微分方程python

㈠ 盘点python常用的模块和包

模块

1.定义

计算机在开发过程中，代码越写越多，也就越难以维护，所以为了编写可维护的代码，我们会把函数进行分组，放在不同的文件里。在python里，一个.py文件就是一个模块。

2.优点：

提高代码的可维护性。

提高代码的复用，当模块完成时就可以在其他代码中调用。

引用其他模块，包含python内置模块和其他第三方模块。

避免函数名和变量名等名称冲突。

python内建模块：

1.sys模块

2.random模块

3.os模块：

os.path:讲解

https://www.cnblogs.com/yufeihlf/p/6179547.html

数据可视化

1.matplotlib :

是Python可视化程序库的泰斗，它的设计和在1980年代被设计的商业化程序语言MATLAB非常接近。比如pandas和Seaborn就是matplotlib的外包，它们让你能用更少的代码去调用 matplotlib的方法。

访问：

https://matplotlib.org/

颜色：

https://www.cnblogs.com/darkknightzh/p/6117528.html

教程：

https://wizardforcel.gitbooks.io/matplotlib-user-guide/3.1.html

2.Seaborn：

它是构建在matplotlib的基础上的，用简洁的代码来制作好看的图表。Seaborn跟matplotlib最大的区别就是它的默认绘图风格和色彩搭配都具有现代美感。

访问：

http://seaborn.pydata.org/index.html

3.ggplot：

gplot 跟 matplotlib 的不同之处是它允许你叠加不同的图层来完成一幅图

访问：

http://ggplot.yhathq.com/

4.Mayavi：

Mayavi2完全用Python编写，因此它不但是一个方便实用的可视化软件，而且可以方便地用Python编写扩展，嵌入到用户编写的Python程序中，或者直接使用其面向脚本的API：mlab快速绘制三维图

访问：http://code.enthought.com/pages/mayavi-project.html

讲解：https://blog.csdn.net/ouening/article/details/76595427https://www.jianshu.com/p/81e6f4f1cdd8

5.TVTK：

TVTK库对标准的VTK库进行包装，提供了Python风格的API、支持Trait属性和numpy的多维数组。

VTK (http://www.vtk.org/) 是一套三维的数据可视化工具，它由C++编写，包涵了近千个类帮助我们处理和显示数据

讲解：https://docs.huihoo.com/scipy/scipy-zh-cn/tvtk_intro.html

机器学习

1.Scikit-learn

是一个简单且高效的数据挖掘和数据分析工具，易上手，可以在多个上下文中重复使用。它基于NumPy, SciPy 和 matplotlib，开源，可商用（基于 BSD 许可）。

访问：

讲解：https://blog.csdn.net/finafily0526/article/details/79318401

2.Tensorflow

最初由谷歌机器智能科研组织中的谷歌大脑团队（Google Brain Team）的研究人员和工程师开发。该系统设计的初衷是为了便于机器学习研究，能够更快更好地将科研原型转化为生产项目。

