Python计算一维薛定谔方程

‘壹’ 一维薛定谔方程的原理是什么

第一项可视为动能，第三项是总能量。
波函数对时间求导得出总能量与波函数（以及虚数单位与约化普朗克常数）的乘积，其实就是从波函数中提取出总能量的信息。
同理，波函数对位移求一阶导数是从波函数中提取出动量的信息，对位移求二阶导数则是从波函数中提取出动量平方的信息，动量平方再除以2m就得到了动能。

‘贰’ 一维薛定谔方程 源程序

一维薛定谔方程介绍:

当年轻气盛的海森堡在哥廷根披荆斩棘的时候，埃尔文·薛定谔（Erwin Schrodinger）
已经是瑞士苏黎世大学的一位有名望的教授。当然，相比海森堡来说，薛定谔只能算是大
器晚成。这位出生于维也纳的奥地利人并没有海森堡那么好的运气，在一个充满了顶尖精
英人物的环境里求学，而几次在战争中的服役也阻碍了他的学术研究。但不管怎样，薛定
谔的物理天才仍然得到了很好的展现，他在光学、电磁学、分子运动理论、固体和晶体的
动力学方面都作出过突出的贡献，这一切使得苏黎世大学于1921年提供给他一份合同，聘
其为物理教授。而从1924年起，薛定谔开始对量子力学和统计理论感到兴趣，从而把研究
方向转到这上面来。

和玻尔还有海森堡他们不同，薛定谔并不想在原子那极为复杂的谱线迷宫里奋力冲突，撞
得头破血流。他的灵感，直接来自于德布罗意那巧妙绝伦的工作。我们还记得，1923年，
德布罗意的研究揭示出，伴随着每一个运动的电子，总是有一个如影随形的“相波”。这
一方面为物质的本性究竟是粒子还是波蒙上了更为神秘莫测的面纱，但同时也已经提供通
往最终答案的道路。

薛定谔还是从爱因斯坦的文章中得知德布罗意的工作的。他在1925年11月3日写给爱因斯
坦的信中说：“几天前我怀着最大的兴趣阅读了德布罗意富有独创性的论文，并最终掌握
了它。我是从你那关于简并气体的第二篇论文的第8节中第一次了解它的。”把每一个粒
子都看作是类波的思想对薛定谔来说极为迷人，他很快就在气体统计力学中应用这一理论，
并发表了一篇题为《论爱因斯坦的气体理论》的论文。这是他创立波动力学前的最后一篇
论文，当时距离那个伟大的时刻已经只有一个月。从中可以看出，德布罗意的思想已经最
大程度地获取了薛定谔的信任，他开始相信，只有通过这种波的办法，才能够到达人们所
苦苦追寻的那个目标。

1925年的圣诞很快到来了，美丽的阿尔卑斯山上白雪皑皑，吸引了各地的旅游度假者。薛
定谔一如既往地来到了他以前常去的那个地方：海拔1700米高的阿罗萨（Arosa）。自从
他和安妮玛丽·伯特尔（Annemarie Bertel）在1920年结婚后，两人就经常来这里度假。
薛定谔的生活有着近乎刻板的规律，他从来不让任何事情干扰他的假期。而每次夫妇俩来
到阿罗萨的时候，总是住在赫维格别墅，这是一幢有着尖顶的，四层楼的小屋。

不过1925年，来的却只有薛定谔一个人，安妮留在了苏黎世。当时他们的关系显然极为紧
张，不止一次地谈论着分手以及离婚的事宜。薛定谔写信给维也纳的一位“旧日的女朋友”，
让她来阿罗萨陪伴自己。这位神秘女郎的身份始终是个谜题，二战后无论是科学史专家还
是八卦新闻记者，都曾经竭尽所能地去求证她的真面目，却都没有成功。薛定谔当时的日
记已经遗失了，而从留下的蛛丝马迹来看，她又不像任何一位已知的薛定谔的情人。但有
一件事是肯定的：这位神秘女郎极大地激发了薛定谔的灵感，使得他在接下来的12个月里
令人惊异地始终维持着一种极富创造力和洞察力的状态，并接连不断地发表了六篇关于量
子力学的主要论文。薛定谔的同事在回忆的时候总是说，薛定谔的伟大工作是在他生命中
一段情欲旺盛的时期做出的。从某种程度上来说，科学还要小小地感谢一下这位不知名的
女郎。

回到比较严肃的话题上来。在咀嚼了德布罗意的思想后，薛定谔决定把它用到原子体系的
描述中去。我们都已经知道，原子中电子的能量不是连续的，它由原子的分立谱线而充分
地证实。为了描述这一现象，玻尔强加了一个“分立能级”的假设，海森堡则运用他那庞
大的矩阵，经过复杂的运算后导出了这一结果。现在轮到薛定谔了，他说，不用那么复杂，
也不用引入外部的假设，只要把我们的电子看成德布罗意波，用一个波动方程去表示它，
那就行了。

