反之凸区间。

(7)凹凸性求解压轴题扩展阅读：

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是乱伍连续函数。

函数可导猛蠢的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等枝陪陪，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

8. 不能理解函数凹凸性的求解公式，求帮助解释公式各部分含义。

你看一下函数图知桥像，当λ从1变化到0的时候，
λx1+(1-λ)x2就是x轴上x1到x2这一段坐标，f(λx1+(1-λ)x2)就是函数图像从x1到x2的这一段

而λf(x1)+(1-λ)f(x2)是点（x1，f（x1））到（x2，f（x2））的直线橘猛铅

凹的意思就是说，整个函数图像段都在那条直线之下，就比如说二次函数y=x^2
你画张图，标一下x1和x2就知圆好道了

9. 一道高数题求解这道题

求导一次正负表示函数增减性

求导两次次正负表示函培配数凹凸性 两次求导不变号，说明凹凸性不变

极值卖中租点为凹凸性改变处的点 两次求导不变号，说明凹凸性不变，极值点不存在

有无零点需根据曲率圆来判断凹凸性

先了解曲率圆，如下图

x²+y²=2表示以原点为圆心半径中兆为根号2的圆 曲率为半径分之1>0 曲线为凹曲线

凹曲线必然会与坐标轴有交点 即该函数有零点

望采纳