相关推荐：《Python视频教程》

Web框架

1.Tornado

访问：http://www.tornadoweb.org/en/stable/

2.Flask

访问：http://flask.pocoo.org/

3.Web.py

访问：http://webpy.org/

4.django

https://www.djangoproject.com/

5.cherrypy

http://cherrypy.org/

6.jinjs

http://docs.jinkan.org/docs/jinja2/

GUI 图形界面

1.Tkinter

https://wiki.python.org/moin/TkInter/

2.wxPython

https://www.wxpython.org/

3.PyGTK

http://www.pygtk.org/

4.PyQt

https://sourceforge.net/projects/pyqt/

5.PySide

http://wiki.qt.io/Category:LanguageBindings::PySide

科学计算

教程

https://docs.huihoo.com/scipy/scipy-zh-cn/index.html#

1.numpy

访问

http://www.numpy.org/

讲解

https://blog.csdn.net/lm_is_dc/article/details/81098805

2.sympy

sympy是一个Python的科学计算库，用一套强大的符号计算体系完成诸如多项式求值、求极限、解方程、求积分、微分方程、级数展开、矩阵运算等等计算问题

访问

https://docs.sympy.org/0.7.1/guide.html#guide

讲解

https://www.jianshu.com/p/339c91ae9f41

解方程

https://www.cnblogs.com/zyg123/p/10549354.html

3.SciPy

官网

https://www.scipy.org/

讲解

https://blog.csdn.net/wsp_1138886114/article/details/80444621

4.pandas

官网

http://pandas.pydata.org/

讲解

https://www.cnblogs.com/linux-wangkun/p/5903945.html

5.blaze

官网

http://blaze.readthedocs.io/en/latest/index.html

密码学

1.cryptography

https://pypi.python.org/pypi/cryptography/

2.hashids

http://www.oschina.net/p/hashids

3.Paramiko

http://www.paramiko.org/

4.Passlib

https://pythonhosted.org/passlib/

5.PyCrypto

https://pypi.python.org/pypi/pycrypto

6.PyNacl

http://pynacl.readthedocs.io/en/latest/

爬虫相关

requests

http://www.python-requests.org/

scrapy

https://scrapy.org/

pyspider

https://github.com/binux/pyspider

portia

https://github.com/scrapinghub/portia

html2text

https://github.com/Alir3z4/html2text

BeautifulSoup

https://www.crummy.com/software/BeautifulSoup/

lxml

http://lxml.de/

selenium

http://docs.seleniumhq.org/

mechanize

https://pypi.python.org/pypi/mechanize

PyQuery

https://pypi.python.org/pypi/pyquery/

creepy

https://pypi.python.org/pypi/creepy

gevent

一个高并发的网络性能库

http://www.gevent.org/

图像处理

bigmoyan

http://scikit-image.org/

Python Imaging Library(PIL)

http://www.pythonware.com/procts/pil/

pillow：

http://pillow.readthedocs.io/en/latest/

自然语言处理

1.nltk：

http://www.nltk.org/

教程

https://blog.csdn.net/wizardforcel/article/details/79274443

2.snownlp

https://github.com/isnowfy/snownlp

3.Pattern

https://github.com/clips/pattern

4.TextBlob

http://textblob.readthedocs.io/en/dev/

5.Polyglot

https://pypi.python.org/pypi/polyglot

6.jieba：

https://github.com/fxsjy/jieba

数据库驱动

mysql-python

https://sourceforge.net/projects/mysql-python/

PyMySQL

https://github.com/PyMySQL/PyMySQL

PyMongo

https://docs.mongodb.com/ecosystem/drivers/python/

pymongo

MongoDB库

访问：https://pypi.python.org/pypi/pymongo/

redis

Redis库

访问：https://pypi.python.org/pypi/redis/

cxOracle

Oracle库

访问：https://pypi.python.org/pypi/cx_Oracle

SQLAlchemy

SQL工具包及对象关系映射（ORM）工具

访问：http://www.sqlalchemy.org/

peewee，

SQL工具包及对象关系映射（ORM）工具

访问：https://pypi.python.org/pypi/peewee

torndb

Tornado原装DB

访问：https://github.com/bdarnell/torndb

Web

pycurl

URL处理工具

smtplib模块

发送电子邮件

其他库暂未分类

1.PyInstaller：

是一个十分有用的第三方库，它能够在Windows、Linux、 Mac OS X 等操作系统下将 Python 源文件打包，通过对源文件打包， Python 程序可以在没有安装 Python 的环境中运行，也可以作为一个 独立文件方便传递和管理。

2.Ipython

一种交互式计算和开发环境

讲解

https://www.cnblogs.com/zzhzhao/p/5295476.html

命令

ls、cd 、run、edit、clear、exist

㈡ python里怎么样求解微分方程

有很多大学生问我，学习python有什么用呢？我说：你至少可以用来解微分方程，如下面的例子,就是解决微分方程：
y"+a*y'+b*y=0

代码如下：

[python]view plain

• #y"+a*y'+b*y=0

• fromscipy.integrateimportodeint

• frompylabimport*

• defderiv(y,t):#返回值是y和y的导数组成的数组

• a=-2.0

• b=-0.1

• returnarray([y[1],a*y[0]+b*y[1]])

• time=linspace(0.0,50.0,1000)

• yinit=array([0.0005,0.2])#初值

• y=odeint(deriv,yinit,time)

• figure()

• plot(time,y[:,0],label='y')#y[:,0]即返回值的第一列，是y的值。label是为了显示legend用的。

• plot(time,y[:,1],label="y'")#y[:,1]即返回值的第二列，是y’的值

• xlabel('t')

• ylabel('y')

• legend()

• show()

输出结果如下：

㈢ 常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现

本文归纳常见常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程数值解算例实现。

考虑常微分方程的解析解法，我们一般可以将其归纳为如下几类：

这类微分方程可以变形成如下形式：

两边同时积分即可解出函数，难点主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

形如

的方程叫做一阶线性微分方程，若 为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法： (直接套公式)

伯努利方程
形如

的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：


令 , 方程两边同时乘以 ，得到

即 .
这就将伯努利方程归结为可以套公式的一阶线性微分方程。

形如

的方程称为二阶常系数微分方程，若 ，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

首先假设 .用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：

解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是 , 此时方程的通解是

情况二：方程有一个二重解
假设该解等于 ，此时方程的通解是

情况三：方程有一对共轭复解
假设这对解是 , 此时方程的通解是

对于 和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

形如

的方程叫做高阶常系数微分方程，若 ，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

问题一:两点边值问题的解析解

由于此方程是非齐次的,故 求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

首先假设 . 用特征方程法，写出对应的特征方程

求解得到两个不同的实数特征根: .