薛定谔一开始想从建立在相对论基础上的德布罗意方程出发，将其推广到束缚粒子中去。
为此他得出了一个方程，不过不太令人满意，因为没有考虑到电子自旋的情况。当时自旋
刚刚发现不久，薛定谔还对其一知半解。于是，他回过头来，从经典力学的哈密顿-雅可
比方程出发，利用变分法和德布罗意公式，最后求出了一个非相对论的波动方程，用希腊
字母ψ来代表波的函数，最终形式是这样的：

△ψ[8(π^2)m/h^2](E-V)ψ=0

这便是名震整部20世纪物理史的薛定谔波函数。当然对于一般的读者来说并没有必要去探
讨数学上的详细意义，我们只要知道一些符号的含义就可以了。三角△叫做“拉普拉斯算
符”，代表了某种微分运算。h是我们熟知的普朗克常数。E是体系总能量，V是势能，在
原子里也就是-e^2/r。在边界条件确定的情况下求解这个方程，我们可以算出E的解来。

如果我们求解方程sin＝0，答案将会是一组数值，x可以是0，π，2π,或者是nπ。si
n的函数是连续的，但方程的解却是不连续的，依赖于整数n。同样，我们求解薛定谔
方程中的E，也将得到一组分立的答案，其中包含了量子化的特征：整数n。我们的解精确
地吻合于实验，原子的神秘光谱不再为矩阵力学所专美，它同样可以从波动方程中被自然
地推导出来。

现在，我们能够非常形象地理解为什么电子只能在某些特定的能级上运行了。电子有着一
个内在的波动频率，我们想象一下吉他上一根弦的情况：当它被拨动时，它便振动起来。
但因为吉他弦的两头是固定的，所以它只能形成整数个波节。如果一个波长是20厘米，那
么弦的长度显然只能是20厘米、40厘米、60厘米……而不可以是50厘米。因为那就包含了
半个波，从而和它被固定的两头互相矛盾。假如我们的弦形成了某种圆形的轨道，就像电
子轨道那样，那么这种“轨道”的大小显然也只能是某些特定值。如果一个波长20厘米，
轨道的周长也就只能是20厘米的整数倍，不然就无法头尾互相衔接了。

从数学上来说，这个函数叫做“本征函数”（Eigen function），求出的分立的解叫做
“本征值”（Eigen value）。所以薛定谔的论文叫做《量子化是本征值问题》，从1926
年1月起到6月，他一连发了四篇以此为题的论文，从而彻底地建立了另一种全新的力学体
系——波动力学。在这四篇论文中间，他还写了一篇《从微观力学到宏观力学的连续过渡》
的论文，证明古老的经典力学只是新生的波动力学的一种特殊表现，它完全地被包容在波
动力学内部。

薛定谔的方程一出台，几乎全世界的物理学家都为之欢呼。普朗克称其为“划时代的工作”，
爱因斯坦说：“……您的想法源自于真正的天才。”“您的量子方程已经迈出了决定性的
一步。”埃仑费斯特说：“我为您的理论和其带来的全新观念所着迷。在过去的两个礼拜
里，我们的小组每天都要在黑板前花上几个小时，试图从一切角度去理解它。”薛定谔的
方程通俗形象，简明易懂，当人们从矩阵那陌生的迷宫里抬起头来，再次看到自己熟悉的
以微分方程所表达的系统时，他们都像闻到了故乡泥土的芬芳，有一种热泪盈眶的冲动。
但是，这种新体系显然也已经引起了矩阵方面的注意，哥廷根和哥本哈根的那些人，特别
是海森堡本人，显然对这种“通俗”的解释是不满意的。

海森堡在写给泡利的信中说：

“我越是思考薛定谔理论的物理意义，就越感到厌恶。薛定谔对于他那理论的形象化的描
述是毫无意义的，换一种说法，那纯粹是一个Mist。”Mist这个德文，基本上相当于英语
里的bullshit或者crap。

薛定谔也毫不客气，在论文中他说：

“我的理论是从德布罗意那里获得灵感的……我不知道它和海森堡有任何继承上的关系。
我当然知道海森堡的理论，它是一种缺乏形象化的，极为困难的超级代数方法。我即使不
完全排斥这种理论，至少也对此感到沮丧。”

矩阵力学，还是波动力学？全新的量子论诞生不到一年，很快已经面临内战。

二

回顾一下量子论在发展过程中所经历的两条迥异的道路是饶有趣味的。第一种办法的思路
是直接从观测到的原子谱线出发，引入矩阵的数学工具，用这种奇异的方块去建立起整个
新力学的大厦来。它强调观测到的分立性，跳跃性，同时又坚持以数学为唯一导向，不为
日常生活的直观经验所迷惑。但是，如果追究根本的话，它所强调的光谱线及其非连续性
的一面，始终可以看到微粒势力那隐约的身影。这个理论的核心人物自然是海森堡，波恩，
约尔当，而他们背后的精神力量，那位幕后的“教皇”，则无疑是哥本哈根的那位伟大的
尼尔斯·玻尔。这些关系密切的科学家们集中资源和火力，组成一个坚强的战斗集体，在
短时间内取得突破，从而建立起矩阵力学这一壮观的堡垒来。

