递归编程与数学应用

① 08《算法入门教程》递归算法之斐波那契数列

本节内容是递归算法系列之一：斐波那契数列递归求解，主要介绍了斐波那契数列的定义，然后用递归的实现思想分析了一下斐波那契数列，最后给出了基于 Java 代码应用递归思想实现斐波那契数列的代码实现及简单讲解。

斐波那契数列（Fibonacci sequence），也称之为黄金分割数列，由意大利数学家列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci）提出。斐波那契数列指的是这样的一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前面两项之和。在数学上，斐波那契数列可以被递推的方法定义如下：

斐波那契数列是数学上面一个经典的例子，并且在日常生活中有很多应用，他还与黄金分割有着密不可分的联系，而且当 n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割值 0.618。

在这一节中，我们就需要利用递归的思想去求解斐波那契数列，当给出一个斐波那契中第几项的数字，然后求解出对应的斐波那契数值。在之前，我们已经定义了递归算法的相关概念，并且明确了需要应用递归时候的三要素：

接下来，我们将利用递归的知识来解决斐波那契数列问题，明确在斐波那契数列求解问题中的递归三要素分别是什么。

例如，当我们求解斐波那契数列中的 F (5) 时，按照定义，我们有：

在说明斐波那契数列的递归描述之后，我们看看如何用 Java 代码来实现对斐波那契数列的计算。

运行结果如下：

代码中的第 4 行至第 8 行分别调用斐波那契数列计算函数，计算出斐波那契数列中对应 n=1,2,3,4,5 时斐波那契数列的取值，进行结果比较，判断斐波那契数列程序实现是否正确。代码中的第 12 行至第 20 行是斐波那契数列应用递归方法进行斐波那契数列的计算，按照递归的三要素进行计算处理。

本节主要介绍了用递归思想求解斐波那契数列，在学完本节课程之后，我们了解到了什么是斐波那契数列，并且将递归算法在斐波那契数列中进行了实际应用，需要掌握斐波那契数列的递归求解方法，并自己可以实现相关的代码实现，并清楚里面的每一步逻辑。

② 计算机里面什么是递归

在数学和计算机科学中，当一类对象或方法可以由两个属性定义时，它们表现出递归行为:

简单的基线条件---不使用递归产生答案的终止情况

一组规则将所有其他情形缩减到基线条件

例如，以下是某人祖先的递归定义:

某人的父母是他的祖先(基线条件)

某人祖先的祖先也是他的祖先(递归步骤)

斐波那契数列是递归的经典例子:

Fib(0) = 1 基线条件1；

Fib(1) = 1 基线条件2；

对所有整数n,n > 1时：Fib(n) = (Fib(n-1) + Fib(n-2))。

许多数学公理基于递归规则。例如，皮亚诺公理对自然数的形式定义可以描述为:0是自然数，每个自然数都有一个后继数，它也是自然数。通过这种基线条件和递归规则，可以生成所有自然数的集合。

递归定义的数学对象包括函数、集合，尤其是分形。

递归还有多种开玩笑的“定义”。

非正式定义

俄罗斯娃娃或俄罗斯套娃是递归概念的一个物理艺术例子。

自1320年乔托的Stefaneschi三联画问世以来，递归就一直用于绘画。它的中央面板包含红衣主教Stefaneschi的跪像，举着三联画本身作为祭品。

M.C. Eschers 印刷画廊 (1956)描绘了一个扭曲的城市，其中包含一个递归包含图片的画廊，因此无限。

③ 递归算法是什么

递归算法（英语：recursion algorithm）在计算机科学中是指一种通过重复将问题分解为同类的子问题而解决问题的方法。

递归式方法可以被用于解决很多的计算机科学问题，因此它是计算机科学中十分重要的一个概念。绝大多数编程语言支持函数的自调用，在这些语言中函数可以通过调用自身来进行递归。

计算理论可以证明递归的作用可以完全取代循环，因此在很多函数编程语言（如Scheme）中谨段习惯用递归来实现循环。