此时方程的齐次通解是

由于 . 所以非齐次特解形式为

将上式代入控制方程有

求解得: , 即非齐次特解为 .

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

于是,原方程的全解为

因为该问题给出的是第三类边界条件,故需要求解的导函数

且有

将以上各式代入边界条件

解此方程组可得: .

综上所述,原两点边值问题的解为

对一般的二阶微分方程边值问题

假定其解存在唯一,
为求解的近似值, 类似于前面的做法,

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

问题二:有限差分方法算出其数值解及误差
对于 原问题 ,取步长 h=0.2 ,用 有限差分 求其 近似解 ,并将结果与 精确解y(x)=-x-1 进行比较.

因为

先以将区间划分为5份为例，求出数值解

结果:

是不是解出数值解就完事了呢？当然不是。我们可以将问题的差分格式解与问题的真解进行比较，以得到解的可靠性。通过数学计算我们得到问题的真解为 ，现用范数来衡量误差的大小：

结果:

接下来绘图比较 时数值解与真解的差距：

结果:

将区间划分为 份, 即 时.

结果:

绘图比较 时数值解与真解的差距：

最后，我们还可以从数学的角度分析所采用的差分格式的一些性质。因为差分格式的误差为 ， 所以理论上来说网格每加密一倍，与真解的误差大致会缩小到原来的 . 下讨论网格加密时的变化：

结果：

㈣ 如何使用python计算常微分方程

常用形式
odeint(func, y0, t,args,Dfun)
一般这种形式就够用了。
下面是官方的例子，求解的是
D(D(y1))-t*y1=0
为了方便，采取D=d/dt。如果我们令初值
y1(0) = 1.0/3**(2.0/3.0)/gamma(2.0/3.0)
D(y1)(0) = -1.0/3**(1.0/3.0)/gamma(1.0/3.0)
这个微分方程的解y1=airy(t)。

令D(y1)=y0，就有这个常微分方程组。
D(y0)=t*y1
D(y1)=y0

Python求解该微分方程。
>>> from scipy.integrate import odeint
>>> from scipy.special import gamma, airy
>>> y1_0 = 1.0/3**(2.0/3.0)/gamma(2.0/3.0)
>>> y0_0 = -1.0/3**(1.0/3.0)/gamma(1.0/3.0)
>>> y0 = [y0_0, y1_0]
>>> def func(y, t):
... return [t*y[1],y[0]]
>>> def gradient(y,t):
... return [[0,t],[1,0]]
>>> x = arange(0,4.0, 0.01)
>>> t = x
>>> ychk = airy(x)[0]
>>> y = odeint(func, y0, t)
>>> y2 = odeint(func, y0, t, Dfun=gradient)
>>> print ychk[:36:6]
[ 0.355028 0.339511 0.324068 0.308763 0.293658 0.278806]
>>> print y[:36:6,1]
[ 0.355028 0.339511 0.324067 0.308763 0.293658 0.278806]
>>> print y2[:36:6,1]
[ 0.355028 0.339511 0.324067 0.308763 0.293658 0.278806]

得到的解与精确值相比，误差相当小。
=======================================================================================================

args是额外的参数。
用法请参看下面的例子。这是一个洛仑兹曲线的求解，并且用matplotlib绘出空间曲线图。（来自《python科学计算》）
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
def lorenz(w, t, p, r, b):
# 给出位置矢量w，和三个参数p, r, b 计算出
# dx/dt, dy/dt, dz/dt 的值
x, y, z = w
# 直接与lorenz 的计算公式对应
return np.array([p*(y-x), x*(r-z)-y, x*y-b*z])
t = np.arange(0, 30, 0.01) # 创建时间点
# 调用ode 对lorenz 进行求解, 用两个不同的初始值
track1 = odeint(lorenz, (0.0, 1.00, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))
track2 = odeint(lorenz, (0.0, 1.01, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))
# 绘图
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot(track1[:,0], track1[:,1], track1[:,2])
ax.plot(track2[:,0], track2[:,1], track2[:,2])
plt.show()
===========================================================================
scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0)
计算常微分方程（组）
使用 FORTRAN库odepack中的lsoda解常微分方程。这个函数一般求解初值问题。