而沿着另一条道路前进的人们在组织上显然松散许多。大致说来，这是以德布罗意的理论
为切入点，以薛定谔为主将的一个派别。而在波动力学的创建过程中起到关键的指导作用
的爱因斯坦，则是他们背后的精神领袖。但是这个理论的政治观点也是很明确的：它强调
电子作为波的连续性一面，以波动方程来描述它的行为。它热情地拥抱直观的解释，试图
恢复经典力学那种形象化的优良传统，有一种强烈的复古倾向，但革命情绪不如对手那样
高涨。打个不太恰当的比方，矩阵方面提倡彻底的激进的改革，摒弃旧理论的直观性，以
数学为唯一基础，是革命的左派。而波动方面相对保守，它强调继承性和古典观念，重视
理论的形象化和物理意义，是革命的右派。这两派的大战将交织在之后量子论发展的每一
步中，从而为人类的整个自然哲学带来极为深远的影响。

在上一节中，我们已经提到，海森堡和薛定谔互相对对方的理论表达出毫不掩饰的厌恶
（当然，他们私人之间是无怨无仇的）。他们各自认定，自己的那套方法才是唯一正确的。
这是自然的现象，因为矩阵力学和波动力学看上去是那样地不同，而两人的性格又都以好
胜和骄傲闻名。当衰败的玻尔理论退出历史舞台，留下一个权力真空的时候，无疑每个人
都想占有那一份无上的光荣。不过到了1926年4月份，这种对峙至少在表面上有了缓和，
薛定谔，泡利，约尔当都各自证明了，两种力学在数学上来说是完全等价的！事实上，我
们追寻它们各自的家族史，发现它们都是从经典的哈密顿函数而来，只不过一个是从粒子
的运动方程出发，一个是从波动方程出发罢了。而光学和运动学，早就已经在哈密顿本人
的努力下被联系在了一起，这当真叫做“本是同根生”了。很快人们已经知道，从矩阵出
发，可以推导出波动函数的表达形式来，而反过来，从波函数也可以导出我们的矩阵。
1930年，狄拉克出版了那本经典的量子力学教材，两种力学被完美地统一起来，作为一个
理论的不同表达形式出现在读者面前。

但是，如果谁以为从此就天下太平，万事大吉，那可就大错特错了。虽然两种体系在形式
上已经归于统一，但从内心深处的意识形态来说，它们之间的分歧却越来越大，很快就形
成了不可逾越的鸿沟。数学上的一致并不能阻止人们对它进行不同的诠释，就矩阵方面来
说，它的本意是粒子性和不连续性。而波动方面却始终在谈论波动性和连续性。波粒战争
现在到达了最高潮，双方分别找到了各自可以依赖的政府，并把这场战争再次升级到对整
个物理规律的解释这一层次上去。

“波，只有波才是唯一的实在。”薛定谔肯定地说，“不管是电子也好，光子也好，或者
任何粒子也好，都只是波动表面的泡沫。它们本质上都是波，都可以用波动方程来表达基
本的运动方式。”

“绝对不敢苟同。”海森堡反驳道，“物理世界的基本现象是离散性，或者说不连续性。
大量的实验事实证明了这一点：从原子的光谱，到康普顿的实验，从光电现象，到原子中
电子在能级间的跳跃，都无可辩驳地显示出大自然是不连续的。你那波动方程当然在数学
上是一个可喜的成就，但我们必须认识到，我们不能按照传统的那种方式去认识它——它
不是那个意思。”

“恰恰相反。”薛定谔说，“它就是那个意思。波函数ψ（读作psai）在各个方向上都是
连续的，它可以看成是某种振动。事实上，我们必须把电子想象成一种驻在的本征振动，
所谓电子的“跃迁”，只不过是它振动方式的改变而已。没有什么‘轨道’，也没有什么
‘能级’，只有波。”

“哈哈。”海森堡嘲笑说，“你恐怕对你自己的ψ是个什么东西都没有搞懂吧？它只是在
某个虚拟的空间里虚拟出来的函数，而你硬要把它想象成一种实在的波。事实上，我们绝
不能被日常的形象化的东西所误导，再怎么说，电子作为经典粒子的行为你是不能否认的。”

“没错。”薛定谔还是不肯示弱，“我不否认它的确展示出类似质点的行为。但是，就像
一个椰子一样，如果你敲开它那粒子的坚硬的外壳，你会发现那里面还是波动的柔软的汁
水。电子无疑是由正弦波组成的，但这种波在各个尺度上伸展都不大，可以看成一个‘波
包’。当这种波包作为一个整体前进时，它看起来就像是一个粒子。可是，本质上，它还
是波，粒子只不过是波的一种衍生物而已。”

正如大家都已经猜到的那样，两人谁也无法说服对方。1926年7月，薛定谔应邀到慕尼黑大
学讲授他的新力学，海森堡就坐在下面，他站起来激烈地批评薛定谔的解释，结果悲哀地
发现在场的听众都对他持有反对态度。早些时候，玻尔原来的助手克莱默接受了乌特勒支
（Utrecht）大学的聘书而离开哥本哈根，于是海森堡成了这个位置的继任者——现在他
可以如梦想的那样在玻尔的身边工作了。玻尔也对薛定谔那种回归经典传统的理论观感到
不安，为了解决这个问题，他邀请薛定谔到哥本哈根进行一次学术访问，争取在交流中达
成某种一致意见。

9月底，薛定谔抵达哥本哈根，玻尔到火车站去接他。争论从那一刻便已经展开，日日夜
夜，无休无止，一直到薛定谔最终离开哥本哈根为止。海森堡后来在他的《部分与整体》
一书中回忆了这次碰面，他说，虽然平日里玻尔是那样一个和蔼可亲的人，但一旦他卷入
这种物理争论，他看起来就像一个偏执的狂热者，决不肯妥协一步。争论当然是物理上的
问题，但在很大程度上已经变成了哲学之争。薛定谔就是不能相信，一种“无法想象”的
理论有什么实际意义。而玻尔则坚持认为，图像化的概念是不可能用在量子过程中的，它
无法用日常语言来描述。他们激烈地从白天吵到晚上，最后薛定谔筋疲力尽，他很快病倒
了，不得不躺到床上，由玻尔的妻子玛格丽特来照顾。即使这样，玻尔仍然不依不饶，他
冲进病房，站在薛定谔的床头继续与之辩论。当然，最后一切都是徒劳，谁也没有被对方
说服。

物理学界的空气业已变得非常火热。经典理论已经倒塌了，现在矩阵力学和波动力学两座
大厦拔地而起，它们之间以某种天桥互相联系，从理论上说要算是一体。可是，这两座大
厦的地基却仍然互不关联，这使得表面上的亲善未免有那么一些口是心非的味道。而且，
波动和微粒，这两个300年来的宿敌还在苦苦交战，不肯从自己的领土上后退一步。双方
都依旧宣称自己对于光、电，还有种种物理现象拥有一切主权，而对手是非法武装势力，
是反政府组织。现在薛定谔加入波动的阵营，他甚至为波动提供了一部完整的宪法，也就
是他的波动方程。在薛定谔看来，波动代表了从惠更斯，杨一直到麦克斯韦的旧日帝国的
光荣，而这种贵族的传统必须在新的国家得到保留和发扬。薛定谔相信，波动这一简明形
象的概念将再次统治物理世界，从而把一切都归结到一个统一的图像里去。

不幸的是，薛定谔猜错了。波动方面很快就要发现，他们的宪法原来有着更为深长的意味。
从字里行间，我们可以读出一些隐藏的意思来，它说，天下为公，哪一方也不能独占，双
方必须和谈，然后组成一个联合政府来进行统治。它还披露了更为惊人的秘密：双方原来
在血缘上有着密不可分的关系。最后，就像阿尔忒弥斯庙里的祭司所作出的神喻，它预言
在这种联合统治下，物理学将会变得极为不同：更为奇妙，更为神秘，更为繁荣。

好一个精彩的预言。

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饭后闲话：薛定谔的女朋友

2001年11月，剧作家Matthew Wells的新作《薛定谔的女朋友》（Schrodinger's
Girlfriend）在旧金山着名的Fort Mason Center首演。这出喜剧以1926年薛定谔在阿罗
萨那位神秘女友的陪伴下创立波动力学这一历史为背景，探讨了爱情、性，还有量子物理
的关系，受到了评论家的普遍好评。今年（2003年）初，这个剧本搬到东岸演出，同样受
到欢迎。近年来形成了一股以科学人物和科学史为题材的话剧创作风气，除了这出《薛定
谔的女朋友》之外，恐怕更有名的就是那个东尼奖得主，Michael Frayn的《哥本哈根》
了。

不过，要数清薛定谔到底有几个女朋友，还当真是一件难事。这位物理大师的道德观显然
和常人有着一定的距离，他的古怪行为一直为人们所排斥。1912年，他差点为了喜欢的一
个女孩而放弃学术，改行经营自己的家庭公司（当时在大学教书不怎么赚钱），到他遇上
安妮玛丽之前，薛定谔总共爱上过4个年轻女孩，而且主要是一种精神上的恋爱关系。对
此，薛定谔的主要传记作者之一，Walter Moore辩解说，不能把它简单地看成一种放纵行
为。

如果以上都还算正常，婚后的薛定谔就有点不拘礼法的狂放味道了。他和安妮的婚姻之路
从来不曾安定和谐，两人终生也没有孩子。而在外沾花惹草的事，薛定谔恐怕没有少做，
他对太太也不隐瞒这一点。安妮，反过来，也和薛定谔最好的朋友之一，赫尔曼·威尔
（HermannWeyl）保持着暧昧的关系（威尔自己的老婆却又迷上了另一个人，真是天昏地
暗）。两人讨论过离婚，但安妮的天主教信仰和昂贵的手续费事实上阻止了这件事的发生。
《薛定谔的女朋友》一剧中调笑说：“到底是波-粒子的二象性难一点呢，还是老婆-情人
的二象性更难？”