参数：

func : callable(y, t0, ...) 计算y在t0 处的导数。
y0 : 数组 y的初值条件（可以是矢量）
t : 数组 为求出y，这是一个时间点的序列。初值点应该是这个序列的第一个元素。
args : 元组 func的额外参数
Dfun : callable(y, t0, ...) 函数的梯度(Jacobian)。即雅可比多项式。
col_deriv : boolean. True，Dfun定义列向导数（更快），否则Dfun会定义横排导数
full_output : boolean 可选输出，如果为True 则返回一个字典，作为第二输出。
printmessg : boolean 是否打印convergence 消息。

返回： y : array, shape (len(y0), len(t))
数组，包含y值，每一个对应于时间序列中的t。初值y0 在第一排。
infodict : 字典，只有full_output == True 时，才会返回。
字典包含额为的输出信息。
键值：

‘hu’ vector of step sizes successfully used for each time step.
‘tcur’ vector with the value of t reached for each time step. (will always be at least as large as the input times).
‘tolsf’ vector of tolerance scale factors, greater than 1.0, computed when a request for too much accuracy was detected.
‘tsw’ value of t at the time of the last method switch (given for each time step)
‘nst’ cumulative number of time steps
‘nfe’ cumulative number of function evaluations for each time step
‘nje’ cumulative number of jacobian evaluations for each time step
‘nqu’ a vector of method orders for each successful step.
‘imxer’index of the component of largest magnitude in the weighted local error vector (e / ewt) on an error return, -1 otherwise.
‘lenrw’ the length of the double work array required.
‘leniw’ the length of integer work array required.
‘mused’a vector of method indicators for each successful time step: 1: adams (nonstiff), 2: bdf (stiff)
其他参数，官方网站和文档都没有明确说明。相关的资料，暂时也找不到。

㈤ python能做什么科学计算

python做科学计算的特点：1. 科学库很全。（推荐学习：Python视频教程）
科学库：numpy，scipy。作图：matplotpb。并行：mpi4py。调试：pdb。
2. 效率高。
如果你能学好numpy（array特性，f2py），那么你代码执行效率不会比fortran，C差太多。但如果你用不好array，那样写出来的程序效率就只能呵呵了。所以入门后，请一定花足够多的时间去了解numpy的array类。
3. 易于调试。
pdb是我见过最好的调试工具，没有之一。直接在程序断点处给你一个截面，这只有文本解释语言才能办到。毫不夸张的说，你用python开发程序只要fortran的1/10时间。
4. 其他。
它丰富而且统一，不像C++的库那么杂（好比pnux的各种发行版），python学好numpy就可以做科学计算了。python的第三方库很全，但是不杂。python基于类的语言特性让它比起fortran等更加容易规模化开发。
数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，其中包括着名的欧拉法，用于数值求解微分方程。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。
高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。
洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。
这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。
更多Python相关技术文章，请访问Python教程栏目进行学习！以上就是小编分享的关于python能做什么科学计算的详细内容希望对大家有所帮助，更多有关python教程请关注环球青藤其它相关文章！

㈥ python求微分方程组的数值解曲线01

如图所示：

㈦ python 的scipy 里的 odeint 这个求微分方程的函数怎么用啊

scipy.integrate.odeint(func,y0,t,args=(),dfun=none,col_deriv=0,full_output=0,ml=none,mu=none,rtol=none,atol=none,tcrit=none,h0=0.0,hmax=0.0,hmin=0.0,ixpr=0,mxstep=0,mxhnil=0,mxordn=12,mxords=5,printmessg=0)
实际使用中，还是主要使用前三个参数，即微分方程的描写函数、初值和需要求解函数值对应的的时间点。接收数组形式。这个函数，要求微分方程必须化为标准形式，即dy/dt=f(y,t,)。
fromscipyimportodeint
y=odeint(dy/dt=r*y*(1-y/k),y(0)=0.1,t)
对于微分方程全还给老师了，

㈧ 用matlab或maple或者python解一个二阶常微分方程-数值解（用差分或者有限元方法）（非直接ode45类型的）

我用 Maple 2015 做了1个，如下：

可以在 Maple 中运行，滑动两个滑动条，得到相应的数值解的绘图，其中原式中的 n=两个滑动条之和。Maple文件如果需要可以邮箱发给你，应该可以用 Maple 17 及以上版本打开。

如果没有 Maple，可以用以下链接试试在线的：
http://202.121.241.38/maplenet/worksheet/uploads/dsolve&plot.mw