薛定谔，按照某种流行的说法，属于那种“多情种子”。他邀请别人来做他的助手，其实
却是看上了他的老婆。这个女人（Hilde March）后来为他生了一个女儿，令人惊奇的是，
安妮却十分乐意地照顾这个婴儿。薛定谔和这两个女子公开同居，事实上过着一种一妻一
妾的生活（这个妾还是别人的合法妻子），这过于惊世骇俗，结果在牛津和普林斯顿都站
不住脚，只好走人。他的风流史还可以开出一长串，其中有女学生、演员、OL，留下了若
干私生子。但薛定谔却不是单纯的欲望的发泄，他的内心有着强烈的罗曼蒂克式的冲动，
按照段正淳的说法，和每个女子在一起时，却都是死心塌地，恨不得把心掏出来，为之谱
写了大量的情诗。我希望大家不要认为我过于八卦，事实上对情史的分析是薛定谔研究中
的重要内容，它有助于我们理解这位科学家极为复杂的内在心理和带有个人色彩的独特性
格。

最最叫人惊讶的是，这样一个薛定谔的婚姻后来却几乎得到了完美的结局。尽管经历了种
种风浪，穿越重重险滩，他和安妮却最终白头到老，真正像在誓言中所说的那样：to have
and to hold, in sickness and in health, till death partsus。在薛定谔生命的最后
时期，两人早已达成了谅解，安妮说：“在过去41年里的喜怒哀乐把我们紧紧结合在一起，
这最后几年我们也不想分开了。”薛定谔临终时，安妮守在他的床前握住他的手，薛定谔
说：“现在我又拥有了你，一切又都好起来了。”

薛定谔死后葬在Alpbach，他的墓地不久就被皑皑白雪所覆盖。四年后，安妮玛丽·薛定
谔也停止了呼吸。

三

1926年中，虽然矩阵派和波动派还在内心深处相互不服气，它们至少在表面上被数学所统
一起来了。而且，不出意外地，薛定谔的波动方程以其琅琅上口，简明易学，为大多数物
理学家所欢迎的特色，很快在形式上占得了上风。海森堡和他那屈聱牙的方块矩阵虽然不
太乐意，也只好接受现实。事实证明，除了在处理关于自旋的几个问题时矩阵占点优势，
其他时候波动方程抢走了几乎全部的人气。其实吗，物理学家和公众想象的大不一样，很
少有人喜欢那种又难又怪的变态数学，既然两种体系已经被证明在数学上具有同等性，大
家也就乐得选那个看起来简单熟悉的。

甚至在矩阵派内部，波动方程也受到了欢迎。首先是海森堡的老师索末菲，然后是建立矩
阵力学的核心人物之一，海森堡的另一位导师马科斯·波恩。波恩在薛定谔方程刚出炉不
久后就热情地赞叹了他的成就，称波动方程“是量子规律中最深刻的形式”。据说，海森
堡对波恩的这个“叛变”一度感到十分伤心。

但是，海森堡未免多虑了，波恩对薛定谔方程的赞许并不表明他选择和薛定谔站在同一条
战壕里。因为虽然方程确定了，但怎么去解释它却是一个大大不同的问题。首先人们要问
的就是，薛定谔的那个波函数ψ（再提醒一下，这个希腊字读成psai），它在物理上代表
了什么意义？

我们不妨再回顾一下薛定谔创立波动方程的思路：他是从经典的哈密顿方程出发，构造一
个体系的新函数ψ代入，然后再引用德布罗意关系式和变分法，最后求出了方程及其解答，
这和我们印象中的物理学是迥然不同的。通常我们会以为，先有物理量的定义，然后才谈
得上寻找它们的数学关系。比如我们懂得了力F，加速度a和质量m的概念，之后才会理解
F=ma的意义。但现代物理学的路子往往可能是相反的，比如物理学家很可能会先定义某个
函数F，让F＝ma，然后才去寻找F的物理意义，发现它原来是力的量度。薛定谔的ψ，就
是在空间中定义的某种分布函数，只是人们还不知道它的物理意义是什么。

这看起来颇有趣味，因为物理学家也不得不坐下来猜哑谜了。现在让我们放松一下，想象
自己在某个晚会上，主持人安排了一个趣味猜谜节目供大家消遣。“女士们先生们，”他
兴高采烈地宣布，“我们来玩一个猜东西的游戏，谁先猜出这个箱子里藏的是什么，谁就
能得到晚会上的最高荣誉。”大家定睛一看，那个大箱子似乎沉甸甸的，还真像藏着好东
西，箱盖上古色古香写了几个大字：“薛定谔方程”。

“好吧，可是什么都看不见，怎么猜呢？”人们抱怨道。“那当然那当然。”主持人连忙
说，“我们不是学孙悟空玩隔板猜物，再说这里面也决不是破烂溜丢一口钟，那可是货真
价实的关系到整个物理学的宝贝。嗯，是这样的，虽然我们都看不见它，但它的某些性质
却是可以知道的，我会不断地提示大家，看谁先猜出来。”

众人一阵鼓噪，就这样游戏开始了。“这件东西，我们不知其名，强名之曰ψ。”主持人
清了清嗓门说，“我可以告诉大家的是，它代表了原子体系中电子的某个函数。”下面顿
时七嘴八舌起来：“能量？频率？速度？距离？时间？电荷？质量？”主持人不得不提高
嗓门喊道：“安静，安静，我们还刚刚开始呢，不要乱猜啊。从现在开始谁猜错了就失去
参赛资格。”于是瞬间鸦雀无声。

“好。”主持人满意地说，“那么我们继续。第二个条件是这样的：通过我的观察，我发
现，这个ψ是一个连续不断的东西。”这次大家都不敢说话，但各人迅速在心里面做了排
除。既然是连续不断，那么我们已知的那些量子化的条件就都排除了。比如我们都已经知
道电子的能级不是连续的，那ψ看起来不像是这个东西。

“接下来，通过ψ的构造可以看出，这是一个没有量纲的函数。但它同时和电子的位置有
某些联系，对于每一个电子来说，它都在一个虚拟的三维空间里扩展开去。”话说到这里
好些人已经糊涂了，只有几个思维特别敏捷的还在紧张地思考。

“总而言之，ψ如影随形地伴随着每一个电子，在它所处的那个位置上如同一团云彩般地
扩散开来。这云彩时而浓厚时而稀薄，但却是按照某种确定的方式演化。而且，我再强调
一遍，这种扩散及其演化都是经典的，连续的，确定的。”于是众人都陷入冥思苦想中，
一点头绪都没有。

“是的，云彩，这个比喻真妙。”这时候一个面容瘦削，戴着夹鼻眼睛的男人呵呵笑着站
起来说。主持人赶紧介绍：“女士们先生们，这位就是薛定谔先生，也是这口宝箱的发现
者。”大家于是一阵鼓掌，然后屏息凝神地听他要发表什么高见。

“嗯，事情已经很明显了，ψ是一个空间分布函数。”薛定谔满有把握地说，“当它和电
子的电荷相乘，就代表了电荷在空间中的实际分布。云彩，尊敬的各位，电子不是一个粒
子，它是一团波，像云彩一般地在空间四周扩展开去。我们的波函数恰恰描述了这种扩展
和它的行为。电子是没有具体位置的，它也没有具体的路径，因为它是一团云，是一个波，
它向每一个方向延伸——虽然衰减得很快，这使它粗看来像一个粒子。女士们先生们，我
觉得这个发现的最大意义就是，我们必须把一切关于粒子的假相都从头脑里清除出去，不
管是电子也好，光子也好，什么什么子也好，它们都不是那种传统意义上的粒子。把它们
拉出来放大，仔细审视它们，你会发现它在空间里融化开来，变成无数振动的叠加。是的，
一个电子，它是涂抹开的，就像涂在面包上的黄油那样，它平时蜷缩得那么紧，以致我们
都把它当成小球，但是，这已经被我们的波函数ψ证明不是真的。多年来物理学误入歧途，
我们的脑袋被光谱线，跃迁，能级，矩阵这些古怪的东西搞得混乱不堪，现在，是时候回
归经典了。”

“这个宝箱，”薛定谔指着那口大箱子激动地说

‘叁’ 薛定谔方程的求解过程

<<薛定谔方程是错误的>>

一、薛定谔方程是假定

是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一 个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程。

二、薛定谔方程的错误

“并不能由实验直接测量，薛定谔方程只能是依据二象性的考虑，用类比的方法写出所满足的波动方程，并由它导来的结果，证明其正确性。”摘自《工科物理教程》403页。

这段话有三点可以证实：薛定谔方程是错误的。

1，从这里看出，薛定谔方程是建立在二象性基础上的理论。我们已经证实《二象性是错误的》，所以，薛定谔方程是错误的。

2，“类比的方法”，我们知道物质没有波动性，不存在物质波。见《光不是波，光和机械波不是一类，不可类比，更不可套用机械波的公式》。比如：光是物质，波是运动形式，不是一个概念，不可类比。所以，这种推理方式在这里运用是错误的。

3，“由它导来的结果，证明其正确性。”这里犯了循环论证的错误。而且，它导来的结果并不是都合适，它导来的结果有些根本没有物理意义，即：不符合事实。所以薛定谔方程的要附加很多条件，才能有合适的解。这就是在拼凑结果，这根本不是具有普遍意义的方程，而是根据二象性、波动方程、德布罗意公式，拼凑出的一个不是方程的方程。

公式：用数学符号表示各个量之间的一定关系的等式叫公式。在自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子。具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。很显然，薛定谔方程不适合同类关系的‘所有问题’，它是‘一个问题’一个方程。很明显的在拼凑结果。

方程是：含有未知数的等式叫方程。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。在物理学方面，如果方程的解不符合事实，这就说明：这个方程是错误的。薛定谔方程的解很多都不符合事实，只有E为特定的值，才能求得与事实不违背的解，这就说明：薛定谔方程是错误的。应该说：它导出来的结果，证实其错误性。

三、薛定谔方程的推导

“薛定谔方程的推导：粒子服从波动的传播规律，所以，可以设想ψ满足波动方程。

式中u为波的相速度，等于λν，现在的任务是：把这个普遍的波动方程改写为适用于物质波的形式。

对于一个沿着χ轴方向运动的、具有能量E和动量P的自由粒子，其物质波的相速度应可由德布罗意公式求得，即：

u=λν=E/P

于是，反映出自由粒子二象性的一维波动方程便是：

应该指出，此式中，粒子的能量E和动量p，并没有隐含在波函数之中，因此，此式只能用于具有特定的E和P之中，不能代表一般物质波的普遍规律。但我们只希望借它来阐明量子力学基本方程的思路”摘自《工科物理教程》403页。

从这段话看出，薛定谔方程推导过程中的三点错误：

1， 运用了类比方式，直接认为粒子服从波动规律，然后套用机械波波动方程。这是错误的。物质与波不可类比。

2 ， u=λν是错误的，因为我们之前说了：《光根本没有波长》。

3， 在 《德布罗意物质波理论是错误的》里面我们已经证实：德布罗意公式不存在，所以，公式的推导是错误的。

推理过程全部是错误的，所以，薛定谔方程是错误的。

四、关于量子‘隧道效应’

隧道效应说明构成物体的分子之间有空隙。有些粒子不能够穿过某个势垒，有些能量粒子可以穿过势垒。势垒越窄，量子隧道效应越明显，粒子可以穿过势垒的概率越高，反之，势垒越宽，量子隧道效应越不明显，当势垒宽到一定程度的时候，隧道效应消失。

就和油从钢管中沁出是一个意思，说明分子之间有空隙。

五、关于薛定谔的猫

薛定谔猫佯谬是个实验：将一只猫关在箱子里，箱内还放有一小块铀、一个盛有毒气的玻璃瓶，以及一套受检测器控制的、由锤子构成的执行机构。铀是不稳定的元素，衰变时放出射线触发检测器，驱动锤子打碎玻璃瓶，释放出毒气将猫毒死。铀未衰变前，毒气未放出，猫是活的。铀原子在何时衰变是不确定的，所以它处于叠加态。薛定谔挖苦说：在箱子 未打 开进行观测前，按照量子力学的解释，箱中之猫处于“死－活叠加态 ”——既死了 又活着！要等有人打开箱子看一眼才能决定猫的生死。

“要等有人打开箱子看一眼才能决定猫的生死。”这是胡说。谁都知道箱中猫的死活是否有人打开箱子进行观察毫不相干，如果铀衰变了，不打开箱子 也知道猫是死的。如果铀没有衰变，不打开箱子也知道猫是活的。猫的死活决定于铀是否衰变，而不决定于打开不打开箱子.

另外，猫也没有处于什么“死－活叠加态”——如果死了，就 是死了，打不打开箱子， 猫都死了，这就是客观性。如果活着，就在活着，这就是客观性。所以，‘薛定谔的猫理论’违背客观性，是胡言乱语，一则冷笑话。

六、为什么有人信奉薛定谔的理论？为什么没有质疑？

我就不明白了，薛定谔方程，没有经过验证，就可以被承认，为什么?
而且，为了薛定谔方程，教科书能够说出“由其导来的结果，证实其正确性’，这么严重违反逻辑的话都可以堂而皇之的说出来。波动论很多公式，就是这样确立的。
可惜，薛定谔方程导来的的结果都不符合事实，还仍然被承认，为什么?即使‘导来的结果也不能证明其正确性’，他们还有办法，就是：规定某些值才符合这个公式。。。。。。再不能成立的方程，经过这样的处理过程，也可以成立了。
‘薛定谔方程是一个基本假定’，呵呵即使是一个假定，也有基本和不基本的称谓，呵呵，不能不说某些人的脑子就是奴才思维，只要是某些权威人士说的，如果再加上获过诺贝尔奖的，不合理也会用胡言乱语的胡话，给他圆场。这一切都是为什么呢？这是对待科学的态度？

对待权威的理论我们不能多一些审视、多一些思考、多一些质疑的声音呢？
‘打开、看一眼才决定生死’‘死——活叠加态”这样违背常识的理论，都可以被推崇。难道越离谱越正确？那么，鬼片是不是科学理论的最高境界呢？

摘自《揭开能量的神秘面纱》李青梅着

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‘肆’ 薛定谔方程怎么解

一维定态薛定谔方程的建立和求解举例
https://wenku..com/view/70ae53ee102de2bd96058898.html

‘伍’ 薛定谔方程的具体介绍

一维薛定谔方程

三维薛定谔方程

定态薛定谔方程

单粒子薛定谔方程的数学表达形式
这是一个二阶线性偏微分方程，ψ(x，y，z)是待求函数，它是x,y,z三个变量的复数函数（就是说函数值不一定是实数，也可能是虚数）。式子最左边的倒三角是拉普拉斯算符，意思是分别对ψ(x，y，z)的梯度求散度。 这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程。所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。其中，E是粒子本身的能量；U（x，y，z）是描述势场的函数，假设不随时间变化。薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分e^（-t*i*E*2π/h）以后就成了完整的波函数了。
薛定谔方程的解——波函数的性质
简单系统，如氢原子中电子的薛定谔方程才能求解，对于复杂系统必须近似求解。因为对于有Z 个电子的原子，其电子由于屏蔽效应相互作用势能会发生改变，所以只能近似求解。近似求解的方法主要有变分法和微扰法。
在束缚态边界条件下并不是E 值对应的所有解在物理上都是可以接受的。主量子数、角量子数、磁量子数都是薛定谔方程的解。要完整描述电子状态，必须要四个量子数。自旋磁量子数不是薛定谔方程的解，而是作为实验事实接受下来的。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。氢原子以及类氢原子的分立值为：
En=-1/n*2×2.18×10*(-18)J，n 越大能量越高电子层离核越远。主量子数决定了电子出现的最大几率的区域离核远近，决定了电子的能量。N=1，2，3，……；常用K、L、M、N……表示。
角量子数l和能量有关的量子数。电子在原子中具有确定的角动量L，它的取值不是任意的，只能取一系列分立值，称为角动量量子化。L=√l(l+1) ·(h/2π) ，l=0，1，2，……（n-1）。l 越大，角动量越大，能量越高，电子云的形状也不同。l=0，1，2，……常用s，p，d，f，g 表示，简单的说就是前面说的电子亚层。角量子数决定了轨道形状，所以也称为轨道形状量子数。s 为球型，p 为哑铃型，d 为花瓣，f 轨道更为复杂。
磁量子数m是和电子能量无关的量子数。原子中电子绕核运动的轨道角动量，在外磁场方向上的分量是量子化的，并由量子数m 决定，m 称为磁量子数。对于任意选定的外磁场方向Z，角动量L 在此方向上的分量Lz只能取一系列分立值，这种现象称为空间量子化。Lz=m·h/2π，m=0，±1，±2……±l。磁量子数决定了原子轨道空间伸展方向，即原子轨道在空间的取向，s 轨道一个方向（球），p 轨道3 个方向，d 轨道5 个，f 轨道7 个……。l 相同，m 不同即形状相同空间取向不同的原子轨道能量是相同的。不同原子轨道具有相同能量的现象称为能量简并。
能量相同的原子轨道称为简并轨道，其数目称为简并度。如p 轨道有3 个简并轨道，简并度为3。简并轨道在外磁场作用下会产生能量差异，这就是线状谱在磁场下分裂的原因。
粒子的自旋也产生角动量，其大小取决于自旋磁量子数（ms）。电子自旋角动量是量子化的其值为Ls=√s（s+1）·（h/2π），s= 1/2 ，s 为自旋量子数，自旋角动量的一个分量Lsz 应取下列分立值：Lsz= ms（h/2π）, ms=±1/2。
原子光谱，在高分辨光谱仪下，每一条光线都是由两条非常接近的光谱线组成，为解释这一现象提出了粒子的自旋。电子的自旋表示电子的两种不同状态，这两种状态有不同的自旋角动量。
电子的自旋不是机械的自身旋转，它是本身的内禀属性，也是新的自由度，如质量和电荷一样是它的内在属性，电子的自旋角动量：ħ /2。 希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这种形式下的薛定谔方程如右图所示。H为哈密顿算符。这个方程在这个形式下充分显示出了时间与空间的对应性（时间与能量相对应，正如空间与动量相对应，后述）。这种算符（物理量）不随时间变化而状态随时间变化的对自然现象的描述方法被称为薛定谔绘景，与之对应的是海森伯绘景。
空间坐标算符x与其对应的动量算符p满足以下交换关系：
所谓的薛定谔表示就是将空间算符直接作为x，而动量算符为下面的包含微分的微分算符：

‘陆’ 薛定谔方程怎么解啊

这得具体看势能再决定怎么解吧，一维方势阱和方势垒，还有三维的氢原子都能解析解出来。一维的很简单，引入边界条件很好解，就是二阶常微分方程而已。三维的你就得会分离变量了，分离后得到的三个常微分方程，第一个很简单，第二个和第三个分别是伴随勒让德方程和贝塞尔方程，看起来复杂，但也不是很难，级数展开解就可以了。全靠自己完成会比较难，推荐你还是先看看数理方程，之后自己解一解练练手，以后就不会忘了。我已经两年没推了，但我现在完全从头开始推，不翻任何参考书的话顶多两至三个小时就能把氢原子解出来。

‘柒’ 薛定谔方程共轭式

在量子力学中，单粒子服从的运动方程是薛定谔方程。薛定谔方程在量子力学中的地位相当于牛顿第二定律在经典力学中的地位。
一维的含时薛定谔方程形式为，其中为势函数，相当于牛顿第二定律的力的地位。因此，理论上只要给定一个确定的势函数，以及一个确定的初始条件，就能得到粒子后续的运动情况。

特别地，当势函数不显含时间的情况下，有

此时可用分离变量法求解，即令，则有

代入上式可得

观察上式，左边为的函数，右边为的函数。那么等式成立的条件为，两边都等于一个常数，设此常数为，则可以得到两个常微分方程

其中式（1）称为定态薛定谔方程，之所以称之为定态，原因如下：

解方程（2）可得，设此时相应的方程（1）的解为，那么有,则由波函数的统计诠释，概率密度与时间无关！因此称式（1）为定态薛定谔方程，其中定态的意思即与概率密度与时间无关，式（1）的解称为定态解。

一般地，给定势函数后，满足条件的不止一个，可记为.求得的定态解为,相应的式（2）的解为,则总的定态解为.

含时薛定谔方程的解可由叠加原理得到，即为定态解的线性组合

在给定了初始条件后，可以求出各系数,进而求得含时解。

一般地，在势函数不显含时间的情形下，求解含时的薛定谔方程可以先通过求解定态薛定谔方程，再通过线性组合得到含时解。

参考资料

【1】《量子力学概论》——大卫|格里菲斯